（数学）数学二次函数的专项培优-易错-难题练习题(含答案)含详细答案.doc

1、一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1某厂家生产一种新型电子产品，制造时每件的成本为40元，通过试销发现，销售量万件与销售单价元之间符合一次函数关系，其图象如图所示求y与x的函数关系式；物价部门规定：这种电子产品销售单价不得超过每件80元，那么，当销售单价x定为每件多少元时，厂家每月获得的利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）；（2）当销售单价x定为每件80元时，厂家每月获得的利润最大，最大利润是4800元【解析】【分析】根据函数图象经过点和点，利用待定系数法即可求出y与x的函数关系式；先根据利润销售数量销售单价成本，由试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克80元，结合电

2、子产品的成本价即可得出x的取值范围，根据二次函数的增减性可得最值【详解】解：设y与x的函数关系式为，函数图象经过点和点，解得：，与x的函数关系式为由题意得：试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克80元，且电子产品的成本为每千克40元，自变量x的取值范围是，当时，w随x的增大而增大，时，w有最大值，当时，答：当销售单价x定为每件80元时，厂家每月获得的利润最大，最大利润是4800元【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的应用，根据点的坐标利用待定系数法求出函数关系式是解题的关键，并注意最值的求法2（12分）如图所示是隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12 m，宽是4 m按照图中所

3、示的直角坐标系，抛物线可以用y=x2+bx+c表示，且抛物线上的点C到OB的水平距离为3 m，到地面OA的距离为m. （1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？【答案】（1）抛物线的函数关系式为y=x2+2x+4，拱顶D到地面OA的距离为10 m；(2)两排灯的水平距离最小是4 m【解析】【详解】试题分析：根据点B和点C在函数图象上，利用待定系数法求

4、出b和c的值，从而得出函数解析式，根据解析式求出顶点坐标，得出最大值；根据题意得出车最外侧与地面OA的交点为（2,0）（或（10,0），然后求出当x=2或x=10时y的值，与6进行比较大小，比6大就可以通过，比6小就不能通过；将y=8代入函数，得出x的值，然后进行做差得出最小值试题解析：（1）由题知点在抛物线上所以，解得，所以所以，当时，答：，拱顶D到地面OA的距离为10米（2）由题知车最外侧与地面OA的交点为（2,0）（或（10,0）当x=2或x=10时，所以可以通过（3）令，即，可得，解得答：两排灯的水平距离最小是考点：二次函数的实际应用3如图，对称轴为直线的抛物线与x轴相交于A、B两点，

5、其中A点的坐标为（3，0）（1）求点B的坐标；（2）已知，C为抛物线与y轴的交点若点P在抛物线上，且，求点P的坐标；设点Q是线段AC上的动点，作QDx轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值【答案】（1）点B的坐标为（1，0）.（2）点P的坐标为（4，21）或（4，5）.线段QD长度的最大值为.【解析】【分析】（1）由抛物线的对称性直接得点B的坐标（2）用待定系数法求出抛物线的解析式，从而可得点C的坐标，得到，设出点P 的坐标，根据列式求解即可求得点P的坐标用待定系数法求出直线AC的解析式，由点Q在线段AC上，可设点Q的坐标为(q,-q-3)，从而由QDx轴交抛物线于点D，得点D的坐标为(q,

6、q2+2q-3)，从而线段QD等于两点纵坐标之差，列出函数关系式应用二次函数最值原理求解.【详解】解：（1）A、B两点关于对称轴对称 ，且A点的坐标为（3，0），点B的坐标为（1，0）.（2）抛物线，对称轴为，经过点A（3，0），解得.抛物线的解析式为.B点的坐标为（0，3）.OB=1，OC=3.设点P的坐标为(p,p2+2p-3)，则.，解得.当时；当时，点P的坐标为（4，21）或（4，5）.设直线AC的解析式为，将点A，C的坐标代入，得：，解得：.直线AC的解析式为.点Q在线段AC上，设点Q的坐标为(q,-q-3).又QDx轴交抛物线于点D，点D的坐标为(q,q2+2q-3).，线段QD长

