泰勒公式与极值问题资料课件.ppt

1、上一页上一页 下一页下一页 主主 页页返回返回 退出退出v高阶偏导数高阶偏导数v中值定理和泰勒公式中值定理和泰勒公式v极值问题极值问题上一页上一页 下一页下一页 主主 页页返回返回 退出退出设设 z=f(x,y)在域在域 D 内存在连续的偏导数内存在连续的偏导数,),(yxfxzx 若这两个偏导函数仍存在偏导数，若这两个偏导函数仍存在偏导数，则称它们是则称它们是z=f(x,y)的的二阶偏导数二阶偏导数.按求导顺序不同按求导顺序不同,有下列有下列四个二阶偏导数四个二阶偏导数:),(yxfyzy 上一页上一页 下一页下一页 主主 页页返回返回 退出退出)(xz)(yzx)(xzy),()(22yx

2、fyzyzyyy22xz);,(yxfxxyxz2),(yxfyx);,(2yxfxyzxyxz=f(x,y)的三阶偏导数共有八的三阶偏导数共有八(23)种情形：种情形：),()(33322yxfxzxzxx ),()(22322yxfyxzxzyyx 上一页上一页 下一页下一页 主主 页页返回返回 退出退出又如又如 z=f(x,y)关于关于 x 的的 n 1 阶偏导数阶偏导数,)(yyxznn111nnxz二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.再关于再关于 y 的一阶偏导数为的一阶偏导数为上一页上一页 下一页下一页 主主 页页返回返回 退出退出yxe2

3、2yxez2.23xyz解解:xz22xz)(223xyzxxyzyzxyz2yxz2 22 yzyxe2yxe22yxe2yxe22yxe22yxe24的二阶偏导数及的二阶偏导数及 上一页上一页 下一页下一页 主主 页页返回返回 退出退出.arctan2的的所所有有二二阶阶偏偏导导数数求求函函数数例例xyz 注意注意:从上面两个例子看到，有从上面两个例子看到，有,22xyzyxz但这一结论并不总成立但这一结论并不总成立.上一页上一页 下一页下一页 主主 页页返回返回 退出退出0,)(4222224224yxyxyyxxx0,)(4222224224yxyxyyxxyyfyfxxy)0,0()

4、,0(lim0),(yxfy),(yxfx)0,0(yxfxfxffyyxxy)0,0()0,(lim)0,0(0二者不等二者不等yyy0lim1xxx0lim1),(yxf0,022 yx0,022 yx0,222222yxyxyxyx0,022 yx上一页上一页 下一页下一页 主主 页页返回返回 退出退出则则连续连续都在点都在点和和若若,),()()(00yxx,yfx,yfxyyx),(),(0000yxfyxfxyyx 例如例如,对三元函数对三元函数 u=f(x,y,z),),(),(),(zyxfzyxfzyxfyxzxzyzyx说明说明:本定理对本定理对 n 元函数的高阶混合偏导数

5、也成立元函数的高阶混合偏导数也成立.函数在其定义区域内是连续的函数在其定义区域内是连续的,故求初等函数的高阶导故求初等函数的高阶导数可以选择方便的求导顺序数可以选择方便的求导顺序.),(),(),(zyxfzyxfzyxfxyzzxyyzx因为初等函数的偏导数仍为初等函数因为初等函数的偏导数仍为初等函数,当三阶混合偏导数当三阶混合偏导数在点在点(x,y,z)连续时连续时,有有而初等而初等今后除特别指出外，都假设相应的混合偏导数连续，今后除特别指出外，都假设相应的混合偏导数连续，从而混合偏导数与求导顺序无关从而混合偏导数与求导顺序无关.上一页上一页 下一页下一页 主主 页页返回返回 退出退出22

6、2,1zyxrru0222222zuyuxu证：证：xu22xu利用对称性,有,3152322ryryu222222zuyuxuu满足拉普拉斯满足拉普拉斯方程方程xrrxrrdud 21321rxrxr 31rxrrx4352331rxr5232231rzrzu52223)(33rzyxr2r0上一页上一页 下一页下一页 主主 页页返回返回 退出退出注意：注意：多元抽象复合函数的高阶导数在偏微分多元抽象复合函数的高阶导数在偏微分方程变形与验证解的问题中经常遇到方程变形与验证解的问题中经常遇到,下列几个例题有助于掌握这方面问题的求导技巧下列几个例题有助于掌握这方面问题的求导技巧与常用导数符号与常

