气候统计学考点课件.ppt

1、平均值（均值）是描述某一气候变量样本平均水平的量。它代表样本取值中心趋势的统计量。其表达式为：niinxx11111111iiiiiixxixxixiix11Xnx 2 2 中位数中位数 (median)中位数是表征气候变量中心趋势的另一个量。在中位数是表征气候变量中心趋势的另一个量。在按按大小顺序排列大小顺序排列的气候变量中，位置居中的那个数就的气候变量中，位置居中的那个数就是中位数。其优点是它不易受异常值的干扰。在样是中位数。其优点是它不易受异常值的干扰。在样本小的情况下，这一点尤为显著本小的情况下，这一点尤为显著样本奇数情况下直接取中位数样本奇数情况下直接取中位数样本偶数情况？样本偶数情

2、况？1 1 距平距平 （anomaly)anomaly)气象上常用的变量，也就是通常说的异常，即对气象上常用的变量，也就是通常说的异常，即对平平均值的正常情况的偏差均值的正常情况的偏差。一组数据中的某一个数一组数据中的某一个数xixi与均值之间的差就是与均值之间的差就是距平距平xxxidi单变量样本（序列）中每个样品资料点的距平值组成的序列称为该变量的距平序列多变量？距平的一个主要特征为：任何变量序列，经过距平化处理后，都可以化为平均值为0的序列（证明）气象，气候研究中，如果样本时间序列的均值为0，可以带来研究上的方便。距平的应用：统计诊断中用距平来研究变量的变化幅度，趋势 预报中用距平表示未

3、来的变化幅度 如数值预报中有距平模式 2 标准差（均方差或均方根误差）与方差标准差（均方差或均方根误差）与方差 Standard Deviation(root mean square)and Variance 方差与标准差（均方差）是描述样本中数据方差与标准差（均方差）是描述样本中数据与以均值为中心的平均振动幅度的特征量。与以均值为中心的平均振动幅度的特征量。在气象中也称标准差为均方差在气象中也称标准差为均方差(或均方根误差）或均方根误差）方差方差 s2 标准差标准差 s两者是平方的关系方差方差 2112)(niinxxs 标准差标准差 niinxxs121)(计算公式：计算公式：212121

4、1iiiixxisiis当样本容量较大时，增加样本容量后，可采用递推方法计算方差资料的资料的标准化标准化处理处理why standardized?在气象要素中，各个要素的单位不一样，平均值及方差也在气象要素中，各个要素的单位不一样，平均值及方差也不同。为使它们能在同一水平上进行比较，需要标准化不同。为使它们能在同一水平上进行比较，需要标准化在气候诊断分析中，也常对资料进行在气候诊断分析中，也常对资料进行标准化处理标准化处理,得到标准化序列来代替气候变量本身的观测数据。得到标准化序列来代替气候变量本身的观测数据。任何气候变量序列经过标准化处理后，都可以化任何气候变量序列经过标准化处理后，都可以化

5、为为平均值为平均值为0 0、方差为、方差为1 1的序列的序列sxxi/)(1 1 协方差协方差协方差：协方差：2 2个变量个变量距平向量的内积距平向量的内积 定义：定义：n n个样本的资料序列个样本的资料序列 x xk k,x,xl l,其协方差为其协方差为llinikkiklxxxxns11协方差是反映两个气象要素协方差是反映两个气象要素异常关系异常关系的平均状况的平均状况协方差为正协方差为正 变化一致变化一致 负负 变化相反变化相反变量自身的协方差变量自身的协方差 方差方差2 相关系数相关系数（PearsonPearson相关系数）相关系数）correlation coefficient

6、协方差是带单位的统计量，不便于比较不同要素的异常关系。利用标准化处理方法，对变量先进行标准化，然后计算协方差（不带单位），这种协方差就是相关系数相关系数相关系数标准化的协方差相关系数标准化的协方差相关系数相关系数是描述两个随机变量线性相关的统是描述两个随机变量线性相关的统计量，一般称为相关系数或点相关系数。用计量，一般称为相关系数或点相关系数。用r表示。设有两个变量序列：表示。设有两个变量序列：nxxx,21nyyy,21 相关系数计算公式为相关系数计算公式为：12211()()()()niiinniiiixx yyrxxyy11221111()()cov(,)()()niininnxyiin