7、度的最大值为.4如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx3（a0）与x轴交于点A（2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C（1）求抛物线的解析式；（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当PBQ存在时，求运动多少秒使PBQ的面积最大，最大面积是多少？（3）当PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点K，使SCBK：SPBQ=5：2，求K点坐标【答案】（1）y=x2x3（2）运动1秒使PBQ的面积最大，最大面积是（3）K1（1，），K2（3，）

8、【解析】【详解】试题分析：（1）把点A、B的坐标分别代入抛物线解析式，列出关于系数a、b的解析式，通过解方程组求得它们的值；（2）设运动时间为t秒利用三角形的面积公式列出SPBQ与t的函数关系式SPBQ=（t1）2+利用二次函数的图象性质进行解答；（3）利用待定系数法求得直线BC的解析式为y=x3由二次函数图象上点的坐标特征可设点K的坐标为（m，m2m3）如图2，过点K作KEy轴，交BC于点E结合已知条件和（2）中的结果求得SCBK=则根据图形得到：SCBK=SCEK+SBEK=EKm+EK（4m），把相关线段的长度代入推知：m2+3m=易求得K1（1，），K2（3，）解：（1）把点A（2，0

9、）、B（4，0）分别代入y=ax2+bx3（a0），得，解得，所以该抛物线的解析式为：y=x2x3；（2）设运动时间为t秒，则AP=3t，BQ=tPB=63t由题意得，点C的坐标为（0，3）在RtBOC中，BC=5如图1，过点Q作QHAB于点HQHCO，BHQBOC，即，HQ=tSPBQ=PBHQ=（63t）t=t2+t=（t1）2+当PBQ存在时，0t2当t=1时，SPBQ最大=答：运动1秒使PBQ的面积最大，最大面积是；（3）设直线BC的解析式为y=kx+c（k0）把B（4，0），C（0，3）代入，得，解得，直线BC的解析式为y=x3点K在抛物线上设点K的坐标为（m，m2m3）如图2，过点

10、K作KEy轴，交BC于点E则点E的坐标为（m，m3）EK=m3（m2m3）=m2+m当PBQ的面积最大时，SCBK：SPBQ=5：2，SPBQ=SCBK=SCBK=SCEK+SBEK=EKm+EK（4m）=4EK=2（m2+m）=m2+3m即：m2+3m=解得 m1=1，m2=3K1（1，），K2（3，）点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数解析式和三角形的面积求法在求有关动点问题时要注意该点的运动范围，即自变量的取值范围5如图，（图1，图2），四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在线段BC上，AEF=90,且EF交正方形外角平分线CP于点F，交BC的延长线

11、于点N, FNBC（1）若点E是BC的中点（如图1），AE与EF相等吗？（2）点E在BC间运动时（如图2），设BE=x，ECF的面积为y求y与x的函数关系式；当x取何值时，y有最大值，并求出这个最大值.【答案】（1）AE=EF；（2）y=-x2+2x（0x4)，当x=2,y最大值=2.【解析】【分析】（1）在AB上取一点G，使AG=EC，连接GE，利用ASA，易证得：AGEECF，则可证得：AE=EF；（2）同（1）可证明AE=EF，利用AAS证明ABEENF，根据全等三角形对应边相等可得FN=BE，再表示出EC，然后利用三角形的面积公式即可列式表示出ECF的面积为y，然后整理再根据二次函数求

12、解最值问题【详解】（1）如图，在AB上取AG=EC，四边形ABCD是正方形，AB=BC，有AG=EC ，BG=BE ，又B=90，AGE=135，又BCD=90，CP平分DCN，ECF=135，BAEAEB=90，AEBFEC=90，BAE=FEC，在AGE和ECF中， ,AGEECF，AE=EF；(2)由（1）证明可知当E不是中点时同理可证AE=EF，BAE=NEF，B=ENF=90，ABEENF，FN=BE=x，SECF= (BC-BE)FN，即y= x(4-x），y=- x2+2x（0x4)，当x=2，y最大值=2.【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，二次函数的最值问

