湘教版九年级上册数学教学课件(第4章-锐角三角函数).ppt

1、经典 专业 用心精品课件本课件来源于网络只供免费交流使用4.1 正弦和余弦第4章 锐角三角函数第1课时 正 弦学习目标1.理解并掌握锐角正弦的定义，知道当直角三角形理解并掌握锐角正弦的定义，知道当直角三角形 的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定 (即正弦值不变即正弦值不变).(重点重点)2.能根据正弦概念正确进行计算能根据正弦概念正确进行计算.(重点、难点重点、难点)为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上建一座扬水站，对坡面绿地进行喷灌.先测得斜坡的坡脚(A)为 30，为使出水口的高度为 35 m，需要准备多长的水管？情

2、境引入导入新课导入新课30讲授新课讲授新课正弦的概念一 从上述情境中，你可以找到一个什么数学问题呢？能否结合数学图形把它描述出来？ABC3035m?合作探究ABC3035m 如图，在 RtABC 中，C=90，A=30，BC=35 m，求AB.根据“在直角三角形中，30角所对的边等于斜边的一半”.即可得 AB=2BC=70(m).也就是说，需要准备 70 m 长的水管.12BCAB，如果出水口的高度为50 m，那么需要准备多长的水管？在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么无论这个直角三角形大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于 .归纳：12 任意画 RtABC 和 RtABC，使得CC90

3、，AA，那么 与 有什么关系？你能解释一下吗？ABCABCBCABBCA B因为CC90，AA，所以RtABC RtABC.所以 这就是说，在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，A 的对边与斜边的比也是一个固定值ABBCA BBCBCBCABAB 如图，在 RtABC 中，C90，我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做A的正弦，记作 sin A 即例如，当A30时，我们有；2130sinsinAABCcab对边斜边归纳：A的对边斜边sin A=.ac例1 如图，在 RtABC 中，C=90，求 sinA 和sinB 的值.ABC43图？ABC135图？典例精析解：如图，

4、在 RtABC 中，由勾股定理得2222=435.ABACBC因此3sin5BCAAB，4sin.5ACBAB如图，在RtABC中，由勾股定理得2222=13512.ACABBC因此5sin13BCAAB，12sin.13ACBABsinA=()BCABsinA=()BCAC1.判断对错判断对错A10m6mBC练一练sinB=()BCABsinA=0.6 m ()sinB=0.8 m ()2.在在 RtABC中，锐角中，锐角 A 的对边和斜边同时扩大的对边和斜边同时扩大 100 倍，倍，sinA 的值的值 ()A.扩大扩大100倍倍 B.缩小缩小 C.不变不变 D.不能确定不能确定C1100例

5、2 如图，在平面直角坐标系内有一点 P(3，4)，连接 OP，求 OP 与 x 轴正方向所夹锐角 的正弦值.解：如图，设点 A(3，0)，连接 PA.A(0，3)在APO中，由勾股定理得2222345.OPOAAP因此4sin.5APOP方法总结：结合平面直角坐标系求某角的正弦函数值，一般过已知点向x轴或y轴作垂线，构造直角三角形，再结合勾股定理求解.如图，已知点 P 的坐标是(a，b)，则 sin 等于 ()OxyP(a，b)A.B.C.D.abba22aab22bab练一练D正弦的简单应用二例3 如图，在 RtABC 中，C=90，BC=3，求 sinB 及 RtABC 的面积.1sin3

6、A ABC提示：已知 sinA 及A的对边 BC 的长度，可以求出斜边 AB 的长.然后再利用勾股定理，求出 BC 的长度，进而求出 sinB 及 RtABC 的面积.解：1sin3A，13BCAB，AB=3BC=33=9.2222=936 2.ACABBC6 22 2sin.93ACBAB11=6 23=9 2.22ABCSAC BC 在 RtABC 中，C=90，sinA=k，sinB=h，AB=c，则BC=ck，AC=ch.在 RtABC 中，C=90，sinA=k，sinB=h，BC=a，则AB=ak，AC=ahk，归纳：1.在在RtABC中，中，C=90，sinA=，BC=6，则，则

