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类型江苏省扬州市2019-2020学年度第二学期高三数学最后一卷含答案.pdf

  • 上传人(卖家):副主任
  • 文档编号:588925
  • 上传时间:2020-06-21
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    1、2019-2020学年度第二学期高三最后一卷 数学 2020.06 一、 填空题 (本大题共14小题, 每小题5分, 共70分, 请将答案填写在答题卷相应的位置上) 1. 已知集合A=-1,0,a2, B=-1,1, 则AB=B, 则实数a的值是 2. 已知复数z满足 3+4i z =i(i为虚数单位), 则|z|= 3. 某校在高一、 高二、 高三三个年级中招募志愿者 50人, 现用分层抽样的方法分配三个年 级的志愿者人数, 已知高一、 高二、 高三年级的学生人数之比为 4:3:3, 则应从高三年级 抽取 名志愿者 4. 一个算法的伪代码如图所示, 执行此算法, 最后输出的S的值为 5. 已

    2、知抛物线的准线也是双曲线 x2 m - y2 3 =1的一条准线, 则该双曲线的两条渐近线方程 是 6. 某校机器人兴趣小组有男生3名, 女生2名, 现从中随机选出3名参加一个机器人大赛, 则选出的人员中恰好有一名女生的概率为 7. 已知数列 an是等比数列, Tn是其前n项之积, 若a5a6=a7, 则T7的值是 8. 已知f(x)=cosx+e x , 则f(3-x)- f(3x+1)0的解集为 9. 如图, 已知正 ABC 是一个半球的大圆 O 的内接三角形, 点 P 在球面上, 且 OP 面 ABC, 则三棱锥P-ABC与半球的体积比为 10.已知sin( 2 - 8 )= 3 3 ,

    3、 则sin+cos= . 11.设t表示不超过实数t的最大整数(如-1.3=-2, 2.6=2), 则函数f(x)= 2x-1 - x的零点个数为 . 12.已知点M是边长为2的正ABC内一点, 且AM =AB +AC , 若+= 1 3 , 则MB MC 的最小值为 . 13.已知等腰梯形 ABCD 中, A = B = 60, AB = 2, 若梯形上底 CD 上存在点 P, 使得 PA=2 PB, 则该梯形周长的最大值为 . 14.锐角 ABC 中, a, b, c 分别为角 A,B, C的对边, 若 acosB= b(1 + cosA), 则 a2 b2 + b c 的 取值范围为 .

    4、 二、 解答题:(本大题共 6 道题, 计 90 分解答应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步 骤) 15. (本小题满分14分) 设函数f(x)=cosxsin(x+ 3 )- 3 cos2x+ 3 4 , xR. (1) 求f(x)的最小正周期和对称中心; (2) 若函数g(x)= f(x+ 4 ), 求函数g(x)在区间- 6 , 6 上的最值 16. (本小题满分14分) 如 图 ,四 面 体 ABCD 被 一 平 面 所 截 ,平 面 与 四 条 棱 AB, AC, CD, BD 分别相交于 E, F, G, H 四点, 且截面 EFGH 是 一个平行四边形, AD平面BCD, .

    5、 求证: (1) EFBC; (2) EF平面ACD. A B C D E F G H 17. (本小题满分14分) 如图, 边长为 1的正方形区域 OABC 内有以OA为半径的圆弧AEC. 现决定从 AB 边上一点 D 引一条线段 DE 与圆弧 AEC 相切于点 E, 从而将正方形区域 OABC 分成三块: 扇形 COE 为区域 I, 四边形 OADE为区域II, 剩下的CBDE为区域III.区域I内栽树, 区域II内 种花, 区域 III 内植草 . 每单位平方的树、 花、 草所需费用分别为 5a、 4a、 a, 总造价是W, 设AOE=2. (1) 分别用表示区域I、 II、 III的面

    6、积; (2) 将总造价W表示为的函数, 并写出定义域; (3) 求为何值时, 总造价W取最小值? 18. (本小题满分16分) 如图, 在平面直角坐标系 xOy 中, 椭圆 E : x2 a2 + y2 b2 = 1(a b 0) 的右准线为直线 x = 4, 左顶点为 A, 右焦点为 F. 已知斜率为 2 的 直线 l 经过点 F, 与椭圆 E 相交于 B, C 两点, 且 O 到直线 l 的距离 为 25 5 . (1) 求椭圆E的标准方程; (2) 若过 O 的直线 m : y = kx 与直线 AB, AC 分别相交于 M, N 两 点, 且OM=ON, 求k的值. A B C O E

