泊松过程与维纳过程课件.pptx

1、一、独立增量过程一、独立增量过程.,(0),()(,0),(上的增量上的增量为随机过程在区间为随机过程在区间称随机变量称随机变量给定二阶矩过程给定二阶矩过程tstssXtXttX .0),(,)()(,),()(),()(,011201210为为则称则称相互独立相互独立个增量个增量和任意选定的和任意选定的正整数正整数如果对任意选定的如果对任意选定的 ttXtXtXtXtXtXtXnttttnnnn独立增量过程独立增量过程特征特征:在互不重叠的区间上,状态的增量是相互独立的.第1页/共33页.)0)()(,0)0(布确定布确定的分的分分布函数族可以由增量分布函数族可以由增量独立增量过程的有限维独

2、立增量过程的有限维的条件下的条件下在在tssXtXX ,)()()()(,0具有相同的分布具有相同的分布和和和和如果对任意的实数如果对任意的实数sXtXhsXhtXhthsh 则称增量具有平稳性增量具有平稳性.如果增量具有平稳性,那么增量X(t)-X(s)的分布函数只依赖于时间差t-s,而不依赖于t和s本身.当增量具有平稳性时,称相应的独立增量过程是齐次的齐次的或时齐的时齐的.第2页/共33页独立增量过程的协方差函数CX(s,t).)(,0)0(已知已知方差函数方差函数设设tDXX).()()(ttXtYX 记记;)(,)(也具有独立增量也具有独立增量具有独立增量时具有独立增量时当当tYtX)

3、.()()(,0)(,0)0(2tDtYEtDtYEYXY 有有时时当当因此因此,0,ts )()(),(tYsYEtsCX)()()()(0()(sYsYtYYsYE 第3页/共33页)()()()(0()(sYsYtYYsYE )()()()0()(2sYEsYtYEYsYE ).(sDX 表示为表示为数数协方差函数可用方差函协方差函数可用方差函对任意对任意因此因此,0,ts).,(min(),(tsDtsCXX)()(),(tYsYEtsCX)()()()(0()(sYsYtYYsYE 第4页/共33页二、泊松过程的数学模型二、泊松过程的数学模型问题的提出问题的提出下列事件随时间的推移迟

4、早会重复出现(1)自电子管阴极发射的电子到达阳极;(2)意外事故或意外差错的发生;(3)要求服务的顾客到达服务站.第5页/共33页问题的分析与求解问题的分析与求解将电子、顾客等看作时间轴上的质点,电子到达阳极、顾客到达服务站等事件的发生相当于质点出现.因此研究的对象可以认为是随时间推移随时间推移,陆陆续地出现在时间轴上的许多质点所构成的随机的续地出现在时间轴上的许多质点所构成的随机的质点流质点流.,0(0),(出现的质点数出现的质点数时间轴上时间轴上内内表示在时间间隔表示在时间间隔用用tttN.,0),(称为称为续的随机过程续的随机过程、时间连、时间连是一个状态取非负整数是一个状态取非负整数

5、ttN计数过程计数过程第6页/共33页计数过程的一个典型样本函数第7页/共33页0000(,)()(),0,).N t tN tN tttt t记表示在时间间隔内出现的质点数的概率为的概率为随机事件随机事件),(0kttN.,2,1,0,),(),(00 kkttNPttPk的假设的假设对对)(tN(1)在不相重叠的区间上的增量具有独立性;,)2(t 对于充分小的对于充分小的)(1),(),(1tottttNPtttP .)(0的强度的强度称为过程称为过程常数常数tN 第8页/共33页,)3(t 对于充分小的对于充分小的)(),(),(22tojtttNPtttPjjj .0)0()4(N.0

6、),(4)(1)(2)(3)(作作称称的计数过程的计数过程满足条件满足条件 ttN的泊松过程的泊松过程强度为强度为.,21称作称作点出现的随机时刻点出现的随机时刻相应的质点流或质相应的质点流或质tt的泊松流的泊松流强度为强度为 第9页/共33页 210),(),(1),(kktttPtttPtttP增量的分布律所以根据假设有所以根据假设有由于由于,1),(00 kkttP.)(1tot 概率的计算).,(,000ttPt先计算先计算时时当当 0),(),(000 tttNPtttP0),(),(0 tttNttNP0),(,0),(0 tttNttNP第10页/共33页0),(,0),(),(