7、 AB 的长为的长为 ()D35A.4 B.6 C.8 D.102.在在ABC中，中，C=90，如果，如果 sinA=，AB=6，那么那么BC=_.132练一练例4 在 ABC 中，C=90，AC=24cm，sinA=，求这个三角形的周长725解：设BC=7x，则AB=25x，在 RtABC中，由勾 股定理得22222524.ACABBCBCx即 24x=24cm，解得 x=1 cm.故 BC=7x=7 cm，AB=25x=25 cm.所以 ABC 的周长为 AB+BC+AC=7+24+25=56(cm).方法总结：已知一边及其邻角的正弦函数值时，一般需结合方程思想和勾股定理，解决问题.当堂练

8、习当堂练习1.在直角三角形在直角三角形 ABC 中，若三边长都扩大中，若三边长都扩大 2 倍，则倍，则 锐角锐角 A 的正弦值的正弦值 ()A.扩大扩大 2 倍倍 B.不变不变 C.缩小缩小 D.无法确定无法确定B122.如图，如图，sinA的值为的值为 ()7ACB330A.B.C.D.123732C2 1073.在在 RtABC 中，中，C=90 ，若，若 sinA=，则，则 A=，B=.2245454.如图，在正方形网格中有如图，在正方形网格中有 ABC，则，则 sinABC 的值为的值为 .1010解析：AB ，BC ，AC ，AB2 BC2AC2，ACB90，sinABC201822

9、10.1020ACAB5.如图，在 ABC 中，AB=BC=5，sinA=，求 ABC 的面积.D55CBA45解：作BDAC于点D，sinA=，454sin545BDABA ，2222543.ADABBD又 ABC 为等腰，BDAC，AC=2AD=6，SABC=ACBD2=12.6.如图，在如图，在 ABC 中，中，ACB=90，CDAB.(1)sinB 可以由哪两条线段之比表示可以由哪两条线段之比表示?ACBD解：A=A，ADC=ACB=90，ACD ABC，ACD=B，sinsin.ACCDADBACDABBCAC(2)若 AC=5，CD=3，求 sinB 的值.解：由题(1)知2222

10、534.ADACCD4sinsin.5ADBACDAC经典 专业 用心精品课件本课件来源于网络只供免费交流使用4.1 正弦和余弦第4章 锐角三角函数第2课时 特殊角的正弦、用计算器求锐角的正弦1.学习并掌握一些特殊锐角的正弦值；（重点）2.学会利用计算器求锐角的正弦值或根据正弦值求锐角(重点)学习目标猜谜语一对双胞胎，一个高，一个胖，3个头,尖尖角,我们学习少不了 思考：你能说说伴随你九个学年的这副三角尺所具有的特点和功能吗？导入新课导入新课情境引入454590603090思考：你能用所写的知识，算出图中表示角度的三角函数值吗？问题1：如何求sin 45的值？如图所示，构造一个RtABC，使C

11、=90，A=45.于是B=45.从而AC=BC根据勾股定理，得AB2=AC2+BC2=BC2+BC2=2BC2.于是AB=BC.因此212sin45222BCBCABBC讲授新课讲授新课特殊角的正弦值一问题2：如何求sin 60的值？如图所示，构造一个RtABC，使B=60，则A=30，从而 .根据勾股定理得 AC2=AB2-BC2=AB2-于是因此ABBC21221324ABAB32ACAB2360sinABAC 30、45、60角的正弦值如下表：锐角a三角函数 30 45 60sin a归纳：122232例1 计算：sin230 sin45sin260解：原式222322221典例精析24

12、3141.0通常我们把(sin30)2简记为sin230利用计算器求正弦值二 例如：求50角的正弦值，可以在计算器上依次按键 ，显示结果为0.7660 至此，我们已经知道了三个特殊角（30，45，60）的正弦值，而对于一般锐角的正弦值，我们可以利用计算器来求.求sin18第一步：按计算器 键，sin第二步：输入角度值18，屏幕显示结果sin18=0.309 016 994（也有的计算器是先输入角度再按函数名称键）.操作演示例2：用计算器求下列各式的值(精确到0.0001)：(1)sin47；(2)sin1230；解：根据题意用计算器求出：(1)sin470.7314；(2)sin12300.2