7、用导数符号.上一页上一页 下一页下一页 主主 页页返回返回 退出退出.),(3222yxzxzyxxfz ，求求设设例例解解由由复复合合函函数数求求导导公公式式),(vufz 于于是是xvvfxuufxz 1fxz 得得),(1),(21yxxfyyxxf 1 2f y1,yxvxu 设设上一页上一页 下一页下一页 主主 页页返回返回 退出退出),(1),(12121yxxfyyxxffyfxz ),(1(),(2122yxxfyxyxxfxxz uf 1 111f11f xu vf 1xv (1y)22xvvfxuuf 1(121 fy122fy 2221fy yxvxu ,yf112)12

8、2yf 上一页上一页 下一页下一页 主主 页页返回返回 退出退出),(1(),(212yxxfyyyxxfyyxz yvvfyuuf 1111f)1(yy )(1y 0 12f 2yx 221yf (1y 222231221fyfyxfyx 21f0 22f)2yx yxvxu ,2fyvvfyuuf 22上一页上一页 下一页下一页 主主 页页返回返回 退出退出),(1zyxzyxf f 具有二阶连续偏导数,),(zyxzyxfw求.2zxw 解解:,zyxvzyxu xw ),(vufw 1f 2f),(2zyxzyxfzy )()(212fzyzfzzxw 11f 11f 12f y zy

9、 121 fyxf 2212)(fzxy 222fzyx 2fy 1 zy 1 yx 2f上一页上一页 下一页下一页 主主 页页返回返回 退出退出10 DyxPyxP),(),(222111凸区域：若区域凸区域：若区域 D 上任意两点的连线都含于上任意两点的连线都含于 D若若 D 为区域，则对任何为区域，则对任何 恒有恒有DyyyxxxP )(),(,(121121 凸凸区区域域非非凸凸区区域域1P2P内，则称内，则称 D 为凸区域为凸区域.1P2P上一页上一页 下一页下一页 主主 页页返回返回 退出退出（中值定理）（中值定理）定理定理8.17内内任任意意二二点点内内可可微微，则则对对连连续续

10、，在在DDint，存存在在某某，)10(int),(),(DkbhaQbaP使使得得kkbhafhkbhafbafkbhafyx),(),(),(),(),(baP),(kbhaQ ),(kbha 一元函数中值定理回顾一元函数中值定理回顾上上在凸开域在凸开域设二元函数设二元函数Df上一页上一页 下一页下一页 主主 页页返回返回 退出退出),()(tkbthaft 证证令令由定理的条件知由定理的条件知(t)在在 0,1 上连续，在上连续，在(0,1)内可微内可微.)()0()1(由复合函数的求导法则由复合函数的求导法则kkbhafhkbhafyx),(),()()0()1(),(),(bafkb

11、haf于是于是由于由于 D 为凸区域，所以为凸区域，所以Dkbha ),(从而有从而有),(),(bafkbhaf PQ 于是根据一元函数中值定理，于是根据一元函数中值定理，存在存在 使得使得kkbhafhkbhafyx),(),(上一页上一页 下一页下一页 主主 页页返回返回 退出退出.0上上为为常常值值函函数数在在区区域域，则则函函数数内内存存在在偏偏导导数数，且且在在区区域域若若函函数数推推论论DfffDfyx B A 上一页上一页 下一页下一页 主主 页页返回返回 退出退出),(),(),(000000yxfykxhyxfhyhxf )(0PUnnRyxfykxhnyxfykxh ),

12、(!1),(!2100002)10(),()!1(1001 kyhxfykxhnRnn一元函数泰勒公式回顾一元函数泰勒公式回顾上一页上一页 下一页下一页 主主 页页返回返回 退出退出其中其中),()(00yxfykxh ),()(002yxfykxh ),()(00yxfykxhm),(),(0000yxyfkyxxfh 表示表示),(),(2),(0022200200222yxyfkyxyxfkhyxxfh 一般地,表示表示).,(000yxyxfkhimimimimiimC 上一页上一页 下一页下一页 主主 页页返回返回 退出退出),(),(),(),(00000000kyhxkfkyhx

