混合策略纳什均衡合集课件.ppt

1、第二章第二章 完全信息静态信息博弈完全信息静态信息博弈-纳什均衡纳什均衡n一一 博弈的基本概念及战略表述博弈的基本概念及战略表述n二二 占优战略均衡占优战略均衡n三三 重复剔除的占优均衡重复剔除的占优均衡n四四 纳什均衡纳什均衡n五五 混合战略纳什均衡混合战略纳什均衡n六六 纳什均衡存在性及相关讨论纳什均衡存在性及相关讨论五五 混合策略纳什均衡混合策略纳什均衡 混合策略与期望支付混合策略与期望支付 计算混合策略纳什均衡的三种方法计算混合策略纳什均衡的三种方法 支付最大值法支付最大值法 支付等值法支付等值法 反应函数法反应函数法 多重纳什均衡及其甄别多重纳什均衡及其甄别 混合博弈在现实经济中的运

2、用案例混合博弈在现实经济中的运用案例五五 混合策略纳什均衡混合策略纳什均衡 纯策略纯策略(pure strategies)：如果一个策略规：如果一个策略规定参与人在一个给定的信息情况下只选择一定参与人在一个给定的信息情况下只选择一种特定的行动。种特定的行动。混合策略混合策略(mixed strategies)：如果一个策：如果一个策略规定参与人在给定的信息情况下，以某种略规定参与人在给定的信息情况下，以某种概率分布随机地选择不同的行动。概率分布随机地选择不同的行动。在静态博弈里，纯策略等价于特定的行动，在静态博弈里，纯策略等价于特定的行动，混合策略是不同行动之间的随机选择。混合策略是不同行动之

3、间的随机选择。期望支付期望支付 与混合策略与混合策略(mixed strategies)相伴随的一个问相伴随的一个问题题,是局中人支付的不确定性是局中人支付的不确定性(uncertainty).可用可用期望支付期望支付(expected payoff)来描述来描述有个有个n可可能的取值能的取值X1,X2,Xn，并且这些取值发生的概率，并且这些取值发生的概率分别为分别为p1,p2,pn，那么我们可以将这个数量指，那么我们可以将这个数量指标的期望值定义为发生概率作为权重的所有可能标的期望值定义为发生概率作为权重的所有可能取值的加权平均，也就是取值的加权平均，也就是nnAXpXpXpEU.2211政

4、府和流浪汉的博弈政府和流浪汉的博弈 政府想帮助流浪汉，但前提是后者必须试图寻找工政府想帮助流浪汉，但前提是后者必须试图寻找工作，否则，不予帮助；而流浪汉若知道政府采用救作，否则，不予帮助；而流浪汉若知道政府采用救济策略的话，他就不会寻找工作。他们只有在得不济策略的话，他就不会寻找工作。他们只有在得不到政府救济时才会寻找工作。他们获得的支付如图到政府救济时才会寻找工作。他们获得的支付如图所示：所示：（3，2）（-1，3）（-1，1）（0，0）流浪汉流浪汉寻找工作寻找工作 游闲游闲政府政府救济救济不救济不救济 思考：思考：政府会采用纯策略吗？流浪汉呢？这政府会采用纯策略吗？流浪汉呢？这个博弈有没有

5、纯策略的纳什均衡？个博弈有没有纯策略的纳什均衡？那么政府和流浪汉最有可能采用什么策略？那么政府和流浪汉最有可能采用什么策略？使自己的预期支付最大化。使自己的预期支付最大化。若能够猜的对方的策略，就可以采用针若能够猜的对方的策略，就可以采用针对性的策略，使自己的支付增加。对性的策略，使自己的支付增加。政府和流浪汉的博弈政府和流浪汉的博弈求解混合策略纳什均衡求解混合策略纳什均衡1、假定政府采用混合策略：、假定政府采用混合策略：2、流浪汉的混合策略为：、流浪汉的混合策略为：的概率选择游闲。的概率选择寻找工作，即流浪汉以11,L的概率选择不救济。的概率选择救济，即政府以11,G15101113Gu解一