13、164；典例精析 如果已知锐角三角函数值，也可以使用计算器求出相应的锐角 已知sinA=0.501 8，用计算器求锐角A可以按照下面方法操作：还以以利用 键，进一步得到A300708.97 第一步：按计算器 键，2nd Fsin第二步：然后输入函数值0.501 8屏幕显示答案：30.119 158 67 2nd F操作演示例3：已知下列锐角三角函数值，用计算器求锐角A，B的度数(结果精确到0.1)：sinA0.7，sinB0.01；解：由sinA0.7，得A44.4；由sinB0.01，得B0.6；当堂练习当堂练习（1）0.64280.267231.5（3）若sin=0.5225，则 （精确到

14、0.1）；（4）若sin=0.8090，则 （精确到0.1）.1.利用计算器计算：（2）（精确到0.0001）；（精确到0.0001）；54.040sin3015sin2.计算：sin30+sin245+sin603解：原式23322212232121.25正弦特殊角的正弦值课堂小结课堂小结使用计算器解决锐角的正弦问题经典 专业 用心精品课件本课件来源于网络只供免费交流使用4.1 正弦和余弦第4章 锐角三角函数第3课时 余 弦1.理解并掌握锐角余弦的定义并能进行相关运算；(重点)2.学会用计算器求锐角的余弦值或根据余弦值求锐角 学习目标导入新课导入新课问题引入ABC 如图，在 RtABC 中，

15、C90，当锐角 A 确定时，A的对边与斜边的比就随之确定.此时，其他边之间的比是否也确定了呢？讲授新课讲授新课余弦一合作探究 如图所示，ABC 和 DEF 都是直角三角形，其中A=D，C=F=90，则成立吗？为什么？DEDFABACABCDEF我们来试着证明前面的问题：A=D=，C=F=90，B=E，从而 sinB=sinE，因此.ACDFABDEABCDEF 在有一个锐角相等的所有直角三角形中，这个锐角的邻边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关 如下图所示，在直角三角形中，我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做A的余弦，记作cosA，即归纳：ABC斜边邻边A的邻边斜边cos A=.ACA

16、B练一练1.在在 RtABC 中，中，C90，AB13，AC12，则则cosA .12132.求求 cos30，cos60，cos45的值的值 解：cos30=sin(9030)=sin60=；32 cos60=sin(9060)=sin30=12；cos45=sin(9045)=sin45=2.2例1：在RtABC中,C=90,如图,已知AC=3,AB=6,求sinA和cosB.BCA36.23633cosABBCB.23633sinABBCA.333622BC:Rt ABC,AB6,AC3,Q解 在中想一想:我们发现sinA=cosB,其中有没有什么内有的关系?求:AB,sinB.10AB

17、C.1312cosA变式：如图:在RtABC中,C=900,AC=10,.665121310AB.131266510sinABACB.131210AB思考:我们再次发现sinA=cosB,其中的内在联系你可否掌握?AC12:cosA,AC10,AB13 Q解从上述探究和证明过程看出，对于任意锐角，有 cos =sin(90)从而有 sin =cos(90)如图：在Rt ABC中，C90，sinAaAc的对边=斜边cosBaBc的邻边=斜边归纳总结sinA=cosB例2 计算：cos30 cos60+cos245解:原式 典例精析22222132332.22解析：图中无直角三角形，需构造直角三角

18、形，然后结合勾股定理，利用锐角三角函数的定义求解过点P作PHx轴，垂足为点H，如图在RtOPH中，PHb，OHa，在RtABC中，c5，a3，例3 如图,已知点P的坐标是(a,b)，则cos等于().cos22baaOPOHa,2222baPHOHOP2222 D.C.B.A.bab baaabbaC 也可以过点P作PMy轴于点M，注意点P(a，b)到x轴的距离是|b|，到y轴的距离是|a|，若点P不在第一象限，则要注意字母的符号方法总结如图：在Rt ABC中，C90，sinAaAc的对边=斜边cosAbAc的邻边=斜边1cossin222222222cccbacbcaAA知识拓展1.sinA

19、、cosA是在直角三角形中定义的，A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形).2.sinA、cosA是一个比值（数值）.3.sinA、cosA的大小只与A的大小有关，而与直角三角形的边长无关.用计算器求锐角余弦值或根据余弦值求锐角二 对于一般锐角（30，45，60除外）的余弦值，我们可用计算器来求.例如求50角的余弦值，可在计算器上依次按键 ，显示结果为0.6427 如果已知余弦值，我们也可以利用计算器求出它的对应锐角.例如，已知cos=0.8661，依次按键 ，显示结果为29.9914，表示角约等于30.1.如图，在如图，在 RtABC 中，斜边中，斜边 AB 的长为的长为 m，A=35，则直