7、000 tttNttNPtttP0),(0),(0 tttNPttNP)(1),(00totttP )(),(),(),(000000totttPttPtttP ttottPtttPtttP )(),(),(),(000000 取极限得微分方程取极限得微分方程令令,0t),(),(0000ttPdtttdP 第11页/共33页),(),(0000ttPdtttdP 1),(,0),(00000 ttPttN利用初始条件求解微分方程可得.,),(0)(000ttettPtt .1),(0 kttPk再计算再计算),(),(),(00ktttNttNPktttNP kjjkttNPjtttNP00

8、),(),(第12页/共33页 kjjkttNPjtttNP00),(),()(),(),(),(220totttPttPtttPjjkjjkj ,2时时因为当因为当 k kjjkjkttPtttPtttP000),(),(),().1()(),()(),()(1010 ktottPtotttPtotkk 将此式进行整理后可得第13页/共33页)(1),(),(),(),(),(),(01001000tottPttPtttPtttPttPtttPkkkkkk 程程取极限得微分差分方取极限得微分差分方令令两边除以两边除以,0,tt .),(),(),(00100ttttPttPdtttdPkkk

9、 .1 ,0),(,0),(0000 kttPttNk的表达式可得的表达式可得利用初始条件和利用初始条件和令令),(,100ttPk .,)(),(0)(0010ttettttPtt 第14页/共33页可得可得利用初始条件和利用初始条件和令令),(),(,20100ttPttPk .,2)(),(0)(20020ttettttPtt 如此重复,一般地可得到.,1,0,!)(),(),(0)(0000 kttekttkttNPttPttkk 结论结论.;,)()()(),(0000立增量过程立增量过程的泊松过程是齐次的独的泊松过程是齐次的独度为度为强强有关有关且只与时间差且只与时间差的泊松分布的

10、泊松分布为为的概率分布是参数的概率分布是参数增量增量 tttttNtNttN 第15页/共33页泊松过程的数字特征.0 ),()()(000 tttttNtN ).()()()()(000tttNtNVartNtNE 可得可得根据假设根据假设令令0)0(,00 NtttNE )(ttNVartDN )()(均值函数均值函数方差函数方差函数)(ttNE 泊松过程的强度等于单位长时间间隔内出现的质点数目的期望值.第16页/共33页0,),min(),(tststsCN 协方差函数协方差函数0,),min()()(),(2 tstssttNsNEtsRN 相关函数相关函数.,0),(程是非齐次的程是

11、非齐次的则称泊松过则称泊松过的函数的函数是时间是时间若若 ttt 对非齐次泊松过程,用类似的方法可以求出增量的概率分布和非齐次泊松过程的一些数字特征.第17页/共33页与泊松过程有关的随机变量与泊松过程有关的随机变量等待时间等待时间设质点(或事件)依次重复出现的时刻,21nttt.0),(,为相应泊松过程为相应泊松过程的泊松流的泊松流是强度为是强度为 ttN,2,1,00 ntWWnn记记.)(,现的现的出出次次或事件第或事件第个质点个质点表示第表示第是随机变量是随机变量则则nnWn等等待待时时间间1T2TkTO1W1 kWkW2W第18页/共33页)(tWPtFWnWnn 的分布函数的分布函

12、数)(ntNtWn 1)(tWPtWPtFnnWn )()(1ntNPntNP ,0 ,!)(tktenkkt .0 ,0)(ttFWn的概率密度函数为的概率密度函数为可得可得求导求导对时间对时间nWt,第19页/共33页 .,0,0 ,)!1()()()(1其它其它tentdttdFtftnWnWn .)(分布分布服从服从的等待时间的等待时间泊松过程泊松过程泊松流泊松流 nW:)(,11服从指数分布服从指数分布首次出现的等待时间首次出现的等待时间或事件或事件得质点得质点取取Wn .,0,0 ,)(1其它其它tetftW 第20页/共33页点间间距点间间距,2,1 ,1 iWWTiii记记.1

