人教版七年级数学下册期考重难点突破、典例剖析与精选练习：解二元一次方程组（解析版）.doc

1、 1 / 24 人教版七年级数学下册期考重难点突破、典例剖析与精选练习： 解二元一次方程组 知识网络知识网络 重难突破重难突破 知识点一知识点一 消元的思想消元的思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，将二元一次方程组转 化为熟悉的一元一次方程，即可先求出一个未知数，然后再求另一个未知数。这种将未知数的个数由多化 少、逐一解决的思想，叫做消元的思想。 代入消元法代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方 程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。这个方法叫做代入消元法，简称代入法。 基本思路：未知数由多变少。 代入消元法

2、解二元一次方程组的一般代入消元法解二元一次方程组的一般步骤：步骤： 1.变：将其中一个方程变形，使一个未知数用含有另一个的未知数的代数式表示。 2.代：用这个代数式代替另一个方程中的相应未知数，得到一元一次方程。 3.解：解一元一次方程 4.求：把求得的未知数的值带入代数式或原方程组中的任意一个方程中，求得另一个未知数的值。 5.写：写出方程组的解。 6.验：将方程组的解带入到原方程组中的每个方程中，若各方程均成立，则这对数值就是原方程组的解， 负责解题有误。 2 / 24 加减消元法加减消元法：两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相 减，就能消去这个

3、未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。 加减消元法解二元一次方程组的一般加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：步骤： 1.变形：将两个方程中其中一个未知数的系数化为相同（或互为相反数）。 2.加减：通过相减（或相加）消去这个未知数，得到一个一元一次方程。 3.求解：解这个一元一次方程，得到一个未知数的值。 4.回代：将求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程，求出另一个未知数的值。 5.写解：写出方程组的解。 6.检验：将方程组的解带入到原方程组中的每个方程中，若各方程均成立，则这对数值就是原方程组的解， 负责解题有误。 整体消元法：整体消元法：根据方程组各系数

4、的特点，可将方程组中的一个方程或方程的一部分看成一个整体，带入另 一个方程中，从而达到消去其中一个未知数的目的，并求得方程的解。 例 (x+5)+(y(x+5)+(y- -4)=84)=8 (x+5)(x+5)- -(y(y- -4)=44)=4 令令 x+5=m,yx+5=m,y- -4=n4=n，带入原方程求解未知数，带入原方程求解未知数 原方程可写为 m+n=8 解得 m=6,n=2 所以 x=1 m-n=4 所以 x+5=6,y-4=2 y=6 特点：特点：两方程中都含有相同的代数式，如题中的 x+5,y-4 之类，换元后可简化方程也是主要原因。 解二元一次方程的基本步骤：解二元一次方

5、程的基本步骤： 1.1.消元消元 2.2.求解求解 3.3.回代回代 4.4.写解写解 5.5.检验检验 解三元一次方程的基本步骤解三元一次方程的基本步骤 1.变形（变三元一次为二元一次） 2.求解：解二元一次方程组 3.回代：将求得的未知数的值代入原方程组的一个适当的方程中，得到一个一元一次方程 4.求解：解一元一次方程，求出第三个未知数 5.写解：用大括号将所求的的三个未知数的值联立起来，即得原方程组的解。 【典型例题】【典型例题】 题型一题型一 用代入法解二元一次方程组用代入法解二元一次方程组 3 / 24 典例典例 1（2018 长沙市期末）由方程组 6 3 xm ym 可得出 x 与

6、 y 的关系式是( ) Ax+y9 Bx+y3 Cx+y3 Dx+y9 【答案】A 【解析】 由得：m=6-x 6-x=y-3 x+y=9 故选 A 变式变式 1-1 （2019 彬州市期中） 用代入消元法解方程组 3 +4 =2 25 xy xy 使得代入后化简比较容易的变形是( ) A由得 24 3 y x B由得 23 4 x y C由得 5 2 y x D由得 y2x5 【答案】D 【详解】 解：观察方程可知，中的系数为-1，比其它未知数的系数更为简单，所只要将变形为 y2x5， 再把代入即可求出方程组的解. 故应选 D. 变式变式 1-2（2019 平顶山市期中）方程 1 325 y

