生物医学信号处理-62-AR模型估计功率谱课件.ppt

1、AR模型参数和自相关函数的关系两边同时乘以x(n-m)，然后求均值()()xxxxRmRm1()()()kpkx nw na x nk1()()()()()()kpkE x n x nmE w n x nma x nk x nm1()()()kpxxxwxxkRmRma Rmk()()()xwRmE x n w nm0()()*()()()kx nw nh nh k w nk00()()()()()()()xwkkRmEh k w nk w nmh k E w nk w nm2200()()()()()wwwwkkh k Rmkh kmkhm 20,0()(),0 xwwmRmhm m带入式得

2、到:由于因而 h(0)=11()()()kpxxxwxxkRmRma Rmk121(),0()()(0),0(),0kkpxxkpxxxxwkxxa Rmk mRma RmkhmRm m 11()1kpkkH za z1()()()kpkh na h nkn显然，AR模型输出信号的自相关函数具有递推的性质：Yule-Walker(Y-W)方程1()(),0kpxxxxkRma Rmk m 1()()0,0kpxxxxkRma Rmkm21(0)(),0kpxxxxwkRa Rkm211(0)(1)()(1)(0)(1)0()(1)(0)0wpRRRpaRRRpaR pR pR上式方程组的系数都

3、是自相关矩阵，由于自相关函数是偶对称函数，因而自相关矩阵是对称矩阵，与主对角线平行的斜对角线上的元素都是相同的，是(p+1)x(p+1)的维托毕兹(Toeplitz)矩阵，所以存在高效算法，其中应用广泛的有Levinson-Durbin(L-D)算法。Yule-Walker(Y-W)方程表明，只要己知输出平稳随机信号的自相关函数，就能求出AR模型中的参数ak，并且需要的观测数据较少。211(0)(1)()(1)(0)(1)0()(1)(0)0wpRRRpaRRRpaR pR pR例例 己知自回归信号模型AR(3)为:式中w(n)是具有方差w w2 2=1的平稳白噪声，求a.自相关序列Rxx(m

4、),m=0,1,2,3,4,5.b.用a求出的自相关序列来估计AR(3)的参数k，以及输入白噪声的方差c.利用给出的AR模型，用计算机仿真给出32点观测值用观测值的自相关序序列来估计AR(3)的参数k，以及输入白噪声的方差2w2w解：解：a.已知的是模型参数ak,a1=-14/24,a2=-9/24,a3=-1/24，来求自相关序列Rxx(m)解线性方程组：R(0)=4.9377 R(1)=4.3287 R(2)=4.1964 R(3)=3.8654利用式 对AR模型参数是无失真的估计，因为己知AR模型，可以得到完全的输出观测值，因而求得的自相关函数没有失真，当然也就可以不失真的估计b.b.c

5、.利用给出的32点观测值，先求自相关序列由于偶对称，只给出m=0,1,2.31的值把头4个相关序列值代入计算矩阵求得估计值:与真实AR模型参数误差为:e1=0.1151,e2=0.1002,e3=0.0498原因在于只有一部分的观测数据，使得自相关序列值与理想的完全不同。输入信号的方差误差比较大，造成的原因比较多，计算机仿真的白噪声由于只有32点长，32点序列的方差不可能刚好等于11()()()()()()yyxxxxGzGz V zGz H z H z2()()()jjjyyxxGeH eGe2*1()()()xxGzH z Hz22()|()|jjxxGeH e22221()|()|1|)

6、|kjxxpjj kkGeA ea e11()1kpkkH za zY-W方程的解法：方程的解法：L-D算法算法在求解上例时要得到更精确的估计值，就要建立更高阶的AR模型，直接用观测值的自相关序列来求解Y-W方程计算量太大。因此把AR模型和预测系统联系起来，换个方法来估计AR参数。模型的当前输出值与它过去的输出值有关。预测是推断一个给定序列的未来值，即利用信号前后的相关性来估计未来的信号值。1()()()kpkx nw na x nk若序列的模型己知而用过去观测的数据来推求现在和将来的数据称为前向预测器，表示为式中am(k),k=1,2,m,代表m阶预测器的预测系数，负号是为了与技术文献保持一

7、致。显然预测出来的结果与真实的结果存在预测误差或前向预测误差，设误差为e(n)：把e(n)看成是系统输出，x(n)看成是系统输入，得到系统函数:1()()()mmkx nak x nk 1()()()()()()mmke nx nx nx nak x nk1()1()()mkmkE Zak zX Z 假如m=p，且预测系数和AR模型参数相同，比较下两式，把预测误差系统框图和AR模型框图给出，如下图所示，即有w(n)=e(n)，即前向预测误差系统中的输入为x(n),输出为预测误差e(n)等于白噪声。也就是说前向预测误差系统对观测信号起了白化的作用。由于AR模型和前向预测误差系统有着密切的关系，两

8、者的系统函数互为倒数，所以求AR模型参数就可以通过求预测误差系统的预测系数来实现。1()1()()mkmkE Zak zX Z 11()1kpkkH za z求预测误差均方值:要使得均方误差最小，将上式右边对预测系数求偏导并且等于零，得到m个等式:将上式代回前一式中，得：(1)(2)221()()()()mmkE e nE x nak x nk1()()(),1,2,mxxmxxkRlak Rlk lm 21()(0)()()mxxmxxkE e nRak Rk或者即是p阶预测器的预测系数等于p阶AR模型的参数，又e(n)=w(n)所以最小均方预测误差等于白噪声方差，即有了上面的知识后，再来看