13、题，综合性较强，正确添加辅助线、熟练掌握相关知识是解题的关键6在平面直角坐标系xOy中，顶点为A的抛物线与x轴交于B、C两点，与y轴交于点D，已知A(1，4)，B(3，0)(1)求抛物线对应的二次函数表达式；(2)探究：如图1，连接OA，作DEOA交BA的延长线于点E，连接OE交AD于点F，M是BE的中点，则OM是否将四边形OBAD分成面积相等的两部分？请说明理由；(3)应用：如图2，P(m，n)是抛物线在第四象限的图象上的点，且m+n1，连接PA、PC，在线段PC上确定一点M，使AN平分四边形ADCP的面积，求点N的坐标提示：若点A、B的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，则线段AB的

14、中点坐标为(，)【答案】(1)yx2+2x3；(2)OM将四边形OBAD分成面积相等的两部分，理由见解析；(3)点N(，)【解析】【分析】(1)函数表达式为：ya(x1)2+4，将点B坐标的坐标代入上式，即可求解；(2)利用同底等高的两个三角形的面积相等，即可求解；(3)由(2)知：点N是PQ的中点，根据C,P点的坐标求出直线PC的解析式，同理求出AC,DQ的解析式，并联立方程求出Q点的坐标，从而即可求N点的坐标【详解】(1)函数表达式为：ya(x1)2+4，将点B坐标的坐标代入上式得：0a(31)2+4，解得：a1，故抛物线的表达式为：yx2+2x3；(2)OM将四边形OBAD分成面积相等的

15、两部分，理由：如图1，DEAO，SODASOEA，SODA+SAOMSOEA+SAOM，即：S四边形OMADSOBM，SOMESOBM，S四边形OMADSOBM；(3)设点P(m，n)，nm2+2m+3，而m+n1，解得：m1或4，故点P(4，5)；如图2，故点D作QDAC交PC的延长线于点Q，由(2)知：点N是PQ的中点，设直线PC的解析式为y=kx+b，将点C(1，0)、P(4，5)的坐标代入得：，解得：，所以直线PC的表达式为：yx1，同理可得直线AC的表达式为：y2x+2，直线DQCA，且直线DQ经过点D(0，3)，同理可得直线DQ的表达式为：y2x+3，联立并解得：x，即点Q(，)，

16、点N是PQ的中点，由中点公式得：点N(，)【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图形面积的计算等，其中(3)直接利用(2)的结论，即点N是PQ的中点，是本题解题的突破点7如图1，抛物线经过平行四边形的顶点、，抛物线与轴的另一交点为.经过点的直线将平行四边形分割为面积相等的两部分，与抛物线交于另一点.点为直线上方抛物线上一动点，设点的横坐标为.（1）求抛物线的解析式； （2）当何值时，的面积最大?并求最大值的立方根；（3）是否存在点使为直角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）抛物线解析式为y=x2+2x+3；（2）当t=时，PEF的面积最大，其最大值为，最

17、大值的立方根为=；（3）存在满足条件的点P，t的值为1或【解析】试题分析：（1）由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）由A、C坐标可求得平行四边形的中心的坐标，由抛物线的对称性可求得E点坐标，从而可求得直线EF的解析式，作PHx轴，交直线l于点M，作FNPH，则可用t表示出PM的长，从而可表示出PEF的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值，再求其最大值的立方根即可；（3）由题意可知有PAE=90或APE=90两种情况，当PAE=90时，作PGy轴，利用等腰直角三角形的性质可得到关于t的方程，可求得t的值；当APE=90时，作PKx轴，AQPK，则可证得PKEAQP

18、，利用相似三角形的性质可得到关于t的方程，可求得t的值试题解析： （1）由题意可得，解得，抛物线解析式为y=x2+2x+3；（2）A（0，3），D（2，3），BC=AD=2，B（1，0），C（1，0），线段AC的中点为（，），直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等两部分，直线l过平行四边形的对称中心，A、D关于对称轴对称，抛物线对称轴为x=1，E（3，0），设直线l的解析式为y=kx+m，把E点和对称中心坐标代入可得，解得，直线l的解析式为y=x+，联立直线l和抛物线解析式可得，解得或，F（，），如图1，作PHx轴，交l于点M，作FNPH，P点横坐标为t，P（t，t2+2t+3），M（t，t