7、x xy 的公共解是（ ） A 3 2 x y B 3 4 x y C 3 2 x y D 3 2 x y 【答案】C 【详解】 把方程 y=1x 代入 3x+2y=5，得 3x+2（1x）=5， 解得：x=3 把 x=3 代入方程 y=1x，得 y=2 故选 C 4 / 24 变式变式 1-3（2019 成都市期中）以方程组 22 5 yx yx 的解为坐标的点(y，x)在第( )象限 A一 B二 C三 D四 【答案】D 【详解】 解方程组得 1 4 x y ， （4，-1）位于第四象限. 故选 D. 题型二题型二 用加减法解二元一次方程组用加减法解二元一次方程组 典例典例 2（2019 保

8、定市期末）已知 a，b 满足方程组则 a+b 的值为（ ） A4 B4 C2 D2 【答案】B 【解析】 试题解析：， +：4a+4b=16 则 a+b=4， 故选 B 变式变式 2-1（2019 许昌市期末）利用加减消元法解方程组 2510 536 xy xy ， ，下列做法正确的是（ ） A要消去 y，可以将 5 2 B要消去 x，可以将 3 （5） C要消去 y，可以将 5 3 D要消去 x，可以将 （-5） 2 【答案】D 【解析】 试题分析：由已知可得，消元的方法有两种，分别为： （1）要消去 y，可以将 3 5； 5 / 24 （2）要消去 x，可以将 （-5） 2 故选 D 变式

9、变式 2-2（2019 淮南市期末）若|321|20xyxy，则 x，y 的值为（ ） A 1 4 x y B 2 0 x y C 0 2 x y D 1 1 x y 【答案】D 【解析】 详解：32120xyxy ， 321 0 2 0 xy xy 将方程组变形为 32 =1 =2 xy xy ， + 2 得，5x=5，解得 x=1， 把 x=1 代入得，3-2y=1，解得 y=1， 方程组的解为 1 1 x y 故选：D 变式变式 2-3（2020 崇左市期末）用加减法解方程组下列解法错误的是（ ） A 3 2，消去 x B 2 3，消去 y C (3) 2，消去 x D 2 (3)，消去

10、 y 【答案】D 【解析】 本题考查了加减法解二元一次方程组 用加减法解二元一次方程组时，必须使同一未知数的系数相等或者互为相反数如果系数相等，那么相减 消元；如果系数互为相反数，那么相加消元 A、，可消去 x，故不合题意； B、，可消去 y，故不合题意； C、，可消去 x，故不合题意； 6 / 24 D、，得，不能消去 y，符合题意 故选 D 题型三题型三 用特殊法解二元一次方程组用特殊法解二元一次方程组 典例典例 3（2018 南通市期末）关于 x，y 的方程组 2318 517 axy xby （其中 a，b 是常数）的解为 3 4 x y ，则方 程组 2 ()3()18 ()5 ()

11、17 a xyxy xyb xy 的解为（ ） A 3 4 x y B 7 1 x y C 3.5 0.5 x y D 3.5 0.5 x y 【答案】C 【解析】 由题意知： 3 4 xy xy ，+，得：2x=7，x=3.5，得：2y=1，y=0.5，所以方程组的解 为 3.5 0.5 x y 故选 C 变式变式 3-1（2019 泰兴市期中）若方程组 51 2 623 mna mna 的解满足3mn，则a的取值是（ ） A 17a B17a C 20a Da不能确定 【答案】B 【详解】 51 2 623 mna mna ，得：7( )4mna ，即 4 7 a mn ，代入3mn得：

12、4 3 7 a ，解得： 17a ，故选B 变式变式 3-2（2019 萧山区期末）若方程组 11 22 a xyc a xyc 的解是 2 3 x y ，则方程组 111 222 a xyac a xyac 的解是 （ ） A 1 3 x y B 1 3 x y C 1 3 x y D 1 3 x y 7 / 24 【答案】D 【详解】 111 222 a xyac a xyac ， 11 22 1 1 axyc axyc . 设 1-x=m，-y=n，则方程组可变为 11 22 a mnc a mnc ， 方程组 11 22 a xyc a xyc 的解是 2 3 x y ， 2 3 m