13、hfyxfkyhxfyx 这正是二元函数的拉格朗日中值公式这正是二元函数的拉格朗日中值公式.Rn 称为其称为其拉格拉格朗日型余项朗日型余项.上一页上一页 下一页下一页 主主 页页返回返回 退出退出),10(),()(00tktyhtxft其中其中),()1(,),()0(0000kyhxfyxf由定理的假设，由定理的假设，在在 0,1 在满足在满足一元函数泰一元函数泰勒定理条件，于是有勒定理条件，于是有)(t)1()()1(!)1(1nn)10()0()0()0()0()(!1!21nn 下面计算下面计算,2,1),0()(nn 上一页上一页 下一页下一页 主主 页页返回返回 退出退出利用多元

14、复合函数求导法则可得利用多元复合函数求导法则可得:),(),()(0000t kyt hxfkt kyt hxfhtyx),()()0(00yxfkhyx),()(002t kyt hxfhtxx),(200t kyt hxfkhyx),(002t kyt hxfkyy),()()0(002yxfkhyx),10(),()(00 tktyhtxft 上一页上一页 下一页下一页 主主 页页返回返回 退出退出),(C)(000)(t kyt hxyxfkhtpmpmpmpmppmm一般地一般地,),()()0(00)(yxfkhmyxm)1()()1(!)1(1nn将上述导数代入公式：将上述导数代

15、入公式：)0()0()0()0()(!1!21nn 即得二元函数泰勒公式即得二元函数泰勒公式.上一页上一页 下一页下一页 主主 页页返回返回 退出退出)(nnoR 若在泰勒公式中只要求余项若在泰勒公式中只要求余项)(0PU)(),(!1),(),(1000000nnppoyxfykxhpyxfhyhxf 上一页上一页 下一页下一页 主主 页页返回返回 退出退出)0,0()0,0(),(fyyxxfyxf )10()0,0(!1)0,0(!212fyyxxnfyyxxn ),()!1(11yxfyyxxnn 上一页上一页 下一页下一页 主主 页页返回返回 退出退出 .08.141),(496.3

16、它它计计算算（到到二二阶阶为为止止），并并用用）的的泰泰勒勒公公式式，在在点点（求求例例yxyxf 解解,ln),(xxyxfyy,)1(),(2 yxxxyyyxf,ln),(11xyxxyxfyyxy ,)(ln),(2xxyxfyyy 带入型余项的泰勒公式中：带入型余项的泰勒公式中：,4)4,1(,),(1 xyxfyxyxf,0)4,1(yf,12)4,1(xxf,1)4,1(xyf,0)4,1(yyf上一页上一页 下一页下一页 主主 页页返回返回 退出退出),(),(00yxfyxfxy )(),()()(!12210000 oyxfyyyxxxppp ),()(),()(),(00

17、000000yxfyyyxfxxyxfyx ),()(2),()(!2100000020yxfyyxxyxfxxxyxx )(),()(20020 oyxfyyyy 1)()4)(1()1(6)1(4122 oyxxx )1(4 x)()4)(1(2)1(122122 oyxx 上一页上一页 下一页下一页 主主 页页返回返回 退出退出)()4)(1()1(6)1(4122 oyxxxxy )4)(1()1(6)1(41)08.1(296.3 yxxxxy即即令令 x=1.08,y=3.96,则有则有x-1=0.08,y-1=-0.04,1 08.04208.06 04.008.0 3552.1

18、 把这个值与前面用全微分近似公式计算的结果相比把这个值与前面用全微分近似公式计算的结果相比较，这个结果更接近于真值较，这个结果更接近于真值 1.356307.上一页上一页 下一页下一页 主主 页页返回返回 退出退出定义定义:若函数若函数则称函数在该点取得则称函数在该点取得极大值极大值(极小值极小值).极大值和极小值极大值和极小值统称为统称为极值极值,使函数取得极值的点称为使函数取得极值的点称为极值点极值点.)()(0PfPf)()(0PfPf 或),(000yxPf 在点在点的某邻域内有的某邻域内有 注意：函数的注意：函数的极值点只可能是定义域的内点极值点只可能是定义域的内点.上一页上一页 下