6、解一:支付最大化支付最大化政府的期望效用函数为：政府的期望效用函数为：流浪汉流浪汉找工作找工作 游荡游荡0,0-1,1-1,33,2政府政府救济救济不救济不救济假设政府救济的概率为假设政府救济的概率为 ；流浪汉找工作的概率为；流浪汉找工作的概率为 ；则则15101113Gu对上述效用函数求微分，得到政府最优化的一阶条对上述效用函数求微分，得到政府最优化的一阶条件为：件为：2.0015Gu 就是说，从政府的最优化条件找到流浪汉混就是说，从政府的最优化条件找到流浪汉混合策略合策略流浪汉以流浪汉以0.2的概率选择寻找工作，的概率选择寻找工作，0.8的概率选择游闲。的概率选择游闲。解一解一:支付最大化

7、支付最大化解一解一:支付最大化支付最大化流浪汉流浪汉找工作找工作 游荡游荡0,0-1,1-1,33,2政府政府救济救济不救济不救济3)12(1031112Lu假设政府救济的概率为假设政府救济的概率为 ；流浪汉找工作的概率为；流浪汉找工作的概率为 ；则流浪汉的期望效用函数为：则流浪汉的期望效用函数为：流浪汉的期望效用函数为：流浪汉的期望效用函数为：5.0012Lu解一解一:支付最大化支付最大化3)12(1031112Lu2.0,5.0)1(3)1(2max)(1()1(3max则uuLG解二解二:支付等值法支付等值法 政府选择救济策略政府选择救济策略 政府选择不救济策略政府选择不救济策略1141

8、13,1Gu期望效用0101,0Gu期望效用如果一个混合策略是流浪汉的最优选择，那一定意味如果一个混合策略是流浪汉的最优选择，那一定意味着政府在救济与不救济之间是无差异的，即：着政府在救济与不救济之间是无差异的，即：2.0,014,1GGuu 解二解二:支付等值法支付等值法 如果一个混合策略是政府的最优选择，那一定意如果一个混合策略是政府的最优选择，那一定意味着流浪汉在寻找工作与游闲之间是无差异的，味着流浪汉在寻找工作与游闲之间是无差异的，即：即：5.0,031,1LLuu流浪汉流浪汉找工作找工作 游荡游荡0,0-1,1-1,33,2政府政府救济救济不救济不救济 如果政府救济的概率小于如果政府

9、救济的概率小于0.5；则流浪汉的最优选择是寻找工作；则流浪汉的最优选择是寻找工作；如果政府救济的概率大于如果政府救济的概率大于0.5；则流浪汉的最优选择是游闲等待救济。则流浪汉的最优选择是游闲等待救济。如果政府救济的概率正好等于如果政府救济的概率正好等于0.5；流浪汉的选择无差异。流浪汉的选择无差异。政府和流浪汉的博弈政府和流浪汉的博弈讨讨 论论 上面的均衡要求每个参与人以特定的概率选择纯上面的均衡要求每个参与人以特定的概率选择纯策略。也就是说，一个参与人选择不同策略的概策略。也就是说，一个参与人选择不同策略的概率不是由他自己的支付决定的，而是由他的对手率不是由他自己的支付决定的，而是由他的对

10、手的支付决定的。的支付决定的。正是由于这个原因，许多人认为混合策略纳什均正是由于这个原因，许多人认为混合策略纳什均衡是一个难以令人满意的概念。衡是一个难以令人满意的概念。事实上，正是因为它在几个（或全部）策略之间事实上，正是因为它在几个（或全部）策略之间是无差异的，他的行为才难以预测，混合策略纳是无差异的，他的行为才难以预测，混合策略纳什均衡才会存在。什均衡才会存在。讨讨 论论 尽管混合策略不像纯策略那样直观，但它确实是尽管混合策略不像纯策略那样直观，但它确实是一些博弈中参与人的合理行为方式。扑克比赛、一些博弈中参与人的合理行为方式。扑克比赛、垒球比赛、划拳就是这样的例子，在这一类博弈垒球比赛

