（教案）北师大版-九年级上册数学-一元二次方程的应用-教师版(基础篇).doc

1、一元二次方程的应用 【学习目标】1. 通过分析具体问题中的数量关系，建立方程模型并解决实际问题，总结运用方程解决实际问题的一般步骤；2. 通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.【要点梳理】要点一、列一元二次方程解应用题的一般步骤1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.2.解决应用题的一般步骤：审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；列(根据题目中的等量关系，列出方程)；解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验（检验方程的解能否保证实际问题有意义）答(写出答案，切忌答非所问).要点诠释： 列方程

2、解实际问题的三个重要环节： 一是整体地、系统地审题；二是把握问题中的等量关系；三是正确求解方程并检验解的合理性.要点二、一元二次方程应用题的主要类型1.数字问题(1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、 千位，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、，数位上的数字只能是0、1、2、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数.如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为： 100c+1

3、0b+a. (2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1.如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1.几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2.如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2.2.平均变化率问题列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次.(1)增长率问题：平均增长率公式为 (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.)(2)降低率问题：平均降低率公式为 (a为原来数，

4、x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.)3.利息问题(1)概念：本金：顾客存入银行的钱叫本金.利息：银行付给顾客的酬金叫利息.本息和：本金和利息的和叫本息和.期数：存入银行的时间叫期数.利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率.(2)公式:利息=本金利率期数利息税=利息税率本金(1+利率期数)=本息和本金1+利率期数(1-税率)=本息和(收利息税时)4.利润(销售)问题利润(销售)问题中常用的等量关系：利润=售价-进价(成本)总利润=每件的利润总件数5.形积问题此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图形的面积或体积公式，找出未知量与已知量的

5、内在关系并列出方程.要点诠释：列一元二次方程解应用题是把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.这是在解决实际问题时常用到的数学思想方程思想.【典型例题】类型一、数字问题1已知两个数的和等于12，积等于32，求这两个数是多少【答案与解析】 设其中一个数为x，那么另一个数可表示为(12-x)，依题意得x(12-x)32，整理得x2-12x+320 解得 x14，x28，当x4时12-x8；当x8时12-x4所以这两个数是4和8 【总结升华】 数的和、差、倍、分等关系，如果设一个数为x，那么另一个数便可以用x表示出来，然后根据题目条件建立方程求解举一反三：【高

6、清ID号：388525 关联的位置名称（播放点名称）：数字问题 例1】【变式】有一个两位数等于其数字之积的3倍，其十位数字比个位数字少2，求这个两位数.【答案】设个位数字为，则十位数字为.由题意，得： 整理，得：解方程，得： 经检验，不合题意,舍去（注意根的实际意义的检验）当时, =2答：这个两位数为24.类型二、平均变化率问题2 （2016巴中）随着国家“惠民政策”的陆续出台，为了切实让老百姓得到实惠，国家卫计委通过严打药品销售环节中的不正当行为，某种药品原价200元/瓶，经过连续两次降价后，现在仅卖98元/瓶，现假定两次降价的百分率相同，求该种药品平均每场降价的百分率【思路点拨】 设该种药

7、品平均每场降价的百分率是x，则两个次降价以后的价格是200（1x）2，据此列出方程求解即可【答案与解析】 解：设该种药品平均每场降价的百分率是x，由题意得：200（1x）2=98解得：x1=1.7（不合题意舍去），x2=0.3=30%答：该种药品平均每场降价的百分率是30%【总结升华】此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解举一反三：【高清ID号：388525 关联的位置名称（播放点名称）：增长率问题例3】【变式】某产品原来每件是600元，由于连续两次降价，现价为384元，如果两

8、次降价的百分数相同，求平均每次降价率.【答案】设平均每次降价率为，则第一次降价为，降价后价格为：，第二次降价为：，降价后价格为：.根据题意列方程，得：， 不合题意，舍去（注意根的实际意义的检验）答：平均每次下降率为.类型三、利润（销售）问题3（2015乌鲁木齐）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，应将销售单价定位多少元？【答案与解析】 解：降价x元，则售价为（60x）元，销售量为（300+20x）件，根据题意得，（60x40）（300+20x）=6080，

9、解得x1=1，x2=4，又顾客得实惠，故取x=4，级定价为56元，答：应将销售单价定位56元【总结升华】列一元二次方程解应用题往往求出两解，有的解不合实际意义或不合题意应舍去，必须进行检验类型四、形积问题4（2015湖北）如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？【答案与解析】 解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm可以得出平行于墙的一边的长为（252x+1）m，由题意得x（252x+1）=80，化简，得x213x+40=0，解得：x1

10、=5，x2，8，当x=5时，262x=1612（舍去），当x=8时，262x=1012，答：所围矩形猪舍的长为10m、宽为8m【总结升华】1结合图形分析数量关系是解决面积等几何问题的关键；2注意检验一元二次方程的两个解是否符合题意【巩固练习】一、选择题1在一幅长80cm、宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为x cm，那么x满足的方程是( ) Ax2+130x-14000 Bx2-65x-3500 Cx2-130x-14000 Dx2+65x-35002（2016大连）某文具店三月份销售铅笔100支，四、五