19、一页下一页 主主 页页返回返回 退出退出xyz例如例如:在点(0,0)有极小值;在点(0,0)有极大值;在点(0,0)无极值.2243yxz22yxz yxz xyzxyz上一页上一页 下一页下一页 主主 页页返回返回 退出退出若若例如例如,函数函数存在存在偏导数偏导数,证证:0),(,0),(0000 yxfyxfyx取得极值,取得极值，取得极值，取得极值，取得极值，稳定点不一定是极值点稳定点不一定是极值点.有驻点有驻点(0,0),但在该点不取极值但在该点不取极值.且在该点取得极值且在该点取得极值,则有则有),(),(00yxyxfz在点在点),(),(00yxyxfz在点因在),(0yxf

20、z 0 xx 故在),(0yxfz 0yy yxz 则称则称(x0,y0)为为 f 的稳定点或驻点的稳定点或驻点.0),(,0),(0000 yxfyxfyx,0),(00 yxfx所以所以.0),(00 yxfy所以所以上一页上一页 下一页下一页 主主 页页返回返回 退出退出在原点在原点(0,0)没有偏导数，但它在原点有极小值没有偏导数，但它在原点有极小值;22yxz 所以，函数的极值只可能在稳定点或偏导数所以，函数的极值只可能在稳定点或偏导数不存在的点取得不存在的点取得.上一页上一页 下一页下一页 主主 页页返回返回 退出退出时时,具有极值具有极值 的某邻域内具有二阶连续偏导数的某邻域内具

21、有二阶连续偏导数,令则则:1)当当A0 时取极小值时取极小值.2)当当 3)当当时时,没有极值没有极值.时时,不能确定不能确定,需另行讨论需另行讨论.若函数若函数),(yxfz 0),(,0),(0000yxfyxfyx),(,),(,),(000000yxfCyxfByxfAyyyxxx02 BAC02 BAC02 BAC),(00yx在点在点且且上一页上一页 下一页下一页 主主 页页返回返回 退出退出0),(,0),(0000yxfyxfyx则有),(),(0000yxfkyhxfz20021),(hkyhxfxxkhkyhxfyx),(200),(200kkyhxfyy,),(),(00

22、连续的二阶偏导数在点由于yxyxf所以Akyhxfxx),(00Bkyhxfyx),(00Ckyhxfyy),(00上一页上一页 下一页下一页 主主 页页返回返回 退出退出22221kCkhBhA于是z),(21khQ)(22kh,很小时因此当kh.),(确定的正负号可由khQz(1)当 ACB2 0 时,必有 A0,且 A 与C 同号,)()2(),(222221kBACkBkhBAhAkhQA)()(2221kBACkBhAA可见,0),(,0khQA时当从而z0,因此),(yxf;),(00有极小值在点yx)(2o22221kkhh上一页上一页 下一页下一页 主主 页页返回返回 退出退出

23、,0),(,0khQA时当从而 z0,在点因此),(yxf;),(00有极大值yx(2)当 ACB2 0 时,若A,C不全为零,无妨设 A0,则)(),(221kkBhAkhQA)(2BAC),(0)()(),(0000yxyyBxxAyx接近沿直线当时,有,0kBhAAkhQ与故),(异号;),(yx当,),(0000时接近沿直线yxyy,0k有AkhQ与故),(同号.可见 z 在(x0,y0)邻近有正有负,在点因此),(yxf;),(00无极值yxxy),(00yxo上一页上一页 下一页下一页 主主 页页返回返回 退出退出+xy),(00yxo则必有 B0,不妨设 B0,此时 222),(

24、kCkhBhAkhQ),(00kyhx对点,同号时当kh,0),(khQ,异号时当kh,0),(khQ可见 z 在(x0,y0)邻近有正有负,在点因此),(yxf;),(00无极值yxkhB2,0z从而,0z从而(3)当ACB2 0 时,若 A0,则21)(),(kBhAkhQA若 A0,则 B0,2),(kCkhQ可能),(khQ为零或非零上一页上一页 下一页下一页 主主 页页返回返回 退出退出此时)(),(221okhQz因此,)(,0),(2确定的正负号由时因为ozkhQ不能断定(x0,y0)是否为极值点.上一页上一页 下一页下一页 主主 页页返回返回 退出退出,0),(yxfx0),(