11、、划拳就是这样的例子，在这一类博弈中，参与比赛的总是随机行动以使自己的行为不中，参与比赛的总是随机行动以使自己的行为不被对方所预测。被对方所预测。经济学上的监督博弈也是这样一个例子。如经济学上的监督博弈也是这样一个例子。如税收税收检查检查、质量检查质量检查、惩治犯罪惩治犯罪、雇主监督雇员雇主监督雇员等都等都可以看成猜谜博弈。可以看成猜谜博弈。扑克牌对色游戏扑克牌对色游戏 AB玩扑克牌对色游戏，每人都有红黑两张玩扑克牌对色游戏，每人都有红黑两张扑克牌，约定如果出牌颜色一样，扑克牌，约定如果出牌颜色一样，A输输B赢，赢，如果出牌颜色不一样，则如果出牌颜色不一样，则A赢赢B输。输。找到这个博弈的纳什

12、均衡。找到这个博弈的纳什均衡。-1，11，-11，-1-1，1红红黑黑BA红红黑黑例例 扑克牌对色游戏扑克牌对色游戏B红红 黑黑-1,11,-11,-1-1,1A红红黑黑假设A出红牌的概率为 ；B出红牌的概率为 ；则pq)12()21(2),(qqpqpUA因此A的最佳反应函数为2/12/12/1,1,1,0,0qqqp当当当)12()12(2),(ppqqpUB因此B的最佳反应函数为2/12/12/1,0,1,0,1pppq当当当同理同理)2/1,2/1(),(*qP纳什均衡是：纳什均衡是：A和和B出红牌还出红牌还是出黑牌的概率都是是出黑牌的概率都是1/2.反应函数法反应函数法练习练习1：利

13、用反应函数法找出政府与流浪汉博弈的纳什均衡：利用反应函数法找出政府与流浪汉博弈的纳什均衡流浪汉流浪汉找工作找工作 游荡游荡0,0-1,1-1,33,2政府政府救济救济不救济不救济321,)15(21uu假设政府救济的概率为 ；流浪汉找工作的概率为 ；则5/15/15/1,1,1,0,0rrr当当当2/12/12/1,0,1,0,1当当当r)5/1,2/1(),(*r纳什均衡是：政府以纳什均衡是：政府以1/2的概的概率选择救助，流浪汉以率选择救助，流浪汉以1/5的的概率选择找工作。概率选择找工作。练习练习2：利用反应函数法找出情侣博弈的所有纳什均衡：利用反应函数法找出情侣博弈的所有纳什均衡丽娟丽

14、娟足球足球 芭蕾芭蕾1,20,00,02,1大海大海足球足球芭蕾芭蕾激励的悖论激励的悖论 一小偷欲偷有守卫看守的仓库，若小偷去偷时一小偷欲偷有守卫看守的仓库，若小偷去偷时守卫睡觉（不负责），则小偷偷窃成功（令其守卫睡觉（不负责），则小偷偷窃成功（令其价值是价值是V），若守卫没有睡觉（尽职尽责），），若守卫没有睡觉（尽职尽责），则小偷会被抓住坐牢（设其效用为则小偷会被抓住坐牢（设其效用为-A）；再假）；再假设守卫睡觉而未被偷的效用为设守卫睡觉而未被偷的效用为S，守卫睡觉而，守卫睡觉而被偷则被解雇，其效用为被偷则被解雇，其效用为-D。写出得益矩阵，。写出得益矩阵，并分析如果想减少小偷偷东西的现象发

15、生并分析如果想减少小偷偷东西的现象发生,如何如何做效果更好做效果更好?小偷与守卫博弈小偷与守卫博弈小偷小偷守卫守卫偷偷p不偷不偷1-p睡睡q小睡小睡1-qV，-D-A，00，S0，0激励的悖论激励的悖论 用支付最大化值求出：用支付最大化值求出：DSSpSpSpDUSpSpDqqpSDpqUAVAqAqAVqUAqAVqpqApVpqU*0)()1(*0)()1(2211激励的悖论激励的悖论 用支付最大化值求出：用支付最大化值求出：11*AVAVAqSDDSSp11*当加大对小偷的处罚，守卫当加大对小偷的处罚，守卫偷懒的概率会增加偷懒的概率会增加当加大对守卫的处罚，小当加大对守卫的处罚，小偷偷东