9、怎样估计AR模型参数，也即要估计参数ak,p,w w2 2，这里介绍应用广泛的L-D算法。(3)21()(0)()ppxxkxxkE e nRa Rk()kmaakmp22()pwE e nL-D算法的基本思想就是根据Y-W方程式或式(1),(2),(3)，自相关序列具有递推的性质，L-D递推算法是模型阶数逐渐加大的一种算法，先计算阶次m=1时的预测系数am(k)=a1(1)和 w1w12 2，然后计算m=2时的am(k)=a 2(1)，a2(2)和 w2w22 2，一直计算到m=p阶时的ap(1),ap(2),ap(p)以及 wpwp2 2。这种递推算法的特点是，每一阶次参数的计算是从低一阶

10、次的模型参数推算出来的，既可减少工作量又便于寻找最佳的阶数值，满足精度时就停止递推。1()()(),1,2,mxxmxxkRlak Rlk lm 21()(0)()()mxxmxxkE e nRak Rk21()(0)()ppxxkxxkE e nRa Rk如按照式(1)，(3)，取m=1m=1，代入，简化下标，则有:：m=2m=21()()(),1,2,mxxmxxkRlak Rlk lm 21()(0)()()mxxmxxkE e nRak Rk这样递推下去可以得到预测系数和均方误差估计的通式:其中am(m)称为反射系数，从上式知道整个迭代过程需要己知自相关函数，给定初始值E0=R(0)，

11、a0(0)=1，以及AR模型的阶数p，就可以按照下图所示流程图进行估计。11111122211()()()()()()()()1()(0)1()mmmmmmkmmmmwmmmkkakakam amkR mak R mkamEEam ERak L-DL-D算法的优点就是计算速度快，求算法的优点就是计算速度快，求得的得的ARAR模型必定稳定，且均方预测模型必定稳定，且均方预测误差随着阶次的增加而减小。误差随着阶次的增加而减小。L-DL-D算算法的缺点，由于在求自相关序列时，法的缺点，由于在求自相关序列时，是假设除了观测值之外的数据都为零，是假设除了观测值之外的数据都为零，必然会引入较大误差。必然会

12、引入较大误差。pmmnxnxNmRNnx ,1,0)()(1)(10计算时数据的序号如果落在0N-1范围之外，则认为该数据为0，这样估得的自相关值是对称的，其自相关阵也是对称且具Toeplitz型的性质，所以模型系数仍可按L-D算法来解。例：例：己知自回归信号模型AR(3)为:式中w(n)是具有方差w w2 2=1的平稳白噪声，利用给出的AR模型，用计算机仿真给出32点观测值用L-D算法来估计AR(3)的参数k，以及输入白噪声的方差2w解：解：1.利用给出的32点观测值，先求自相关序列2.初始化E0=Rxx(0)=1.9271，a0=1递推有：其结果和上例中一致给定观测序列后很容易用L-D算法

13、来进行AR模型参数的估计，但是如何确定阶数p?AR模型的阶数选择不同得到的模型不同，效果相差较大，因而如何选择阶数很重要。国内外学者在这方面都做了许多研究工作，其中基于均方误差最小的最终预测误差（FPE）准则是确定AR模型阶次比较有效的准则。阶次阶次p p的选择的选择最终预测误差准则定义:给定观测长度为N，从某个过程的一次观测数据中估计到了预测系数，然后用该预测系数构成的系统处理另一次观察数据，则有预测均方误差，该误差在某个阶数p时为最小，其表达式为:上式中估计的方差随着阶数的增加而减小，而括号内的值随着p的增加而增加，因而能找到一最佳的p值，使得FPE最小。除了用上式进行阶数的选择，还可采用

14、试验的方法，如果某一个p值满足预先规定的某些要求，则认为该p值是最优的。在短数据情况下，根据经验，AR模型的阶次选在N/3N/2的范围内较好。21()()1wpNPFPE pNPAR模型的稳定性 AR(p)模型稳定的充分必要条件是H(z)的极点即A(z)的根都在单位圆内。如果 yule-walker方程的系数矩阵是正定的,则其解ak(k=1,2,p)所构成的A(z)的根都在单位圆内。在用Levinson-Durbin算法进行递推计算的过程中,还可得到各阶AR模型激励信号的方差k2(k=1,2,p),它们都应大于0,即k20。根据前面推导可知,必有|am(m)|1和k+12k2(k=1,2,p)

15、。即在 Levinson-Durbin算法递推计算过程中,如果有k+12k2或|am(m)|1,则AR(p)模型一定是稳定的。稳定的AR(p)模型将具有以下性质:H(z)的全部极点或A(z)的所有根都在单位圆内；自相关矩阵是正定的；激励信号的方差(能量)随阶次增加而递减；反射系数的模恒小于1,即|am(m)|1(m=1,2,p)。但在实际应用中,Levinson-Durbin算法的已知数据(自相关值)是由xN(n)来估计的,有限字长数应有可能造成大的误差,致使估计出来的AR(p)参数所构成的A(z)的根在单位圆上或外,从而使模型失去稳定。在递推计算过程中如果出现这种情况,将导致k20或|am(m)|1,即停止递推计算。