25、yxfy并求出偏导数不存在的点并求出偏导数不存在的点.求出二阶偏导数的值：求出二阶偏导数的值：),(00yxfAxx),(00yxfBxy),(00yxfCyy 上一页上一页 下一页下一页 主主 页页返回返回 退出退出求函数求函数解解:第一步第一步 求稳定点求稳定点得稳定点得稳定点:(1,0),(1,2),(3,0),(3,2).第二步第二步 判别判别.在点在点(1,0)处处为极小值为极小值;解方程组解方程组),(yxfx09632 xx),(yxfy0632yy的极值的极值.求二阶偏导数求二阶偏导数,66),(xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12)0,1(xxfA5)

26、0,1(f,0Axyxyxyxf933),(2233,0)0,1(xyfB.6)0,1(yyfC 2BAC 2)0,1()0,1()0,1(xyyyxxfff.0612 故故 f 在在(1,0)有有极值极值,又因又因上一页上一页 下一页下一页 主主 页页返回返回 退出退出在点(3,0)处不是极值;在点(3,2)处为极大值.,66),(xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC)0,3(f6,0,12CBA31)2,3(f,0)6(122 BAC,0A在点(1,2)处不是极值;6,0,12CBA)2,1(f,0)6(122 BAC故故 f 在在

27、(-3,2)有有极值极值,又因又因上一页上一页 下一页下一页 主主 页页返回返回 退出退出及及在点在点(0,0)是否取得极值是否取得极值.解解:显然显然(0,0)都是它们的驻点都是它们的驻点,在在(0,0)点邻域内的取值点邻域内的取值,因此因此 (0,0)不是不是因此因此,022时当 yx222)(yxz0)0,0(z为极小值为极小值.正正负负033yxz222)(yxz并且在并且在(0,0)都有都有 02 BAC33yxz可能为可能为0)()0,0()0,0(222yxz的极值点的极值点.33yxz上一页上一页 下一页下一页 主主 页页返回返回 退出退出.61065),(622的极值的极值求

28、求例例 yxyxyxf.),(72是否有极值是否有极值求求例例xyxyxf .)2)(),(822是否有极值是否有极值在原点在原点求求例例xyxyyxf 上一页上一页 下一页下一页 主主 页页返回返回 退出退出函数函数 f 在闭域上连续在闭域上连续函数函数 f 在闭域上可达到最值在闭域上可达到最值 最值可疑点最值可疑点 稳定点、偏导数不存在的点稳定点、偏导数不存在的点边界上的最值点边界上的最值点特别特别,当区域内部最值存在当区域内部最值存在,且且只有一个只有一个极值点极值点P 时时,)(Pf为极小为极小 值值)(Pf为最小为最小 值值(大大)(大大)依据依据上一页上一页 下一页下一页 主主 页

29、页返回返回 退出退出解解:设水箱长设水箱长,宽分别为宽分别为 x,y 米米,则高为则高为则水箱所用材料的面积为则水箱所用材料的面积为令得驻点某厂要用铁板做一个体积为某厂要用铁板做一个体积为2 米米3 的有盖的有盖根据实际问题可知最小值在定义域内应存在根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,长方体水箱，长方体水箱，问当长、宽、高各取怎样的尺寸问当长、宽、高各取怎样的尺寸xy22Ayxyxy2yxx2yxyx22200yx0)(222xxyA0)(222yyxA因此可因此可断定此唯一驻点就是最小值点断定此唯一驻点就是最小值点.即当长、宽均为即当长、宽均为高为高为时时,水箱所用材料最省水箱所用材料最

30、省.)2,2(33323222233时时,才能使用料最省才能使用料最省?米米,上一页上一页 下一页下一页 主主 页页返回返回 退出退出把它折起来做成解解:设折起来的边长为 x cm,则断面面积x24一个断面为等腰梯形的水槽,倾角为,Acos2224xx x224(21sin)xsincossin2sin2422xxxx224x积最大.)0,120:(2 xD为问怎样折法才能使断面面上一页上一页 下一页下一页 主主 页页返回返回 退出退出cos24xcos22x0)sin(cos222x令xAsin24sin4x0cossin2xA解得:由题意知,最大值在定义域D 内达到,而在域D 内只有一个驻