20、角边，则直角边 BC 的长是的长是 ()sin35mA.cos35mB.cos35mC.cos35mD.A当堂练习当堂练习ABC2.随着锐角随着锐角 的增大，的增大，cos 的值的值 ()A.增大增大 B.减小减小 C.不变不变 D.不确定不确定B当 090时，cos 的值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)3.如图,在RtABC中,锐角A的对边和邻边同时扩大100倍,sinA的值（）A.扩大100倍 B.缩小100倍 C.不变 D.不能确定4.已知A,B为锐角(1)若A=B,则sinA sinB;(2)若sinA=sinB,则A B.ABCC=5如图，在平面直角坐标系内，O为原点，点A的

21、坐标为(10，0)，点B在第一象限内，BO=5，sinBOA (1)求点B的坐标；(2)求cosBAO的值53ABH解：(1)如图所示，作BHOA，垂足为H在RtOHB中，BO5，sinBOA ,BH=3，OH4，53点B的坐标为(4，3)8如图，在平面直角坐标系内，O为原点，点A的坐标为(10，0)，点B在第一象限内，BO=5，sinBOA (2)求cosBAO的值53ABH(2)OA10，OH4，AH6在RtAHB中，BH=3，2222365ABBHAH=3,62 5cos.55AHBAOAB3余弦余弦的概念：在直角三角形中，锐角的邻边与斜边的比叫做角的余弦课堂小结课堂小结余弦的性质：确定

22、的情况下，cos为定值，与三角形的大小无关用计算器解决余弦问题经典 专业 用心精品课件本课件来源于网络只供免费交流使用4.2 正 切第4章 锐角三角函数1.理解锐角的三角函数中正切的概念及其与现实生活的联系；（重点）2.能在直角三角形中求出某个锐角的正切值，并进行简单计算；(重点)学习目标智者乐水，仁者乐山 图片欣赏导入新课导入新课思考：衡量山“险”与“不险”的标准是什么呢？想一想:你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？梯子与地面的夹角称为倾斜角 从梯子的顶端A到墙角C的距离，称为梯子的铅直高度 从梯子的底端B到墙角C的距离，称为梯子的水平宽度ACB讲授新课讲授新课正切的定义一相关概念问题

23、1:你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？合作探究1ABCDEF倾斜角越大倾斜角越大梯子越陡梯子越陡问题2:如图，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？当铅直高度一样，水平宽度越小，梯子越陡当水平宽度一样，铅直高度越大，梯子越陡甲甲乙乙问题3:如图，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？当铅直高度与水平宽度的比相等时，梯子一样陡3m6mDEFC2mB4mA问题4:如图，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？当铅直高度与水平宽度的比越大，梯子越陡.3m2m6m5mABCDEF倾斜角越大，梯子越陡.若小明因身高原因不能顺利测量梯子顶端到墙脚的距离B1 C1,进而无法刻画梯子的倾斜程度，他

24、该怎么办？你有什么锦囊妙计？A AC1C1C2C2B2B2B1合作探究2两个直角三角形相似(1)RtAB1C1和RtAB2C2有什么关系?(3)如果改变B2在梯子上的位置(如B3C3)呢?思考：由此你得出什么结论?AB1C2C1B2112212(2)?BCB CACAC和有什么关系C3B3想一想相等相似三角形的对应边相等 在RtABC中,如果锐角A确定，那么A的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做A的正切,记作tanA,即ABCA的对边A的邻边AA的 对 边的 邻 边tanA=归纳总结结论：tanA的值越大，梯子越陡.邻对定义中的几点说明：1.初中阶段，正切是在直角三角形中定义的，A是一个锐角