16、西的概率会减小偷偷东西的概率会减小*qA*pS激励的悖论激励的悖论激励的悖论激励的悖论 从道理上讲从道理上讲,小偷偷东西是一种犯罪行为小偷偷东西是一种犯罪行为,而守恒不负责仅而守恒不负责仅是失职行为是失职行为;从性质上讲从性质上讲,犯罪的性质比失职的性质严重得犯罪的性质比失职的性质严重得多多,理所当然应该加重对小偷的处罚理所当然应该加重对小偷的处罚,但从上面的分析可看但从上面的分析可看出出,为了减少偷窃的现象为了减少偷窃的现象,反而是加重对守卫处罚效果更好反而是加重对守卫处罚效果更好.这就是这就是激励的悖论激励的悖论!在社会经济现象中在社会经济现象中,存在着许多激励的悖论的现象存在着许多激励的

17、悖论的现象,如为了如为了减少考试作弊的现象减少考试作弊的现象,应加大对监考人员失职的处罚其效应加大对监考人员失职的处罚其效果更好等等果更好等等.激励的悖论激励的悖论对我们制定政策和规章制度时带来了有益的思对我们制定政策和规章制度时带来了有益的思考考.练习练习:混合策略的纳什均衡混合策略的纳什均衡 下面的博弈是否存在纯策略的纳什均衡下面的博弈是否存在纯策略的纳什均衡,如果没有采用混合如果没有采用混合策略纳什均衡分析。试用支付最大化法和支付等值法两种策略纳什均衡分析。试用支付最大化法和支付等值法两种方法算一算混合策略的纳什均衡是多少？方法算一算混合策略的纳什均衡是多少？通过反应曲线通过反应曲线,求

18、求得混合策略的纳什均衡得混合策略的纳什均衡.2，35，23，11，5CDAB博弈方博弈方2博博弈弈方方15213BABApppp1352DCDCpppp对于博弈方1采用的混合策略,博弈方2的支付无差异对于博弈方2采用的混合策略,博弈方1的支付无差异 策略策略 得益得益博弈方博弈方1 （0.8，0.2）2.6博弈方博弈方2 （0.8，0.2）2.6解出PA=0.8,PB=0.2;PC=0.8,PD=0.2不同均衡概念的关系不同均衡概念的关系占优均衡DSE重复剔除占优均衡IEDE纯战略纳什均衡PNE混合战略纳什均衡MNE监督博弈的纳税检查 A 为应纳税款，C为检查成本，F是偷税罚款。假定 CA+F

19、。不存在纯战略纳什均衡。请问：如何才能降低纳税人逃税的可能性A-C+F,-A-FA-C,-A0,0A,-A税收机关 检查 不检查 纳税人逃税 不逃税 课后作业：以课后作业：以“监督博弈监督博弈”为关键词在学术期刊网上查找文献，为关键词在学术期刊网上查找文献，浏览至少三篇论文并精读一篇，写下笔记。浏览至少三篇论文并精读一篇，写下笔记。夫妻之争的混合策略纳什均衡看看这个博弈有几个均衡?2，10，00，01，3时时 装装足足 球球时装时装足球足球丈丈 夫夫妻妻子子夫妻之争夫妻之争存在两个纯策略均衡2，10，00，01，3时 装足 球时装足球丈丈 夫夫妻妻子子夫妻之争夫妻之争还存在混合策略纳什均衡2，

