（教师版）小学奥数5-3-4-分解质因数(一).专项练习及答案解析.doc

1、5-3-4.分解质因数（一）教学目标1. 能够利用短除法分解2. 整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟“任何一个数字都可以表示为的结构，而且表达形式唯一”知识点拨一、质因数与分解质因数（1）.质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数.（2）.互质数：公约数只有1的两个自然数，叫做互质数.（3）.分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数.例如：.其中2、3、5叫做30的质因数.又如，2、3都叫做12的质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样

2、可以帮助我们分析数字的特征.（4）.分解质因数的方法：短除法例如：，（是短除法的符号） 所以；二、唯一分解定理任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即：其中为质数，为自然数，并且这种表示是唯一的.该式称为n的质因子分解式.例如：三个连续自然数的乘积是210，求这三个数.分析：210=2357，可知这三个数是5、6和7.三、部分特殊数的分解；.例题精讲模块一、分解质因数【例 1】 分解质因数20034= 。【考点】分解质因数 【难度】1星 【题型】填空【关键词】走美杯，决赛，5年级，决赛，第2题，10分【解析】 原式【答案】【例 2】 三个连续自然数的乘积是，求这三个数是多少？ 【考点

3、】分解质因数 【难度】1星 【题型】填空【解析】 分解质因数：，可知这三个数是、和。【答案】、和【例 3】 两个连续奇数的乘积是，这两个奇数之和是多少? 【考点】分解质因数 【难度】2星 【题型】填空【解析】 分解质因数：()()，所以和为.本讲不仅要求学生熟练掌握分解质因数，而且要注意一些技巧，例如本题中的。【答案】【巩固】 已知两个自然数的积是35，差是2，则这两个自然数的和是_.【考点】分解质因数 【难度】2星 【题型】填空【关键词】希望杯，四年级，二试，第8题【解析】 35=135=57，5、7差2，两个自然数的和是5+7=12【答案】元【例 4】 今年是2010年，从今年起年份数正好

4、为三个连续正整数乘积的第一个年份是 。【考点】分解质因数 【难度】3星 【题型】填空【关键词】而思杯，6年级，1试，第3题【解析】 ，所以是2184【答案】【例 5】 如果两个合数互质，它们的最小公倍数是126，那么，它们的和是 【考点】分解质因数 【难度】2星 【题型】填空【关键词】迎春杯，五年级,初赛，第3题【解析】 ，因为两个数互质且都是合数，所以这两个数只能为和，它们的和为【答案】【例 6】 4个一位数的乘积是360，并且其中只有一个是合数，那么在这4个数字所组成的四位数中，最大的一个是多少？【考点】分解质因数 【难度】2星 【题型】解答【解析】 将360分解质因数得，它是6个质因数的

5、乘积.因为题述的四个数中只有一个是合数，所有该合数必至少为个质因数的积，又只有3个2相乘才能是一位数，所以这4个乘数分别为3，3，5，8，所组成的最大四位数是8533.【答案】8533【例 7】 已知5个人都属牛，它们年龄的乘积是589225，那么他们年龄的和为多少？【考点】分解质因数 【难度】2星 【题型】解答【解析】 基本思路与上题一样，重点还是在“1”这个因数的使用上，所以分解因数得到，五个人的年龄和为125岁。【答案】125岁【例 8】 如果两个自然数的和与差的积是23，那么这两个自然数的和除以这两个数的差的商是_。【考点】分解质因数 【难度】2星 【题型】填空【关键词】希望杯，4年级

6、，初赛，4题【解析】 根据题意列式子如下：，因为分解质因数是与，所以，根据和差关系算出，所以这两个自然数的和除以这两个自然数的差的商为23，【答案】【例 9】 的计算结果能够整除三个连续自然数的乘积，这三个连续自然数之和最小是多少？【考点】分解质因数 【难度】2星 【题型】解答【解析】 首先分解质因数，其中最大的质因数是167，所以所要求的三个连续自然数中必定有167本身或者其倍数. ，所以，都没有4个2，不满足题意.说明167不可行.尝试，包括了中的所有质因数，所以这组符合题意，以此三数之和最小为1005.【答案】1005【例 10】 A是乘积为2007的5个自然数之和，B是乘积为2007的