    7、 I II III Ox y A B C M N 19. (本小题满分16分) 已知函数f(x)=ex-ax2(aR). (1) 若曲线f(x)与直线l:y=(e-2)x+b(bR)在x=1处相切. 求a+b的值; 求证: 当x0时, f(x)(e-2)x+b; (2) 当a=0且x(0,+)时, 关于的x不等式x2f(x)mx+2lnx+1有解, 求实数m 的取值范围. 20. (本小题满分16分) 已知数列 an的各项均为非零实数, 其前n项和为Sn, 且 Sn Sn+1 = an an+2 . (1) 若S3=3, 求a3的值; (2) 若a2021=2021a1, 求证: 数列 an是

    8、等差数列; (3) 若a1=1, a2=2, 是否存在实数, 使得 2an-2am a2n-a2m对任意正整数m , n恒 成立, 若存在, 求实数的取值范围, 若不存在, 说明理由. 2019-2020学年度第二学期高三最后一卷 参考答案 一、 填空题 1. 12. 53. 154. 155. y=3 x 6. 3 5 7. 18. -2, 1 2 9. 33 8 10. 2 3 11. 2 12. 1 3 13. 3+5 14. 3, 7 2 二、 解答题 15解: (1) 由已知, f(x)=cos x( 1 2 sin x+ 3 2 cos x)- 3 cos2x+ 3 4 = 1 2

    9、 sin xcos x - 3 2 cos2x + 3 4 = 1 4 sin 2x - 3 4 (1 + cos 2x) + 3 4 = 1 4 sin 2x - 3 4 cos 2x = 1 2 sin(2x - 3 ) 4 分来 最小正周期为T=, 对称中心为 (k 2 + 6 ,0)kZ.7分 (2) g(x)= 1 2 sin(2x+ 6 ) 8分 g(x)在区间 6 , 6 上单调递增 .10分 g(x)max=g( 6 )= 1 2 12分 g(x)min=g(- 6 )=- 1 4 14分 16. 证明: (1) 因为四边形EFGH为平行四边形, 所以EFHG, 又EF平面BC

    10、D,HG平面BCD, 所以EF平面BCD, .4分 又EF平面ABC, 平面ABC平面BCD=BC, 所以EFBC. .7分 (2) 因为AD平面BCD,BC平面BCD, 所以ADBC, 由(1)知EFBC, 所以EFAD. .10分 因为BCCD, 所以EFCD. .12分 又ADCD=D,AD、CD平面ACD, 所以EF平面ACD. .14分 17. 解: (1)如图,S1= 1 2 ( 2 -2)1= 4 - 2分 连接OD, 则ODEODA,DA=tan,S2=2 1 2 1tan=tan, 4分 S3=1-tan- 4 +. 5分 (2) W=5aS1+4aS2+aS3=a(3tan

    11、-4+1), 7分 由2 0, 2 , 知(0, 4 ), 所以函数的定义域为(0, 4 ) 9分 (3) W=a( 3 cos2 -4), 11分 由W=0, 得cos= 3 2 或cos=- 3 2 (舍去) 又(0, 4 ), 所以= 6 当00, x1+x2= 32 19 , x1x2= 4 19 . .6分 由A(-2,0),B(x1,y1)可知AB:y= y1 x1+2 (x+2), 由 y=kx, y= y1 x1+2 (x+2) 得xM= 2y1 k(x1+2)-y1 , .9分 同理xN= 2y2 k(x2+2)-y2 , 因为OM=ON, 所以1+k2 xM=1+k2 xN

    12、, 由图可知xM+xN=0, .12分 所以2y1k(x2+2)-y2+2y2k(x1+2)-y1=0, 即(x1-1)k(x2+2)-2(x2-1)+(x2-1)k(x1+2)-2(x1-1)=0, 所以k= 4(x1-1)(x2-1) (x1-1)(x2+2)+(x2-1)(x1+2) = 4x1x2-(x1+x2)+1 2x1x2+(x1+x2)-4 .14分 = 4 4 19 - 32 19 +1 2 4 19 + 32 19 -4 = 4(4-32+19) 8+32-419 =1. .16分 19. 解: (1) 因为f x=ex-ax2, 所以fx=ex-2ax. 因为曲线f x与