11、两个月销售量连续增长若月平均增长率为x，则该文具店五月份销售铅笔的支数是（）A100（1+x）B100（1+x）2C100（1+x2）D100（1+2x）3某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个，设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是( ) A50(1+x)2182 B50+50(1+x)+50(1+x)2182 C50(1+2x)182 D50+50(1+x)+50(1+2x)1824一个矩形的长是宽的3倍，若宽增加3cm，它就变成正方形.则矩形面积是( ) A B C D5为执行“两免一补”政策，某地区2010年投入教育经费2500万元，预计2012

12、年投入3600万元设这两年投入教育经费的年平均增长率为x，则下列方程正确的是( ) A2500(1+x)23600 B2500x23600 C2500(1+x%)3600 D2500(1+x)+2500(1+x)236006（2014咸宁）用一条长为40cm的绳子围成一个面积为acm2的长方形，a的值不可能为（）A20B40C100D120二、填空题7（2016新疆）某加工厂九月份加工了10吨干果，十一月份加工了13吨干果设该厂加工干果重量的月平均增长率为x，根据题意可列方程为 8若两数的和是2，两数的平方和是74，则这两数为_9大连某小区准备在每两幢楼房之间开辟面积为300m2的一块长方形绿

13、地，并且长比宽多10m，设长方形绿地的宽为xm，则可列方程为_10菱形ABCD的一条对角线长6，AB的长是方程x2-7x+120的一个根，则菱形ABCD的周长为_11（2015春启东市月考）有一人发了某内容的短信，经过两轮发送后共有196人的手机上有了该短信，则每轮发送中平均一个人发送了人12.小明家为响应节能减排号召，计划用两年时间，将家庭每年人均碳排放量由目前的3125kg降至2000kg(全球人均目标碳排放量)，则小明家未来两年人均碳排放量平均每年需降低的百分率是_ 三、解答题13用长12m的一根铁丝围成长方形 (1)如果长方形的面积为5m2，那么此时长方形的长是多少?宽是多少?如果面积

14、是8m2呢? (2)能否围成面积是10m2的长方形?为什么? (3)能围成的长方形的最大面积是多少?14. 从一块长80cm，宽60cm的长方形铁片中间截去一个小长方形，使剩下的长方形四周宽度一样，并且小长方形的面积是原来铁片面积的一半，求这个宽度15（2015珠海）白溪镇2012年有绿地面积57.5公顷，该镇近几年不断增加绿地面积，2014年达到82.8公顷（1）求该镇2012至2014年绿地面积的年平均增长率；（2）若年增长率保持不变，2015年该镇绿地面积能否达到100公顷？【答案与解析】一、选择题1.【答案】D；【解析】可列方程(80+2x)(50+2x)5400，化简即可 2.【答案

15、】B3.【答案】B；【解析】四、五、六月份产量之和为182 4.【答案】C；【解析】设矩形的宽为xcm，则矩形的长为3xcm，依题意得x+33x5.【答案】A；【解析】由平均增长率公式为 (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量)可列方程.6.【答案】D；【解析】解：设围成面积为acm2的长方形的长为xcm，则宽为（402x）cm，依题意，得x（402x）=a，整理，得x220x+a=0，=4004a0，解得a100，故选：D二、填空题7.【答案】10（1+x）2=13【解析】解：设该厂加工干果重量的月平均增长率为x，根据题意，可列方程为：10（1+x）2=13.8【答案】-

16、5和7；【解析】设两数中一个数为x，则另一个数为2-x根据题意得x2+(2-x)274，解得x1-5，x27当x-5时，另一个数为7；当x7时，另一个数为-5，所以这两个数为-5和79【答案】 x(x+10)300； 【解析】因为宽为xm，则长为(x+10)m，可列方程x(x+10)30010.【答案】16；【解析】x2-7x+120的两根为x13，x24，AB不可能等于3，因为有一条对角线长为6，所以AB4，菱形周长为1611【答案】13；【解析】设每轮发送中平均一个人发送了x人，由题意得：1+x+x（1+x）=196，解得：x1=13，x2=15（不合题意舍去）即每轮发送中平均一个人发送了

17、13人12【答案】20% ； 【解析】设降低的百分率为x，则3125(1-x)22000，(舍去)，三、解答题13.【答案与解析】(1)设长方形的宽为x m，则长为，根据题意，得x(6-x)5，即x2-6x+50，x11，x25(舍去) 当长方形的宽为1m，长为6m-1m5m时，面积为5m2 同样，当面积为8m2时，有x(6-x)8，即x2-6x+80，x12，x24(舍去) 当长方形的宽为2m，长为6-24m时，面积为8m2(2)当面积为l0m2时，x(6-x)10，即x2-6x+100，此时b2-4ac36-40-40，故此方程无实数根，所以这样的长方形不存在(3)设围成的长方形的面积为k

18、，则有x(6-x)k，即x2-6x+k0，要使该方程有解，必须有(-6)2-4k0，即k9 最大的k只能是9，即最大的面积为9m2，此时x3m，6-x3(m) 这时所围成的图形是正方形14. 【答案与解析】设这个宽度为xcm，根据题意有：(80-2x)(60-2x)80602 解这个方程得x110，x260 因为截去的小长方形的宽60-2x必须大于0， 即 60-2x0，亦即x30，所以x10 答：宽度为10cm时，截去的小长方形面积是原来铁片面积的一半15.【答案与解析】 解：（1）设绿地面积的年平均增长率为x，根据意，得 57.5（1+x）2=82.8解得：x1=0.2，x2=2.2（不合题意，舍去）答：增长率为20%； （2）由题意，得82.8（1+0.2）=99.36万元答：2015年该镇绿地面积不能达到100公顷