13、n ， 12 3 x y ， 1 3 x y . 故选 D. 变式变式 3-3（2018 海安市期中）若方程组 237 351 mn mn 的解是 2 1 m n ，则方程组 21327 31521 xy xy 的 解是（ ） A 1 1 x y B 1 1 x y C 3 1 x y D 3 3 x y 【答案】A 【解析】 解：令 x+1=m，y2=n，方程组 21327 31521 xy xy （） （） （） （） 可化为 237 351 mn mn 方程组 237 351 mn mn 的 解是 2 1 m n ，x+1=2，y2=1，解得： 1 1 x y 故选 A 8 / 24 题

14、型四题型四 二元一次方程错解复原问题二元一次方程错解复原问题 典例典例 4 （2019 齐齐哈尔市期末）甲、乙两人共同解关于 x，y 的方程组 ，甲正确地解得 乙看错了方程中的系数 c，解得，则的值为（ ） A16 B25 C36 D49 【答案】B 【详解】 把代入得：， 解得： c=4， 把代入得： 3a+b=5， 联立得：， 解得：， 则（a+b+c）2=（21+4）2=25 故选 B 变式变式 4-1（2018 临沂市期末）在解方程组 510 44 axy xby 时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，得到的解 为 3 1 x y ，乙看错了方程组中的 b，得到的解为 5 4 x y 则

15、原方程组的解（ ） A 2 8 x y B 15 8 x y C 2 6 x y D 5 8 x y 【答案】B 【详解】 把甲得到的解带入第二个方程，得8b；把乙得到的解带入第一个方程，得2a ； 则得到方程 2510 484 xy xy ，解得 15 8 x y ，故选择 B. 变式变式 4-2（2019 贵港市期中）小亮在解二元一次方程组 2 78 axby cxy 时，把系数c看错而解得 2 2 x y ，而 原方程组的正确解为 3 2 x y ，那么系数, ,a b c的值是（ ） A不能确定 B4,7,2abc Ca和b不能确定， 2c D 4,5,2abc 9 / 24 【答案】

16、D 【详解】 解：把 3 2 x y 代入78cxy，解得2c， 把 2 2 x y 和 3 2 x y 代入2axby得出 222 322 ab ab ，解得 4 5 a b ， 所以4,5,2abc . 故选：D. 题型五题型五 构造二元一次方程组求解构造二元一次方程组求解 典例典例 5（2019 成都市期末）新运算“”定义为(a，b)(c，d)(ac+bd，ad+bc)，如果对于任意数 a，b 都有(a， b)(x，y)(a，b)，则(x，y)（ ） A(0，1) B(0，1) C(1，0) D(1，0) 【答案】D 【详解】 由新定义，知： (a,b)(x,y)=(ax+by,ay+b

17、x)=(a,b)， 则 ax bya aybxb 由+，得:(a+b)x+(a+b)y=a+b， a，b 是任意实数，x+y=1， 由，得 (ab)x(ab)y=ab，xy=1， 由解得，x=1，y=0， (x,y)为(1,0)； 故选 D. 变式变式 5-1 （2019 佳木斯市期末） 已知 3 5 m nm n xy 与 71 9 mn xy 的和是单项式， 则 m， n 的值分别是 （ ） . Am=1，n=7 Bm=3，n=1 Cm= 29 10 ，n= 6 5 Dm= 5 4 ，n=2 【答案】B 10 / 24 【详解】 由题意得： 7 1 mnm mnn ， 解得： 3 1 m

18、n ， 故选 B. 变式变式 5-2（2018 内江市期末）如果（x+y-5）2与|3x-2y+10|互为相反数，则 x，y 的值为（ ） Ax3，y 2 Bx 2，y 3 Cx 0，y 5 Dx 5，y 0 【答案】C 【详解】 （x+y-5）2与|3y-2x+10|互为相反数， （x+y-5）2+|3y-2x+10|=0， 5 0 3210 0 xy yx 解得 0 5 x y 故选 C 变式变式 5-3（2019 吉水县期中）如果 3x2n 1ym 与5xmy3是同类项，那么 m 和 n 的值分别是( ) A3 和2 B3 和 2 C3 和 2 D3 和2 【答案】C 【详解】 由题意可