7、niixxyyx yrs sxxyy用标准差的形式表示的相关系数用标准差的形式表示的相关系数变量自身对自身的相关系数为多少？相关系数值的范围为-1 到+1正的相关表示？负的相关表示？相关系数0表示？计算出的相关系数是否显著，需要经过显著性检验计算出的相关系数是否显著，需要经过显著性检验自协方差与自相关系数自协方差与自相关系数衡量气象要素衡量气象要素不同时刻不同时刻之间的关系密切程度之间的关系密切程度的量的量时间序列时间序列xi（i=1,n),其时间间隔其时间间隔j的自协方差的自协方差为为 （n为时间序列样本容量）为时间序列样本容量）自协方差自协方差 jnijiixxxxjnjs1)(1自相关系

8、数自相关系数是描述某一变量不同时刻之间相关的统是描述某一变量不同时刻之间相关的统计量。将滞后长度为计量。将滞后长度为j j的自相关系数记为的自相关系数记为r r（j j）。）。不同滞后长度的自相关系数可以帮助我们了解前不同滞后长度的自相关系数可以帮助我们了解前j j时刻的信息与其后时刻变化间的联系。由此判断由时刻的信息与其后时刻变化间的联系。由此判断由x xi i预测预测x xi+ji+j的可能性。对变量的可能性。对变量x x，滞后长度为，滞后长度为j j的自的自相关系数为相关系数为：jnijiisxxsxxjnr1)(1s是样本序列的标准差是样本序列的标准差这里的这里的r r一般称为一般称为

9、滞后（落后）自相关系数滞后（落后）自相关系数，有时可以，有时可以将将n-jn-j写成写成n n自协方差与自相关系数是衡量自协方差与自相关系数是衡量一个变量一个变量时间序列前后变化的，时间序列前后变化的，如何考虑如何考虑两个变量两个变量不同时刻之间的相关密切关系？不同时刻之间的相关密切关系？-落后交叉协方差与相关系数落后交叉协方差与相关系数交叉协方差交叉协方差 jnijiixyyyxxjnjs1)(1 yxxyjniyjixixyssjssyysxxjnjr1)(1落后交叉相关系数落后交叉相关系数2 相关性检验相关性检验相关系数检验大致有以下相关系数检验大致有以下3种方法种方法(1)在假设总体相

10、关系数在假设总体相关系数0 0成立的条件下，相关系数成立的条件下，相关系数r r的的概率密度函数正好是概率密度函数正好是t t分布的密度函数，因此可以用分布的密度函数，因此可以用t t检验进检验进行显著性检验行显著性检验(2)当样本量足够大时，对于滞后长度为当样本量足够大时，对于滞后长度为j的自相关系数可以的自相关系数可以通过下面统计量检验通过下面统计量检验(3)为了检验方便，可以构造不同自由度，不同显著性水平为了检验方便，可以构造不同自由度，不同显著性水平的相关系数检验。实际应用中，自由度已知，给定显著水平，的相关系数检验。实际应用中，自由度已知，给定显著水平，就可直接查表对相关系数进行显著

11、性检验就可直接查表对相关系数进行显著性检验 jrjnju相关系数的相关系数的t检验检验步骤步骤:(1)(1)计算统计量计算统计量t(t(上式上式):):(2)(2)它服从自由度为它服从自由度为n-2n-2的的t t 分布，因此可用分布，因此可用t-t-检验法检验相关系数的显著性程度。检验法检验相关系数的显著性程度。(3)(3)由给定的显著性水平由给定的显著性水平,及自由度为及自由度为n-2,n-2,查查 t t分布表分布表,得到临界值得到临界值 tata (4)(4)比较比较t t 与与 ta,ta,若绝对值若绝对值ttatta，则认为超过给，则认为超过给 定的显著性水平定的显著性水平的信度检