7、4个自然数之和。那么A、B两数之差的最大值是 。【考点】分解质因数 【难度】3星 【题型】填空【关键词】华杯赛，五年级，决赛，第8题，10分【解析】 2007=1133223=1119223=1113669=11112007，所以A的可能值是231或235或675或2011，又2007=133223=119223=113669=1112007，所以B的可能值是230或234或674或2010，A、B两数之差的最大值为 2011230=1781。【答案】【例 11】 （老师可以先引入：小明一家四兄弟，大哥叫大毛，二哥叫二毛，三哥叫三毛，那老四叫什么？）大毛、二毛、三毛、小明四个人，他们的年龄一个

8、比一个大岁，他们四个人年龄的乘积是。问他们四个人的年龄各是几岁？ 【考点】分解质因数 【难度】2星 【题型】填空【解析】 题中告诉我们，是四个人年龄的乘积，只要我们把分解质因数，再按照每组相差2来分成四个数相乘，这四个数就是四个人的年龄了。，由此得出这四个人的年龄分别是12岁、14岁、16岁、18岁。由题意可知，这四个数是相差2的四个整数。它们的积是偶数，当然这四个数不是奇数，一定是偶数。又因为的个位数字不是0，显然这四个数中，没有个位数字是0的，那么这四个数的个位数字一定是2、4、6、8。又因为，而，所以可以断定，这四个数一定是12、14、16、18。也就是说，这四个人的年龄分别是12岁、1

9、4岁、16岁、18岁。答：这四个人的年龄分别是12岁、14岁、16岁、18岁。【答案】12岁、14岁、16岁、18岁【例 12】 甲数比乙数大，乙数比丙数大，三个数的乘积是，求这三个数？ 【考点】分解质因数 【难度】2星 【题型】解答【解析】 将分解质因数，则其中必有一个数是或的倍数；经试算，恰好，所以这三个数即为，.一般象这种类型的题，都是从最大的那个质因数去分析.如果这道题里不符合要求，下一个该考虑，再下一个该考虑，依此类推 【答案】，【例 13】 四个连续自然数的乘积是3024，这四个自然数中最大的一个是多少？ 【考点】分解质因数 【难度】2星 【题型】填空【解析】 分解质因数，考虑其中

10、最大的质因数7，说明这四个自然数中必定有一个是7的倍数.若为7，因3024不含有质因数5，那么这四个自然数可能是6、7、8、9或7、8、9、10(10仍含有5，不行)，经检验6、7、8、9恰符合.【答案】9【例 14】 植树节到了，某市举行大型植树活动，共有1430人参加植树，要把人数分成相等的若干队，且每队人数在100至200之间，则有分法（ ）。A、3种 B、7种 C、11种 D、13种【考点】分解质因数 【难度】3星 【题型】选择【关键词】华杯赛，五年级，初赛，第4题【解析】 只要找到100到200之间可以整除1430的数即可。1430可分解成2，5，11，13的乘积，所以可以按每组11

11、0人，130人，143人分组，共有3个方案。所以答案为A【答案】【例 15】 a、b、c、d、e这五个无数各不相同，它们两两相乘后的积从小到大排列依次为：3，6，15，18，20，50，60，100，120，300.那么，这五个数中从小大大排列第2个数的平方是_。A 1 B. 3 C. 5 D. 10【考点】分解质因数 【难度】5星 【题型】选择【关键词】迎春杯，中年级，复试，2题【解析】 D，解：设。由推知；由推知。，。在中，满足的三个数是所以。【答案】【例 16】 a、b、c、d、e这五个数各不相同，他们两两相乘后的积从小到大排列依次为：0.3、0.6、1.5、1.8、2、5、6、10、1