25、.2.tanA是一个完整的符号，它表示A的正切.但BAC的正切表示为:tanBAC.1的正切表示为:tan1.3.tanA0 且没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中锐角A的对边与邻边的比（注意顺序：）.4.tanA不表示“tan”乘以“A”.5.tanA的大小只与A的大小有关，而与直角三角形的边长无关.邻对ABC 锐角A的正切值可以等于1吗？为什么？可以大于1吗？对于锐角A的每一个确定的值，tanA都有唯一的确定的值与它对应.解：可以等于1，此时为等腰直角三角形；也可以大于1，甚至可逼近于无穷大.议一议例1：下图表示两个自动扶梯,哪一个自动扶梯比较陡?解:甲梯中,6m乙8m5m甲13m 乙

26、梯中,.1255135tan22.4386tantantan,乙梯更陡.提示:在生活中,常用一个锐角的正切表示梯子的倾斜程度.典例精析 1.在RtABC中，C=90，AC=7，BC=5，则 tan A=_，tan B=_练一练5775互余两锐角的正切值互为倒数互余两锐角的正切值互为倒数.2.下图中ACB=90，CDAB,垂足为D.指出A和B的对边、邻边.ABCD(1)tanA=AC()CD()(2)tanB=BC()CD()BCADBDAC4.如图,在RtABC中,锐角A的对边和邻边同时扩大100倍,tanA的值（）A.扩大100倍 B.缩小100倍 C.不变 D.不能确定ABCC3.已知A,

27、B为锐角，(1)若A=B,则tanA tanB;(2)若tanA=tanB,则A B.=求 tan30，tan60的值.从而AC2=AB2-BC2=(2BC)2-BC2=3BC2.解：如图，构造一个RtABC，使C=90，A=30，于是 BC=AB，B=60.由此得出 AC=BC.因此 因此21333330tanBCBCACBC3360tanBCBCBCAC合作探究说一说tan 45的值tan45=1 30、45、60角的正弦值、余弦值和正切值如下表：锐角a三角函数 30 45 60sin acos atan a归纳：1232332222132123对于一般锐角（30，45，60除外）的正切值

28、，我们也可用计算器来求.用计算器求锐角的正切值或根据正切值求角二例如求25角的正切值，可以在计算器上依次按键 ，显示结果为0.4663如果已知正切值，我们也可以利用计算器求出它的对应锐角.例如，已知tan=0.8391，依次按键 ，显示结果为40.000，表示角约等于40.总结归纳 从正弦、余弦、正切的定义看到，任意给定一个锐角，都有唯一确定的比值sin(或cos，tan)与它对应，并且我们还知道，当锐角变化时，它的比值sin(或cos，tan)也随之变化.因此我们把锐角的正弦、余弦和正切统称为角的锐角三角函数.定义中应该注意的几个问题:w 1.sinA,cosA,tanA是在直角三角形中定义

29、的,A是锐角(注意数形结合,构造直角三角形).w 2.sinA,cosA,tanA是一个完整的符号,分别表示A的正弦,余弦,正切(习惯省去“”号).w 3.sinA,cosA,tanA 是一个比值.注意比的顺序.且sinA,cosA,tanA均0,无单位.w 4.sinA,cosA,tanA的大小只与A的大小有关,而与直角三角形的边长无关.w 5.角相等,则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等,则这两个锐角相等.例2 求下列各式的值：提示：cos260表示(cos60)2，即(cos60)(cos60).解：cos260+sin26022131.22典例精析(1)cos260+sin260

30、；(2)cos45tan45.sin45解：cos4522tan4510.sin4522 练一练计算：(1)sin30+cos45；解：原式=1212.222(2)sin230+cos230tan45.解：原式=221310.22 例3 已知 ABC 中的 A 与 B 满足(1tanA)2|sinB|0，试判断 ABC 的形状3232解：(1tanA)2|sinB|0，tanA1，sinB A45，B60，C180456075，ABC 是锐角三角形32，练一练33解：|tanB|(2 sinA )2 0，33 tanB ，sinA B60，A60.32，31.已知：已知：|tanB|(2 si

31、nA )2 0，求，求A，B的度数的度数.2.已知已知 为锐角，且为锐角，且 tan 是方程是方程 x2+2x 3=0 的一的一 个根，求个根，求 2 sin2+cos2 tan(+15)的值的值3解：解方程 x2+2x 3=0，得 x1=1，x2=3.tan 0，tan=1，=45.2 sin2+cos2 tan(+15)=2 sin245+cos245 tan603322222+33223.2 B C A(1)在RtABC中C=90，BC=5,AC=12,tanA=().(2)在RtABC中C=90，BC=5,AB=13,tanA=(),tanB=().(3)在RtABC中C=90，BC=