20、10，00，01，3时 装C足 球F时装C足球F丈丈 夫夫妻妻子子夫妻之争夫妻之争3)(0)(0)(1)(FpCpFpCpwwww1)(0)(0)(2)(FpCpFpCphhhh妻子的混合策略丈夫的混合策略夫妻之争博弈的混合策略纳什均衡夫妻之争博弈的混合策略纳什均衡 策略策略 得益得益博弈方博弈方1 （0.75，0.25）0.67博弈方博弈方2 （1/3，2/3）0.75 多重纳什均衡及其甄别多重纳什均衡及其甄别 帕累托优势标准帕累托优势标准 风险优势标准风险优势标准 帕累托优势标准和风险优势标准帕累托优势标准和风险优势标准 聚点均衡聚点均衡 相关均衡相关均衡 抗共谋均衡抗共谋均衡 看看这个博

21、弈有几个纯策略纳什均衡看看这个博弈有几个纯策略纳什均衡?-5，-5-10，88，-1010，10战争战争和平和平国家国家2战争战争和平和平国国家家1战争与和平博弈战争与和平博弈帕累托优势标准帕累托优势标准帕累托优势标准帕累托优势标准这个博弈中有两个纯策略这个博弈中有两个纯策略纳什均衡，（战争，战争）纳什均衡，（战争，战争）和（和平，和平），显然和（和平，和平），显然后者帕累托优于前者后者帕累托优于前者，所所以，（和平，和平）是本以，（和平，和平）是本博弈的一个按帕累托优势博弈的一个按帕累托优势标准筛选出来的纳什均衡。标准筛选出来的纳什均衡。-5，-5-10，88，-1010，10战争和平国家国

22、家2战争和平国国家家1战争与和平博弈战争与和平博弈风险优势标准风险优势标准若考虑到或者说是顾忌到其他博弈方可能发生错误的原因，若考虑到或者说是顾忌到其他博弈方可能发生错误的原因，帕累托上策均衡并不一定是最优选择，还需要比较帕累托上策均衡并不一定是最优选择，还需要比较风险优势风险优势。下面就是两个例子。下面就是两个例子。9，98，00，87，7LR博弈方博弈方2UD博博弈弈方方1风险上策均衡（风险上策均衡（D，R）风险优势标准风险优势标准从风险优势标准衡量，帕累托上策均衡从风险优势标准衡量，帕累托上策均衡（鹿，鹿）（鹿，鹿）并是最优并是最优选择，因为一旦对手方犯了错误，晕了头，选择了兔的策略选择

23、，因为一旦对手方犯了错误，晕了头，选择了兔的策略时，你的支付就会由时，你的支付就会由5变成变成0！你会选择这么高风险的策略吗？！你会选择这么高风险的策略吗？而而（兔，兔）（兔，兔）的策略组合，当对手方犯了错误，晕了头，选的策略组合，当对手方犯了错误，晕了头，选择了鹿的策略时，你的支付还是择了鹿的策略时，你的支付还是3，并没有损失！，并没有损失！5，53，00，33，3鹿鹿兔兔猎人猎人2鹿鹿兔兔猎猎人人1猎鹿博弈猎鹿博弈聚点均衡聚点均衡 聚点均衡是利用博弈设定以外的信息和依据选择聚点均衡是利用博弈设定以外的信息和依据选择的均衡。的均衡。文化、习惯、心理或者其他各种特征都文化、习惯、心理或者其他各

24、种特征都可能是聚点均衡的依据。可能是聚点均衡的依据。城市博弈（城市分组相同）、时间博弈（报出相城市博弈（城市分组相同）、时间博弈（报出相同的时间）是聚点均衡的典型例子。同的时间）是聚点均衡的典型例子。城市博弈：聚点均衡的例子城市博弈：聚点均衡的例子 游戏：请两个同学上来将四个城市进行分组，分游戏：请两个同学上来将四个城市进行分组，分成两组，每组两个城市。如果分组方法相同，则成两组，每组两个城市。如果分组方法相同，则每人平时分加每人平时分加5分。分。城市博弈：聚点均衡的例子城市博弈：聚点均衡的例子 这四个城市是：这四个城市是：上海、长春、哈尔滨、南京上海、长春、哈尔滨、南京相相 关关 均均 衡衡