12、2、30。将这五个数从小到大排成一行，那么，左起第2个数是_。（A）0.3 （B）0.5 （C）1 （D）1.5【考点】分解质因数 【难度】5星 【题型】选择【关键词】迎春杯，高年级，复试，2题【解析】 ，设。由题意知，推知；由，推知，在中，满足的三个数是，所以，。【答案】【例 17】 将19九个自然数分成三组，每组三个数.第一组三个数的乘积是48，第二组三个数的乘积是45，第三组三个数字之和最大是多少？【考点】分解质因数 【难度】2星 【题型】解答【解析】 分解质因数，可知45只能是1，5，9的乘积，而48可能是2，4，6或2，3，8或1，6，8(舍去)，则第三组的三个数可能是3，7，8或4

13、，6，7，其中和最大的是.【答案】18【例 18】 一个长方体的长、宽、高都是整数厘米，它的体积是1998立方厘米，那么它的长、宽、高的和的最小可能值是多少厘米? 【考点】分解质因数 【难度】3星 【题型】解答【解析】 我们知道任意个已确定个数的数的乘积一定时，它们相互越接近，和越小如3个数的积为18，则三个数为2、3、3时和最小，为81998=233337，37是质数，不能再分解，所以2333对应的两个数应越接近越好有2333=69时，即1998=6937时，这三个自然数最接近它们的和为6+9+37=52(厘米)【答案】52【例 19】 一个长方体的长、宽、高是连续的3个自然数，它的体积是3

14、9270立方厘米，那么这个长方体的表面积是多少平方厘米? 【考点】分解质因数 【难度】3星 【题型】解答【解析】 39270=23571117，为三个连续自然数的乘积，而343434最接近39270，39270的约数中接近或等于34的有35、34、33，有333435=39270所以33、34、35为满足题意的长、宽、高则长方体的表面积为：2(长宽+宽高+高长)=2(3334+3435+3533)=6934(平方厘米)方法二：39270=23571117，为三个连续自然数的乘积，考虑质因数17，如果17作为长、宽或高显然不满足当17与2结合即34作为长方体一条边的长度时有可能成立，再考虑质因数

15、7，与34接近的数3236中，只有35含有7，于是7与5的乘积作为长方体的一条边的长度而39270的质因数中只剩下了3和1l，所以这个长方体的大小为333435长方体的表面积为2(+)=2(1190+1155+1122)=23467=6934(平方厘米)【答案】6934【例 20】 如果两数的和是64，两数的积可以整除4875，那么这两个数的差等于多少？ 【考点】分解质因数 【难度】3星 【题型】解答【解析】 4875=355513，有ab为4875的约数，且这两个数的和为64发现39=313、25=55这两个数的和为64，所以39、25为满足题意的两个数那么它们的差为39-25=14。【答案

16、】14【例 21】 有两个整数，它们的和恰好是两个数字相同的两位数，它们的乘积恰好是三个数字相同的三位数.求这两个整数分别是多少？ 【考点】分解质因数 【难度】3星 【题型】解答【解析】 两位数中，数字相同的两位数有11、22、33、44、55、66、77、88、99共九个，它们中的每个数都可以表示成两个整数相加的形式，例如，共有16种形式，如果把每个数都这样分解，再相乘，看哪两个数的乘积是三个数字相同的三位数，显然太繁琐了.可以从乘积入手，因为三个数字相同的三位数有111、222、333、444、555、666、777、888、999，每个数都是111的倍数，而，因此把这九个数表示成一个两位

17、数与一个一位数或两个两位数相乘时，必有一个因数是37或37的倍数，但只能是37的2倍(想想为什么？)3倍就不是两位数了.把九个三位数分解：、.把两个因数相加，只有()和()的两位数字相同.所以满足题意的答案是74和3，37和18.【答案】74和3，37和18【例 22】 如果一个数，将它的数字倒排后所得的数仍是这个数，我们称这个数为回文数如年份数1991，具有如下两个性质：1991是一个回文数1991可以分解成一个两位质数回文数和一个三位质数回文数的积在1000年到2000年之间的一千年中，除了1991外，具有性质和的年份数，有哪些？ 【考点】分解质因数 【难度】3星 【题型】解答【解析】 这