19、得： 21 3 nm m ， 解得： 3 2 m n ， 故选 C 题型六题型六 已知二元一次方程组的解满足的条件求参数已知二元一次方程组的解满足的条件求参数 11 / 24 典例典例 6（2018 济南市期末）已知 2 1 x y 是二元一次方程组 7 1 mxny nxmy 的解，则 m+3n 的值是（ ） A4 B6 C7 D8 【答案】D 【解析】 详解：根据题意，将 2 1 x y 代入 7 1 mxny nxmy ，得： 27 21 mn mn ， +，得：m+3n=8， 故选 D 变式变式 6-1（2018 淄博市期中）如果方程组 54 358 xyk xy 的解中的 x 与 y

20、 相等，则 k 的值为（ ） A1 B1 或1 C5 D5 【答案】A 【详解】 由题意可得方程组 358xy xy ， 解得： 1 1 x y ， 把 1 1 x y 代入方程 5x-4y=k，得 k=5-4=1， 故选 A. 变式变式 6-2（2019 安定县期中）已知方程组 3x5yk2 2x3yk ，x 与 y 的值之和等于 2，则 k 的值为( ) A4 B4 C3 D3 【答案】A 【解析】 详解： 352 23 xyk xyk ， 2- 3 得：y=2（k+2）-3k=-k+4， 12 / 24 把 y=-k+4 代入得：x=2k-6， 又 x 与 y 的值之和等于 2，所以 x

21、+y=-k+4+2k-6=2， 解得：k=4 故选 A 变式变式 6-3（2019 巴彦淖尔市期末）若二元一次方程组 , 3 xya xya 的解是二元一次方程3570xy的一 个解，则a为（ ） A3 B5 C7 D9 【答案】C 【详解】 解：解方程组 3 xya xya ，得 2xa ya ， 把 x=2a，y=a 代入方程3570xy，得6570aa ， 解得：a=7. 故选 C. 题型七题型七 同解方程组同解方程组 典例典例 7（2020 金牛区期末）已知方程组 中的 ， 互为相反数，则的值为（ ） A B C D 【答案】D 【详解】 由题意得：x+y=0，即 y=-x， 代入方程

22、组得： ， 解得：m=3x=4， 故选：D 变式变式 7-1 （2019 临沂市期末） 如果方程组 13 4541 axby xy 与 3 237 axby xy 有相同的解， 则 a， b 的值是 （ ） 13 / 24 A 2 1 a b B 2 3 a b C 5 2 1 a b D 4 5 a b 【答案】A 【详解】 由已知得方程组 4541 237 xy xy ， 解得 4 5 x y ， 代入 13 3 axby axby ， 得到 4513 453 ab ab ， 解得 2 1 a b 故选 A. 变式变式 7-2（2019 宿州市期末）若方程组 3, 24 axby axby

23、 与方程组 23, -0 xy x y 有相同的解,则 a,b 的值分别为 ( ) A1,2 B1,0 C 1 3 ,- 2 3 D- 1 3 , 2 3 【答案】A 【详解】 解：解 23 -0 xy x y 得 1 1 x y 将 1 1 x y 代入 3 24 axby axby 得 3 24 ab ab ， 1 2 a b 解得 故选 A. 14 / 24 题型八题型八 三元一次方程组解法三元一次方程组解法 典例典例 8（2017 西安市期末）如果 280 2 350 xyz xyz ，其中 xyz0，那么 x：y：z=（ ） A1：2：3 B2：3：4 C2：3：1 D3：2：1 【

24、答案】C 【解析】 已知 280 2350 xyz xyz ， 2得，7y21z=0， y=3z， 代入得，x=8z6z=2z， x：y：z=2z：3z：z=2：3：1 故选 C 变式变式 8-1（2018 深圳市期中）已知方程组 235 321 xyz xyz ，那么代数式 8xyz 的值是( ) A6 B7 C8 D9 【答案】B 【详解】 解：3xy2z1， yz1z3x， 8xyz1z3x8x5xz1， 235 321 xyz xyz ， 得： 5xz6， 即 8xyz617， 故选 B 变式变式 8-2（2018 安庆市期末）已知实数 x，y，z 满足 7 422 xyz xyz ，