25、5，14，40，01，5LR博弈方博弈方2UD博博弈弈方方1相关均衡例子相关均衡例子三个纳什均衡：无论是三个纳什均衡：无论是纯策略的纳什均衡（纯策略的纳什均衡（U，L）、）、（D，R）；混合策略的纳什均衡（）；混合策略的纳什均衡（1/2，1/2），结果），结果都不理想，不如都不理想，不如（U，L）、（）、（D，R）、）、（D，L）。）。利利用聚点均衡（天气，抛硬币），但仍不理想。用聚点均衡（天气，抛硬币），但仍不理想。相相 关关 均均 衡衡相关装置：相关装置：1、各、各1/3概率概率A、B、C2、博弈方、博弈方1看到是否看到是否A，博弈方，博弈方2看到是否看到是否C3、博弈方、博弈方1见见A采

26、用采用U，否则，否则D；博弈方；博弈方2见见C采用采用R，否则，否则L。相关均衡要点：相关均衡要点：1、构成纳什均衡、构成纳什均衡2、有人忽略不会造成问题、有人忽略不会造成问题一、多人博弈中的共谋问题一、多人博弈中的共谋问题这个博弈纯策略的纳什均衡是什么？这个博弈纯策略的纳什均衡是什么？0,0,10-5,-5,0-5,-5,01,1,-5LRUD博弈方博弈方2博博弈弈方方1博弈方博弈方3A-2,-2,0-5,-5,0-5,-5,0-1,-1,5LRUD博弈方博弈方2博博弈弈方方1博弈方博弈方3B共谋和抗共谋均衡共谋和抗共谋均衡本博弈的纯策略纳什均衡：（本博弈的纯策略纳什均衡：（U，L，A）、（

27、）、（D，R，B）前者帕累托优于后者。博弈的结果会是什么呢？前者帕累托优于后者。博弈的结果会是什么呢？（U，L，A）有共谋有共谋(Coalition)问题：博弈方问题：博弈方1和和2同时偏离。同时偏离。0,0,10-5,-5,0-5,-5,01,1,-5LRUD博弈方博弈方2博博弈弈方方1博弈方博弈方3A-2,-2,0-5,-5,0-5,-5,0-1,-1,5LRUD博弈方博弈方2博博弈弈方方1博弈方博弈方3B共谋和抗共谋均衡共谋和抗共谋均衡博弈的结果会是什么呢？博弈的结果会是什么呢？（U，L，A）有共谋有共谋(Coalition)问题：博弈方问题：博弈方1和和2同时偏离。同时偏离。（D，R，

28、B）是防共谋均衡！是防共谋均衡！0,0,10-5,-5,0-5,-5,01,1,-5LRUD博弈方博弈方2博博弈弈方方1博弈方博弈方3A-2,-2,0-5,-5,0-5,-5,0-1,-1,5LRUD博弈方博弈方2博博弈弈方方1博弈方博弈方3B共谋和抗共谋均衡共谋和抗共谋均衡防共谋均衡防共谋均衡 如果一个博弈的某个策略组合满足下列要求，称为如果一个博弈的某个策略组合满足下列要求，称为“防共谋均衡防共谋均衡”：（1）没有任何单个博弈方的）没有任何单个博弈方的“串通串通”会改变博弈的结果，即单独改变策会改变博弈的结果，即单独改变策略无利可图；略无利可图；（2）给定选择偏离的博弈方有再次偏离的自由时，没有任何两个博弈方）给定选择偏离的博弈方有再次偏离的自由时，没有任何两个博弈方的串通会改变博弈的结果；的串通会改变博弈的结果；（3）依此类推，直到所有博弈方都参加的串通也不会改变博弈的结果。）依此类推，直到所有博弈方都参加的串通也不会改变博弈的结果。前面例子中：（前面例子中：（D，R，B）是防共谋均衡是防共谋均衡 （U，L，A）不是防共谋均衡）不是防共谋均衡一点说明 存在博弈的纳什均衡，并意味参与者一定存在博弈的纳什均衡，并意味参与者一定不拒绝这种不拒绝这种纳什均衡。纳什均衡。