18、一千年间回文数年份共有10个，除去1991外，还有1001，1111，1221，1331，1441，1551，1661，1771，1881符合条件的两位质数只能是11，所以符合条件的只有三个，即 111011111， 111311441，1115l1661【答案】111011111， 111311441，1115l1661【例 23】 有一种最简真分数，它们的分子与分母的乘积都是140如果把所有这样的分数从小到大排列，那么第三个分数是多少？ 【考点】分解质因数 【难度】3星 【题型】解答【解析】 有140=2257，要保证分数最简即要让分子与分母是互质的，那么两个质因数2必须同时位于分子或者同

19、时位于分母的位置上。这样由小到大的最简分数依次是，倒数第三小的是。【答案】【例 24】 纯循环小数写成最简分数时,分子和分母的和是,则三位数【考点】分解质因数 【难度】3星 【题型】填空【解析】 如果直接把转化为分数,应该是,因此,化成最简分数后的分母应该是999的约数,我们将分解质因数得: ,这个最简分数的分母应小于,而且大于,否则该分 数就变成了假分数了,符合这个要求的的约数就只有37了,因此,分母应当为37,分子就是,也就是说,因此.【答案】567模块二、分解质因式【例 25】 三个质数的乘积恰好等于它们和的11倍，求这三个质数. 【考点】分解质因式 【难度】2星 【题型】解答【解析】

20、设这三个质数分别是、，满足，则可知、中必有一个为11，不妨记为，那么，整理得()()，又，对应的、或、或、 (舍去)，所以这三个质数可能是2，11，13或3，7，11.【答案】2、11、13或3、7、11【例 26】 三个质数的乘积恰好等于它们的和的7倍，求这三个质数【考点】分解质因式 【难度】2星 【题型】解答【解析】 设这三个质数分别是、，满足，则可知、中必有一个为7，不妨记为，那么，整理得，又，对应的2、9(舍去)或3、5，所以这三个质数可能是3，5，7【答案】3、5、7【例 27】 如图，长方形周长为，面积为。另一个长方形，面积为，周长为。它的长是 ，宽是 。【考点】分解质因式 【难度

21、】2星 【题型】填空【关键词】走美杯，3年级，决赛，第7题，10分【解析】 周长为则，长和宽的和为，因为，因为，所以它的长是，宽是。【答案】长是，宽是【例 28】 在面前有一个长方体，它的正面和上面的面积之和是209，如果它的长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多少? 【考点】分解质因式 【难度】3星 【题型】解答【解析】 如下图，设长、宽、高依次为a、b、c，有正面和上面的和为ac+ab=209ac+ab=a(c+b)=209，而209=1119当a=11时，c+b=19，当两个质数的和为奇数，则其中必定有一个数为偶质数2，则c+b=2+17;当a=19时，c+b=11，则c+b=2+

22、9，b为9不是质数，所以不满足题意所以它们的乘积为11217=374【答案】374【例 29】 两个不同的两位质数接起来可以得到一个四位数,比如由17，19可得到一个四位数1719,由19，17也可得到一个四位数1917.已知这样的四位数能被这两个两位质数的平均数所整除,试写出所有这样的四位数。【考点】分解质因式 【难度】3星 【题型】解答【解析】 设这2个两位质数分别是和，则这个四位数是，根据条件可知：,即()|()，设，则（），化简得() ()，因此,其中是整数，和均为两位质数，设, ，则两式相加得()，注意到和都是质数即也是奇数，所以是的约数. ，由于、都是两位不同的质数，因为中的偶数，所以【答案】1353、5313、1947、4719、2343、4323、2937、3729