19、+），PM=t2+2t+3（t+）=t2+t+，SPEF=SPFM+SPEM=PMFN+PMEH=PM（FN+EH）=（t2+t+）（3+）=（t）+，当t=时，PEF的面积最大，其最大值为，最大值的立方根为=；（3）由图可知PEA90，只能有PAE=90或APE=90，当PAE=90时，如图2，作PGy轴，OA=OE，OAE=OEA=45，PAG=APG=45，PG=AG，t=t2+2t+33，即t2+t=0，解得t=1或t=0（舍去），当APE=90时，如图3，作PKx轴，AQPK，则PK=t2+2t+3，AQ=t，KE=3t，PQ=t2+2t+33=t2+2t，APQ+KPE=APQ+P

20、AQ=90，PAQ=KPE，且PKE=PQA，PKEAQP，即，即t2t1=0，解得t=或t=（舍去），综上可知存在满足条件的点P，t的值为1或考点：二次函数综合题8如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C（0，），OA=1，OB=4，直线l过点A，交y轴于点D，交抛物线于点E，且满足tanOAD=（1）求抛物线的解析式；（2）动点P从点B出发，沿x轴正方形以每秒2个单位长度的速度向点A运动，动点Q从点A出发，沿射线AE以每秒1个单位长度的速度向点E运动，当点P运动到点A时，点Q也停止运动，设运动时间为t秒在P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻t，使

21、得ADC与PQA相似，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由在P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻t，使得APQ与CAQ的面积之和最大？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由【答案】（1）抛物线的解析式为y=；（2）存在t=或t=，使得ADC与PQA相似；当t=时，APQ与CAQ的面积之和最大.【解析】分析：（1）应用待定系数法求解析式（2）分别用t表示ADC、PQA各边，应用分类讨论相似三角形比例式，求t值；分别用t表示APQ与CAQ的面积之和，讨论最大值详解：（1）OA=1，OB=4，A（1，0），B（4，0），设抛物线的解析式为y=a（x+4）（x1），点C（0，）在抛物线上，解得a

22、=.抛物线的解析式为y=.（2）存在t，使得ADC与PQA相似理由：在RtAOC中，OA=1，OC=，则tanACO=，tanOAD=，OAD=ACO，直线l的解析式为y=，D（0，），点C（0，），CD=，由AC2=OC2+OA2，得AC=，在AQP中，AP=ABPB=52t，AQ=t，由PAQ=ACD，要使ADC与PQA相似，只需或，则有或，解得t1=，t2=，t12.5，t22.5，存在t=或t=，使得ADC与PQA相似；存在t，使得APQ与CAQ的面积之和最大，理由：作PFAQ于点F，CNAQ于N，在APF中，PF=APsinPAF=，在AOD中，由AD2=OD2+OA2，得AD=，在

23、ADC中，由SADC= ，CN=，SAQP+SAQC= ，当t=时，APQ与CAQ的面积之和最大.点睛：本题为代数、几何综合题，考查待定系数法、相似三角形判定、二次函数最值，应用了分类讨论和数形结合思想9如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，点A的坐标为（10，0），抛物线y=ax2+bx+4过点B，C两点，且与x轴的一个交点为D（2，0），点P是线段CB上的动点，设CP=t（0t10）（1）请直接写出B、C两点的坐标及抛物线的解析式；（2）过点P作PEBC，交抛物线于点E，连接BE，当t为何值时，PBE=OCD？（3）点Q是x轴上的动点，过点P作PMBQ，交CQ于点M，作PNCQ，交BQ于点N