    13、直线l:y=(e-2)x+b在x=1处相切, 所以f1=e-2a=e-2, 所以a=1. 所以f x=ex-x2, 所以f 1=e -1. 又切点(1,e-1)在直线l上, 所以e -1=e-2+b, 所以b=1, 所以a+b=2; 4分 由知a=1,b=1, 可设h x=ex-x2- e-2x-1 x0, 则g(x)=hx=ex-2x- e-2,gx=ex-2, 当x0, 所以hx在0,ln2上单调递减, 在ln2,+上单调递增, 由h0=3-e0,h1=0,02n,m2n2, 所以2m-2nm2-n2, 即2m-m22n-n2对任意正整数m , n(mn) 恒成立, 则2n+1- (n+1

    14、) 22n-n2, 即2n-2n-0对任意正整数n恒成立, 设Cn=2n-n2, 则Cn+1-Cn=2n+1- n+1 2-2n+n2=2n-2n-1, 设Dn=2n-2n-1, 则Dn+1-Dn=2n+1-2(n+1)-1-2n+2n+1=2n-2, 当n5时,Dn+1-Dn0, 所以DnD50, 所以CnC50, 所以2nn2, 所以2n-2n-n2-2n-, 当n5且n+2+ 时,2n-2n-0, 所以不存在满足条件的实数. 16分 三、 加试题 21. 解: 设矩阵A的逆矩阵为 ab cd , 则 -10 02 ab cd = 10 01 , 即 -a-b 2c2d = 10 01 ,

    15、 故a=-1,b=0,c=0,d= 1 2 . 所以矩阵A的逆矩阵为A-1= -10 0 1 2 . 5分 矩阵A-1的特征多项式为f = +10 0- 1 2 = +1- 1 2 令f =0, 解得A-1的特征值为1=-1,2= 1 2 10分 22. 解: 曲线C的直角坐标方程为x2+ y-m 2=4, 表示圆心为 0,m, 半径为2的圆 由cos + 3 =1, 得 1 2 cos- 3 2 sin=1, x-3 y-2=02分 设圆心到直线l的距离为d, 则d= |0-3 m-2| 1+3 2 = |3 m+2| 2 , 4分 所以PQ=24- 3 m+2 2 4 , 令24- 3 m

    16、+2 2 4 =23 , 得 m=0或m=- 43 3 10分 23. 解: 连接CE, 因为BCD为正三角形, 所以AEDB 又因为AE平面BCD,CE平面BCD, 所以AECE 以EB ,EC ,EA 为正交基底建立如图空间直角坐标系, 则A 0,0,3 ,B 1,0,0,C 0,3 ,0 ,D(-1,0,0), 因为F为线段AB上一动点, 且 BF BA =, 则BF =BA = -1,0,3 =(-,0,3 ), 所以F(1-,0,3). (1) 当= 1 4 时, F( 3 4 ,0, 3 4 ), DF =( 7 4 ,0, 3 4 ),CB =(1,-3 ,0), 所以cos=

    17、7 4 ( 7 4 )2+( 3 4 )2 12+(-3 )2 = 713 52 ; 4分 (2)DF =(2-,0,3 ), DC = 1,3 ,0 设平面CDF的一个法向量为n1 = x,y,z 由n1 DF, n1 DC 得 x,y,z 2-,0,3 =0 x,y,z 1,3 ,0 =0 , 化简得 2-x+3 z=0 x+3 y=0 , 取n1 = 3 ,-1,1-2 又平面BCD的一个法向量为n2 = 0,0,1 设平面BCD与平面ACD所成角为, 则cos = | cos | = 1- 2 3+1+ 1- 2 2 1 = 313 13 . 解得= 1 2 或=-1(舍去) , 所以

    18、= 1 2 . 10分 24. 解: (1) 设“三只黑猫挨在一起出笼”为事件A, 则P A= 3!7!8 10! = 1 15 答: 三只黑猫挨在一起出笼的概率为 1 15 3分 (2) X的取值为: 1、 2、 3、 4. 其中X=1时, 7只白猫相邻, 则P X=1= 4!7! 10! = 1 30 ; X=2时,P X=2= (62+62+62)7!3! 10! = 3 10 ; P X=3= 7! 2C1 3A 2 6+C 1 3A 2 6A 2 2 10! = 1 2 ; P X=4= 7!A36 10! = 1 6 ; 所以E X= 1 1 30 + 2 3 10 + 3 1 2 + 4 1 6 = 14 5 . 10分

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