32、5,tanA=,AC=().431.完成下列填空：当堂练习当堂练习512512125202.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，ABC的三个顶点均在格点上，则tanA=（）A.B.C.D.53544334D这个图呢？CAB CAB3.如图,P是 的边 OA 上一点，点 P的坐标为 ，则 =_.12,5tanM记得构造直角三角形哦！512OP(12,5)Axy5.在等腰ABC中,AB=AC=13,BC=10,求tanB.提示:过点A作AD垂直于BC于点D.求锐角三角函数时,勾股定理的运用是很重要的.ACBD.512tanBDADB解：如图，过点A作ADBC于点D，在RtABD中，易知BD=5

33、，AD=12.6.在RtABC中,C=90,AB=15,tanA=,求AC和BC.434kACB1543tan,:ACBCA如图解.1543222kk.225252k.3k.12344,9333kACkBC3k.43kk7.如图，在RtABC中，C90，AB=10，BC6，求sinA、cosA、tanA的值解：sinBCAAB63sin105BCAAB又2222ACABBC1068,54cosABACA3tan4BCAACABC610变式1：如图，在RtABC中，C90，cosA ，求sinA、tanA的值1517解：15cos17ACAAB88sin,1717BCkAABk88tan.151

34、5BCkAACkABC设AC=15k，则AB=17k所以2222(17)(15)8BCABACkkk变式2：如图，在RtABC中，C90，AC8，tanA ，求sinA、cosB的值43ABC8解：3tan4BCAAC，8AC ，338644BCAC 63sin105BCAAB，22228610ABACBC63cos.105BCBAB 如图，在平面直角坐标系中，P(x,y)是第一象限内直线y=-x+6上的点,点A(5,0)，O是坐标原点，PAO 的面积为S.（1）求S与x的函数关系式；（2）当S=10时,求tanPAO 的值.M能力提升解：(1)过点P作PMOA于点M，15.22SOAPM=y

35、（2）当S=10时,求tanPAO 的值.M解：510,2Sy=Q4.y=又点P在直线y=-x+6上，x=2.AM=OA-OM=5-2=3.4tan.3PMPAOAM正切正切的概念：在直角三角形中，锐角的对边与邻边的比叫做角的正切课堂小结课堂小结正弦的性质：确定的情况下，tan为定值，与三角形的大小无关用计算器解决正切问题课堂小结课堂小结正切定 义A越大，tanA越大,梯子越陡与梯子倾斜程度的关系经典 专业 用心精品课件本课件来源于网络只供免费交流使用4.3 解直角三角形第4章 锐角三角函数学习目标1.了解并掌握解直角三角形的概念；2.理解直角三角形中的五个元素之间的联系.(重点)3.学会解直

36、角三角形.(难点)导入新课导入新课ACBcba(1)三边之间的关系:a2+b2=_；(2)锐角之间的关系：A+B=_；(3)边角之间的关系：sinA=_，cosA=_，tanA=_.如图，在RtABC中，共有六个元素（三条边，三个角），其中C=90.c290bc复习引入acab讲授新课讲授新课已知两边解直角三角形一在图中的RtABC中，(1)根据A75，斜边AB6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？sinsin6 sin75BCABCABAABcoscos6 cos75ACAACABAAB9090907515.ABBA ABC6合作探究75(2)根据AC2.4，斜边AB6，你能求出这个直角三

37、角形的其他元素吗？222222262.45.5ABACBCBCABAC2.4coscos0.4666ACAAAAB 9090906624ABBAABC62.4 在直角三角形中，除直角外有5个元素（即3条边、2个锐角），只要知道其中的2个元素（至少有1个是边），就可以求出其余的3个未知元素.由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫作解直角三角形.60A，90906030BA，22 2.ABACABC26解：6tan32BCAAC，典例精析例1 如图，在RtABC中，C=90，AC=，解这个直角三角形.6BC2在RtABC中，C90，a=30，b=20，根据条件解直角三角形.解：根据勾