31、点,故此点即为所求.,0sin0 xsincossin2sin2422xxxA)0,120:(2 xD0cos212xx0)sin(coscos2cos2422xx(cm)8,603x上一页上一页 下一页下一页 主主 页页返回返回 退出退出问题的提出问题的提出:已知一组实验数据已知一组实验数据求它们的近似函数关系求它们的近似函数关系 yf(x).,0(),(kyxkkoyx需要解决两个问题需要解决两个问题:1.确定近似函数的类型确定近似函数的类型 根据数据点的分布规律根据数据点的分布规律 根据问题的实际背景根据问题的实际背景2.确定近似函数的标准确定近似函数的标准)(iixfy 实验数据有误差

32、实验数据有误差,不能要求不能要求),1n最小二乘法最小二乘法 上一页上一页 下一页下一页 主主 页页返回返回 退出退出oyx 偏差偏差)(iiixfyr有正有负有正有负,值都较小且便于计算值都较小且便于计算,可由偏差平方和最小可由偏差平方和最小 min)(20iinixfy为使所有偏差的绝对为使所有偏差的绝对来确定近似函数来确定近似函数 f(x).设有一列实验数据设有一列实验数据分布在某条曲线上分布在某条曲线上,通过通过偏差平方和最小偏差平方和最小求该曲线的方求该曲线的方法称为法称为最小二乘法最小二乘法,找出的函数关系称为找出的函数关系称为经验公式经验公式.),1,0(),(nkyxkk,它们

33、大体它们大体 上一页上一页 下一页下一页 主主 页页返回返回 退出退出问题为确定问题为确定 a,b 令min)(20bxayknkk),(baMaM0)(20kknkkxbxaybM0)(20bxayknkkbxay满足满足:使oyx得axnkk02bxnkk0nkkkyx0axnkk0bn)1(nkky0解此线性方程组解此线性方程组 即得即得 a,b上一页上一页 下一页下一页 主主 页页返回返回 退出退出为了测定刀具的磨损速度,每隔 1 小时测一次刀具的厚度,得实验数据如下:找出一个能使上述数据大体适合的经验公式.解解:通过在坐标纸上描点可看出它们大致在一条直线上,列表计算:故可设经验公式为

34、bxayoyt27.0 26.8 26.5 26.3 26.1 25.7 25.3 24.8 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7(mm)iy(h)iti上一页上一页 下一页下一页 主主 页页返回返回 退出退出得法方程组a140b28a285.2088 b717解得,125.27,3036.0ba故所求经验公式为125.273036.0)(ttfyit0i2itiyiity70 0 27.0 07 49 24.8 137.628 140 208.5 717.0为衡量上述经验公式的优劣,计算各点偏差如下:上一页上一页 下一页下一页 主主 页页返回返回 退出退出oyt称为

35、均方误差,Mn1 对本题均方误差124.071M它在一定程度上反映了经验函数的好坏.108165.0)(270iiitfyM偏差平方和为27.0 26.8 26.5 26.3 26.1 25.7 25.3 24.8 0 1 2 3 4 5 6 7/mm)(itf算得的/mmiy实测的i27.125 26.518 25.911 25.30326.821 26.214 25.607 25.000 0.125 0.018 0.189 0.0030.021 0.086 0.093 0.200)(iitfy 上一页上一页 下一页下一页 主主 页页返回返回 退出退出oyt称为均方误差,Mn1 对本题均方误

36、差124.071M它在一定程度上反映了经验函数的好坏.108165.0)(270iiitfyM偏差平方和为i27.0 26.8 26.5 26.3 26.1 25.7 25.3 24.8 0 1 2 3 4 5 6 7/mm)(itf算得的/mmiy实测的27.125 26.518 25.911 25.30326.821 26.214 25.607 25.000 0.125 0.018 0.189 0.0030.021 0.086 0.093 0.200)(iitfy 作业：作业：P.141 1 上一页上一页 下一页下一页 主主 页页返回返回 退出退出)10(hhafafhaf)()()(设设 f 在在 a,b 连续，在连续，在(a,b)可导，则存在可导，则存在)()()(abfafbf ),(ba 使得使得中值公式也可表示为：中值公式也可表示为：一元函数中值定理：一元函数中值定理：a bx 上一页上一页 下一页下一页 主主 页页返回返回 退出退出一元函数一元函数)(xf的泰勒公式的泰勒公式:20000!2)()()()(hxfhxfxfhxfnnnRhnxf !)(0)(10)1(!)1()(nnnhnxxfR)10()(0 xU设函数设函数)(xf在在 x0 的某邻域的某邻域