24、，当四边形PMQN为正方形时，请求出t的值【答案】（1）B（10，4），C（0，4），；（2）3；（3）或 .【解析】试题分析：（1）由抛物线的解析式可求得C点坐标，由矩形的性质可求得B点坐标，由B、D的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）可设P（t，4），则可表示出E点坐标，从而可表示出PB、PE的长，由条件可证得PBEOCD，利用相似三角形的性质可得到关于t的方程，可求得t的值；（3）当四边形PMQN为正方形时，则可证得COQQAB，利用相似三角形的性质可求得CQ的长，在RtBCQ中可求得BQ、CQ，则可用t分别表示出PM和PN，可得到关于t的方程，可求得t的值试题解析：解：（1

25、）在yax2bx4中，令x0可得y4，C（0，4），四边形OABC为矩形，且A（10，0），B（10，4），把B、D坐标代入抛物线解析式可得，解得，抛物线解析式为yx2x4；（2）由题意可设P（t，4），则E（t，t2t4），PB10t，PEt2t44t2t，BPECOD90，当PBEOCD时，则PBEOCD，即BPODCOPE，2（10t）4（t2t），解得t3或t10（不合题意，舍去），当t3时，PBEOCD； 当PBECDO时，则PBEODC，即BPOCDOPE，4（10t）2（t2t），解得t12或t10（均不合题意，舍去）综上所述当t3时，PBEOCD；（3）当四边形PMQN为正方形

26、时，则PMCPNBCQB90，PMPN，CQOAQB90，CQOOCQ90，OCQAQB，RtCOQRtQAB，即OQAQCOAB，设OQm，则AQ10m，m（10m）44，解得m2或m8，当m2时，CQ，BQ，sinBCQ，sinCBQ，PMPCsinPCQt，PNPBsinCBQ（10t），t （10t），解得t，当m8时，同理可求得t，当四边形PMQN为正方形时，t的值为或点睛：本题为二次函数的综合应用，涉及矩形的性质、待定系数法、相似三角形的判定和性质、勾股定理、解直角三角形、方程思想等知识在（1）中注意利用矩形的性质求得B点坐标是解题的关键，在（2）中证得PBEOCD是解题的关键，在

27、（3）中利用RtCOQRtQAB求得CQ的长是解题的关键本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大10如图，已知二次函数y=ax2+bx+3 的图象与x轴分别交于A(1,0)，B(3,0)两点，与y轴交于点C（1）求此二次函数解析式；（2）点D为抛物线的顶点，试判断BCD的形状，并说明理由；（3）将直线BC向上平移t(t0)个单位，平移后的直线与抛物线交于M，N两点（点M在y轴的右侧），当AMN为直角三角形时，求t的值【答案】（1）；（2）BCD为直角三角形，理由见解析；（3）当AMN为直角三角形时，t的值为1或4【解析】【分析】（1）根据点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数解析式；（

28、2）利用配方法及二次函数图象上点的坐标特征，可求出点C、D的坐标，利用两点间的距离公式可求出CD、BD、BC的长，由勾股定理的逆定理可证出BCD为直角三角形；（3）根据点B、C的坐标，利用待定系数法可求出直线BC的解析式，进而可找出平移后直线的解析式，联立两函数解析式成方程组，通过解方程组可找出点M、N的坐标，利用两点间的距离公式可求出AM2、AN2、MN2的值，分别令三个角为直角，利用勾股定理可得出关于t的无理方程，解之即可得出结论【详解】（1）将、代入，得：，解得：，此二次函数解析式为（2）为直角三角形，理由如下：，顶点的坐标为当时，点的坐标为点的坐标为，为直角三角形（3）设直线的解析式为

29、，将，代入，得：，解得：，直线的解析式为，将直线向上平移个单位得到的直线的解析式为联立新直线与抛物线的解析式成方程组，得：，解得：，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，为直角三角形，分三种情况考虑：当时，有，即，整理，得：，解得：，（不合题意，舍去）；当时，有，即，整理，得：，解得：，（不合题意，舍去）；当时，有，即，整理，得：，该方程无解（或解均为增解）综上所述：当为直角三角形时，的值为1或4【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、待定系数法求一次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、勾股定理以及勾股定理的逆定理，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用两点间的距离公式结合勾股定理的逆定理找出BC2+BD2=CD2；（3）分MAN=90、AMN=90及ANM=90三种情况考虑