38、股定理2222302010 13cab，303tan1.5202aAb，56.3.A909056.333.7.BAABCb=20a=30c练一练已知一边及一锐角解直角三角形二例2 如图，在RtABC中，C90，B35，b=20，解这个直角三角形 (结果保留小数点后一位).ABCb20ca35tan,bBa解：90=9035=55.AB2028.6.tantan35baBsin,bBc2034.9.sinsin35bcB 1.在 RtABC 中，C90，B72，c=14.根据条件解直角三角形.ABCbac=14解：sin,bBcsin14 sin7213.3.bcB907218.Acos,aBc

39、cos14 cos724.33.acB练一练2.如图，已知 AC=4，求 AB 和 BC 的长提示：作CDAB于点D，根据三角函数的定义，在RtACD，RtCDB中，即可求出 CD，AD，BD 的长，从而求解在RtCDB中，DCB=ACBACD=45，D解：如图，作CDAB于点D，在RtACD中，A=30，ACD=90-A=60，12,2CDAC=3cos42 3.2AD ACA=BD=CD=2.22 2.cosBCDCB22 3.ABADBD已知一锐角三角函数值解直角三角形三例3 如图，在RtABC 中，C=90，cosA=，BC=5，试求AB的长.13ACB解：190 cos3CA，1.3

40、ACAB设1,3ABx ACx，222ABACBC，22215.3xxACB1215 215 2,.44xx（舍去）AB的长为15 2.41.在RtABC中，C=90，sinA=，BC=6，则 AB的值为 ()A4 B6 C8 D10 35D2.如图，在菱形ABCD中，AEBC于点E，EC=4，sinB ，则菱形的周长是()A10 B20 C40 D28 45C练一练2.如图，在菱形ABCD中，AEBC于点E，EC=4，sinB ，则菱形的周长是 ()A10 B20 C40 D28 45C图提示：题目中没有给出图形，注意分类讨论.例4 在ABC中，AB=，AC=13，cosB=，求BC的长.1

41、2 222解：cosB=，B=45，22当ABC为钝角三角形时，如图，=12 2=45ABB，=cos12.AD BD ABB AC=13，由勾股定理得CD=5BC=BD-CD=12-5=7；图当ABC为锐角三角形时，如图，BC=BD+CD=12+5=17.BC的长为7或17.当堂练习当堂练习 C2.如图，在RtABC中，C=90，B=30，AB=8，则BC的长是 ()4 3A.4B.4C.8 3D.4 3 D1.在RTABC中，C=90，a，b，c分别是A，B，C的对边，则下列各式正确的是 ()A.b=atanA B.b=csinA C.b=ccosA D.a=ccosA3.在RTABC中，

42、C=90，B=37，BC=32，则 AC=(参考数据：sin370.60，cos370.80，tan370.75).4.如图，已知RtABC中，斜边BC上的高AD=3，cosB =，则 AC 的长为 .45 243.75 5.如图，在RtABC中，C90，AC=6，BAC 的平分线 ，解这个直角三角形.4 3AD 解：63cos24 3ACCADAD，30CAD，AD平分BAC，6030CABB，126 3.ABBC，DABC64 3解：过点 A作 ADBC于D.在ACD中，C=45，AC=2，CD=AD=sinC AC=2sin45=.在ABD中，B=30，BD=BC=CD+BD=6.如图，

43、在ABC中，B=30，C=45，AC=2，求BC.DABC226.326.tan3ADB解直角三角形依据解法：只要知道五个元素中的两个元素（至少有一个是边），就可以求出余下的三个未知元素勾股定理两锐角互余锐角的三角函数课堂小结课堂小结经典 专业 用心精品课件本课件来源于网络只供免费交流使用4.4 解直角三角形的应用第1课时 仰角、俯角问题第4章 锐角三角函数学习目标1.巩固解直角三角形有关知识.(重点)2.能运用解直角三角形知识解决仰角和俯角有关的实 际问题，在解题过程中进一步体会数形结合、转化、方程的数学思想，并从这些问题中归纳出常见的基 本模型及解题思路.(重点、难点)导入新课导入新课 某

44、探险者某天到达如图所示的点A 处时，他准备估算出离他的目的地，海拔为3 500 m的山峰顶点B处的水平距离.他能想出一个可行的办法吗？通过这节课的学习，相信你也行.AB问题引入讲授新课讲授新课解与仰俯角有关的问题一 如图，在进行测量时，从下向上看，视线与水平线上方的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线下方的夹角叫做俯角.例1 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30，看这栋高楼底部的俯 角为60，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）.ABCD仰角水平线俯角分析：我们知道，在视线与水平线所成的角中视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角