25、则代数式 3(xz)+1 的值是( ) 15 / 24 A2 B4 C5 D6 【答案】B 【详解】 方程组 7 422 xyz xyz ， 得：3x3z5， 整理得：3(xz)5， 把 3(xz)5 代入代数式 3(xz)+1 得： 5+14， 即代数式 3(xz)+1 的值是4， 故选：B 变式变式 8-3（2020 南昌市期中）已知三元一次方程组 10 20 40 xy yz zx ，则x yz（ ） A20 B30 C35 D70 【答案】C 【详解】 ， +得：2（x+y+z）=70， 则 x+y+z=35 故选 C 变式变式 8-4（2019 衡阳市期中）已知则等于( ) A38

26、B19 C14 D22 【答案】B 【详解】 解：将三个方程相加可得：2a2b2c38， 所以 abc19 16 / 24 故选 B. 巩固训练巩固训练 一、一、 选择题（共选择题（共 1010 小题）小题） 1 （2019 成都市期末）二元一次方程组 2 2 xy xy 的解是（ ） A 0 2 x y B 0 2 x y C 2 0 x y D 2 0 x y 【答案】B 【解析】 详解： 2 2 xy xy ， +得：2x=0， 解得：x=0， 把 x=0 代入得：y=2， 则方程组的解为 0 2 x y ， 故选：B 2 （2019 宜昌市期末）方程组 10 216 xy xy 的解是

27、（ ） A 6 4 x y B 5 6 x y C 3 6 x y D 2 8 x y 【答案】A 【解析】 详解： 10 216 xy xy ， -得 x=6， 把 x=6 代入，得 17 / 24 y=4， 原方程组的解为 6 4 x y 故选 A. 3 （2020 枣庄市期末）方程组 327 6211 xy xy ， 的解是（ ） A 1 5 x y ， B 1 2 x y ， C 3 1 x y ， D 2 1 2 x y ， 【答案】D 【详解】 解： 327 6211 xy xy ， 得：9x=18，即 x=2， 把 x=2 代入得：y= 1 2 ， 则方程组的解为： 2 1 2

28、x y ， 故选：D 4 （2019 延安市期末）若二元一次方程组 3, 354 xy xy 的解为 , , xa yb 则a b的值为（ ） A1 B3 C 1 4 D 7 4 【答案】D 【详解】 解： 3, 354, xy xy ， 得447xy， 18 / 24 所以 7 4 xy， 因为 , , xa yb 所以 7 4 xyab. 故选 D. 5 （2018 长沙市期末）由方程组 6 3 xm ym 可得出 x 与 y 的关系式是( ) Ax+y9 Bx+y3 Cx+y3 Dx+y9 【答案】A 【解析】 由得：m=6-x 6-x=y-3 x+y=9 故选 A 6（2018 鄂州市

29、期末） 甲、 乙两人同求方程 ax-by=7 的整数解， 甲正确地求出一个解为 1 1 x y ， 乙把 ax-by=7 看成 ax-by=1，求得一个解为 1 2 x y ，则 a，b 的值分别为( ) A 2 5 a b B 5 2 a b C 3 5 a b D 5 3 a b 【答案】B 【解析】 把甲的解代入 ax-by=7 可得 a+b=7，把乙的解代入可得 a-2b=1，由它们构成方程组可得 7 21 ab ab ，解方 程组得 5 2 a b ，故选 B 19 / 24 7 （2020 通辽市期末）已知 x+y=1，x-y=3，则 xy 的值为（ ） A2 B1 C1 D2 【

30、答案】D 【详解】 解方程组 1 3 xy xy 得. 2 1 x y ， 所以 xy=-2， 故选 D. 8 （2019 石家庄市期中）已知 3 2 x y 是方程组 2 3 axby bxay 的解，则a b的值是（ ） A1 B1 C5 D5 【答案】A 【详解】 将 3 2 x y 代入 2 3 axby bxay ， 可得： 322 323 ab ba ， 两式相加：1ab， 故选 A 9 （2019 南阳市期末）已知方程组 2 21 xyk xy 的解满足 xy3，则 k 的值为( ) A10 B8 C2 D8 【答案】B 【解析】 由题意可得 2 21 3 xyk xy xy ，