13、,个质点的个质点的和第和第个质点个质点称为相继出现的第称为相继出现的第也是随机变量也是随机变量则则iiTi 点间间距点间间距1T2TkTO1W1 kWkW2W服从指数分布服从指数分布所以所以因为因为111,TWT .,0,0 ,)()(11其它其它tetftftWT 第21页/共33页的条件分布函数的条件分布函数下下的条件的条件个质点出现在时刻个质点出现在时刻第第时时当当iiTtii,1,21 )(1111 iiiitTtt tTPt tFii-1-1-1()()1()2iiiP N ttN tN ti 1)()(11 iitNttNP0)()(111 iitNttNP,0 ,10)(1 te

14、tNPt.0 ,0)(11 tt tFitTii求导可得条件概率密度函数为第22页/共33页 .0 ,0,0 ,)(11ttet tftitTii 的联合概率密度函数为的联合概率密度函数为随机变量随机变量1,iitT .,0,0,0 ),(),(1111其它其它iittitttfettfi 的概率密度为的概率密度为得得积分积分对上式关于对上式关于),3,2(,1 iTtii 011011)()()(11iittiittTdttfedttfetfiii ,0 ,tet .0 ,0)(ttfiT第23页/共33页,3,2,10.,0,0 ,)(ittetftTi 结论结论.服从相同的指数分布服从相

15、同的指数分布点间间距序列点间间距序列iT.,21是相互独立的随机变量是相互独立的随机变量理论上理论上iTTT定理一定理一.,)(且服从同一个指数分布且服从同一个指数分布互独立的随机变量互独立的随机变量的点间间距是相的点间间距是相泊松过程泊松过程的泊松流的泊松流强度为强度为,3,2,10.,0,0 ,)(ittetftTi 第24页/共33页定理二定理二.的泊松过程的泊松过程为为则质点流构成了一强度则质点流构成了一强度 且服从同一个指数分布且服从同一个指数分布相互独立的相互独立的是是的两个质点的点间间距的两个质点的点间间距如果任意相继出现如果任意相继出现,3,2,10.,0,0 ,)(ittet

16、ftTi 定理的意义定理的意义定理刻画出了泊松过程的特征.要确定一个计数过程是否是泊松过程,只需要用统计方法检验点间间距是否独立,并且服从同一个指数分布.第25页/共33页三、维纳过程的数学模型三、维纳过程的数学模型布朗运动简介布朗运动简介英国植物学家布朗(Brown)在显微镜下,观察漂浮在平静的液面上的微小粒子,发现它们不断地进行着杂乱无章的运动,这种现象称为布朗运动.爱因斯坦(Enisten)1905年提出一种理论,认为微粒的这种运动是由于受到大量随机的、相互独立的分子碰撞的结果.第26页/共33页布朗运动计算机模拟结果n=100n=500n=1000n=5000n=10000n=5000

17、0第27页/共33页.0)0(,00)(WtttW且且的位移的横坐标的位移的横坐标到时刻到时刻刻刻表示运动中一微粒从时表示运动中一微粒从时以以.,(小位移的代数和小位移的代数和多微多微上的位移可以看成是许上的位移可以看成是许粒子在时段粒子在时段ts假设假设根据中心极限定理根据中心极限定理,服从正态分布服从正态分布位移位移)()(sWtW 第28页/共33页由于粒子的运动完全是由液体分子的不规则碰撞而引起的,因此,在不相重叠的时间间隔内,碰撞的次数、大小和方向可假定是相互独立的.具有独立的增量具有独立的增量位移位移)(tW第29页/共33页液面处于平衡状态,这时粒子在一时段上位移的概率分布可以认

18、为只依赖于这时段的长度,而与观察的起始时刻无关.具有平稳的增量具有平稳的增量位移位移)(tW第30页/共33页维纳过程的数学模型维纳过程的数学模型如果它满足如果它满足给定二阶矩过程给定二阶矩过程,0),(ttW;)1(具有独立增量具有独立增量;0),(,0()()(,0)2(2 且且增量增量对任意的对任意的stNsWtWst.0)0()3(W则称此过程为维纳过程维纳过程.第31页/共33页维纳过程的特征维纳过程的特征维纳过程增量的分布只与时间差有关,所以维纳过程是齐次的独立增量过程,也是正态过程.其分布完全由均值函数和自协方差函数(或者自相关函数)所确定.0)(tWEttDW2)(0,),min(),(),(2 tststsRtsCWW 第32页/共33页谢谢您的观看！第33页/共33页