45、，因此，在图中，a=30，=60.典例精析 RtABD中，a=30，AD120，所以利用解直角三角形的知识求出BD的长度；类似地可以求出CD的长度，进而求出BC的长度，即求出这栋楼的高度.解：如图，a=30,=60，AD120tan,tan.BDCDaADAD312040 3(m).31203120 3(m).答：这栋楼高约为277.1m.ABCDtan120 tan30BDADatan120 tan60CDAD40 3120 3BCBDCD160 3277.1(m).建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC 40m的D处观察旗杆顶部A的仰角为54，观察底部B的仰角为45，求旗杆的高度（精确到0.1

46、m）.ABCD40m5445ABCD40m5445解：在等腰RtBCD中，ACD=90，BC=DC=40m.在RtACD中 ，tanACADCDCtanACADC DCtan54401.38 4055.2 m，AB=ACBC=55.240=15.2(m).练一练例3 如图，小明想测量塔AB的高度.他在D处仰望塔顶，测得仰角为30，再往塔的方向前进50m至C处.测得仰角为60，小明的身高1.5 m.那么该塔有多高?(结果精确到1 m)，你能帮小明算出该塔有多高吗?DABBDCC解：如图，由题意可知，ADB=30，ACB=60，DC=50m.DAB=60，CAB=30，DC=50m，设AB=x m

47、.5025 343.3(m)tan 60tan 30 x，43.31.544.845(m).ABtantanD BC BD ABC ABxx，tan60Btan30D BxCx ，tan 60tan3050 xx，DABBDCC如图，直升飞机在长400米的跨江大桥AB的上方P点处，在大桥的两端测得飞机的仰角分别为37和45，求飞机的高度.（结果取整数.参考数据：sin370.8，cos37 0.6，tan 370.75）AB3745400米米P练一练ABO3745400米米P设PO=x米，在RtPOB中，PBO=45，在RtPOA中，PAB=37，OB=PO=x米.解得x=1200.解：作PO

48、AB交AB的延长线于O.tan0.75POPABOA，即0.75400 xx，故飞机的高度为1200米.当堂练习当堂练习1.如图，在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平 面上一艘小船B，并测得它的俯角为45，则船与观 测者之间的水平距离BC=_米.2.如图，两建筑物AB和CD的水平距离为30米，从A点 测得 D点的俯角为30，测得C点的俯角为60，则 建筑物CD的高为_米.10020 3图BCA图BCAD30603.为测量松树AB的高度，一个人站在距松树15米的E 处，测得仰角ACD=52，已知人的高度是1.72米，则树高 (精确到0.1米）.ADBEC20.9 米4.如图，在电线杆上离地

49、面高度5m的C点处引两根拉 线固定电线杆，一根拉线AC和地面成60角，另一 根拉线BC和地面成45角则两根拉线的总长度为 m(结果用带根号的数的形式表示).10 35 235.目前世界上最高的电视塔是广州新电视塔如图所示，新电视塔高AB为610米，远处有一栋大楼，某人在楼底C处测得塔顶B的仰角为45，在楼顶D处测得塔顶B的仰角为39（tan390.81）(1)求大楼与电视塔之间的距离AC；解：由题意，ACAB610（米）.AEBCD3945AEBCD3945(2)求大楼的高度CD（精确到1米）.故BEDEtan39 CDAE，CDABDEtan39610610tan39116（米）.解：DEA

50、C610（米），在RtBDE中，tanBDE .BEDE4530OBA200米6.如图，直升飞机在高为200米的大楼AB上方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为30和45，求飞机的高度PO.UDP答案：飞机的高度为 米.300 100 3课堂小结课堂小结利用仰俯角解直角三角形仰角、俯角的概念运用解直角三角形解决仰角、俯角问题DCBA模型一模型二DCBA模型三模型四仰角、俯角问题的常见基本模型：ADBEC经典 专业 用心精品课件本课件来源于网络只供免费交流使用4.4 解直角三角形的应用第2课时 坡度问题第4章 锐角三角函数学习目标1.正确理解方向角、坡度的概念.(重点)2.能运用解直角三角