31、 20 / 24 2 -得 y= 2 3 k- 1 3 ， -得 x=-2， 代入得 y=5， 则 2 3 k- 1 3 =5， 解得 k=8 故选 B. 10 （2019 黄石市期末）若关于 , x y的方程组 23 9 xym xym 的解也是二元一次方程3 +217xy 的解，则m 的值为（ ） A1 B3 C 1 2 D2 【答案】A 【详解】 由题知,方程组 23 9 xym xym ，xy=9m 乘以 2 再与 x+2y=3m 相加得， 3x=21m， x=7m， 把 x=7m 代入方程组求出 y=2m， x,y 的方程组 23 9 xym xym 的解也是方程 3x+2y=17

32、的解， 把 x=7m，y=2m 代入方程 3x+2y=17 得， 37m+2(2m)=17， 解得 m=1； 故选 A. 二、二、 填空题（共填空题（共 5 5 小题）小题） 11 （2020 合肥市期末）已知关于 x，y 的二元一次方程组 的解互为相反数，则 k 的值是 _ 【答案】1 21 / 24 【详解】 关于 x，y 的二元一次方程组 的解互为相反数， x=-y， 把代入得：-y+2y=-1， 解得 y=-1，所以 x=1， 把 x=1，y=-1 代入得 2-3=k， 即 k=-1. 故答案为-1 12 （2020 南山区期末）已知x、y满足方程组 25 24 xy xy ，则x y

33、 的值为_ 【答案】1 【详解】 方法一：解方程组 25 24 xy xy ， 解得： 2 1 x y ， x-y=1； 方法二：两个方程相减，得. x-y=1， 故答案为 1. 13 （2019 定襄县期末）若方程组 xy7 3x5y3 ，则 3 xy3x5y的值是_ 【答案】24 【详解】 解： xy7 3x5y3 ， 3 xy3x5y3 7324 22 / 24 故答案为：24 14 （2020 五大连池市期中）若（2x3y+5）2+|x+y2|=0，则 x=_，y=_ 【答案】 1 5 9 5 【解析】 详解：(2x3y+5)2+|x+y2|=0， 2350 20 xy xy ， 解得

34、 19 ,. 55 xy 故答案为 1 9 ,. 5 5 15 （2020 达州市期末）一个无盖的长方形包装盒展开后如图所示（单位：cm） ，则其容积为_cm3. 【答案】800 【解析】 设长方体底面长宽分别为 x、y，高为 z， 由题意得： 26 220 15 xy yz yz ，解得： 16 10 5 x y z ， 所以长方体的体积为：16 10 5=800. 故答案为：800. 三、三、 解答题（共解答题（共 2 2 小题）小题） 16 （2018 贵港市期中）善于思考的小军在解方程组 253 4115 xy xy 时,采用了一种“整体代换”的解法: 将方程变形:4105xyy ，即

35、2 255xyy 把方程代入,得2 351yy ， 23 / 24 把1y 代入,得4x ，原方程组的解为 4 1 x y 请你解决以下问题: 模仿小军的“整体代换法”解方程组 325 9419 xy xy ； (2)已知x y、 满足方程组 22 22 321247 2836 xxyy xxyy ， 求 22 4xy与xy的值. 【答案】 （1）方程组的解为 3 2 x y ； （2）19. 【详解】 解： （1）由得：3（3x-2y）+2y=19， 把代入得：15+2y=19， 解得：y=2， 把 y=2 代入得：x=3， 则方程组的解为 3 2 x y ； （2）由得：3（x2+4y2）-2xy=47， 由得：2（x2+4y2）+xy=36， + 2 得：7（x2+4y2）=119， 解得：x2+4y2=17 2 得：6（x2+4y2）-4xy=94， 3 得：6（x2+4y2）+3xy=108， -得：7 xy=14 xy=2. 17 （2019 东莞市期末）解方程组： 2412 321 47 abc abc ac 【答案】 2 3 1 a b c 24 / 24 【详解】 解： a2b4c12 3a2bc1 4ac7 +得：4513ac -得：66c 1c 将1c代入得：2a 将2a，1c代入得：3b 2 3 1 a b c