12、验。的信度检验。(Significant at level,:95%,(Significant at level,:95%,99%)99%)212rnrttrnrt212trnrtccc212临界相关临界相关系数系数r rc c22nttrcr rc c表示在给定显著性水平表示在给定显著性水平和样本数和样本数n n 的条件下，的条件下，相关系数相关系数r r 显著区别于显著区别于0 0的临界值。因此可以制备的临界值。因此可以制备检验相关系数检验相关系数r r 的临界值表。一般的临界值表。一般r rc c随自由度增大随自由度增大而减小而减小一般，在一般，在=0.05=0.05，n=30-60n=

13、30-60间时间时,r rc c=0.35-0.25=0.35-0.25 2.1 一元线性回归1 1 回归模型回归模型一元回归处理的是两个变量之间的关系一元回归处理的是两个变量之间的关系(一个预报变一个预报变量量,一个因子一个因子)基本原理基本原理：一般来说，对抽取容量为：一般来说，对抽取容量为n n的预报量的预报量y y与与预报因子预报因子x x的一组样本，如认为的一组样本，如认为y y与与x x是一种统计关是一种统计关系，那么预报量的估计量系，那么预报量的估计量 与与x x有如下关系：有如下关系：写为一般的回归方程：写为一般的回归方程：0iiybbx0ybbxy用用离差平方和离差平方和来刻

14、画全部观测值与回归来刻画全部观测值与回归直线的偏离程度直线的偏离程度 :Q值越小越好,根据极值原理，要求:00bQ0bQ201(,)()niiiQbbyy2方差分析方差分析预报量预报量y y与回归估计值与回归估计值 以及误差值以及误差值e e之间有如之间有如关系：关系：同时可得到关系式：同时可得到关系式：对上式两边各乘以对上式两边各乘以n n，则变成，则变成:yy ey222yeysssyySUQ回归方差回归方差残差方差残差方差3 相关系数与线性回归相关系数与线性回归用线性组合来反映预报因子与预报量之间的关系，用线性组合来反映预报因子与预报量之间的关系，其其优劣程度取决于回归方差的大小优劣程度

15、取决于回归方差的大小 用回归方差与预报量的方差比来表征用回归方差与预报量的方差比来表征2121222211xyyyniiniyyrSUyynyynss4 回归方程的显著性检验回归方程的显著性检验:显著性检验的主要思想是检验预报因子与预报量是否有线性关系。可以证明在原假设总体回归系数为0的条件下，统计量 遵从分子自由度为1，分母自由度为（n2）的F分布。查F的分布表，在a=0.05下，若 则认为回归方程是显著的。反之，则不显著。1(2)UFQnaFF2.3 逐步回归分析 (1)基本思想:根据一定的显著性标准，每步只选入一个变量进入回归方程，逐步回归时，由于新变量的引进，可使已进入回归方程的变量变

16、得不显著，从而在下一步给以剔除。因此逐步回归能使最后组成的方程只含有重要的变量。它的自变量都已经经过统计检验，在一定的置信水平下，保证所有的回归系数的总体值均不为零，因此逐步回归分析建立的回归方程也称为最优回归方程。4.1 线性倾向估计一一 方法介绍方法介绍用用xixi表示样本量为表示样本量为n n的某一气候变量，用的某一气候变量，用titi表示表示xixi所对应的所对应的时间，建立时间，建立xixi与与titi之间的之间的一元线性回归关系一元线性回归关系：iibtax),2,1(ni其含义是，用一条合理的直线其含义是，用一条合理的直线 表示表示x与其时间与其时间t之间的关系。之间的关系。a回

17、归常数，回归常数，b是回归系数，是回归系数，a和和b可用最小二乘法进行估计可用最小二乘法进行估计 一元线性回归一元线性回归ix 三三 计算结果分析计算结果分析对于线性回归计算结果，主要分析回归系数对于线性回归计算结果，主要分析回归系数b b和相关和相关系数系数r r。(1)(1)回归系数回归系数b-b-倾向值倾向值b b的符号说明了气候变量的符号说明了气候变量x x的趋势倾向。当的趋势倾向。当b0b0说明说明x x随时间随时间t t的增加，的增加，x x是呈上升趋势；当是呈上升趋势；当b0b0r0，说明，说明，x x随时间随时间t t的增加，的增加，x x是呈上升趋势；当是呈上升趋势；当r0r

18、-Pi-Pr-Pi-Pr (振荡)1.振荡周期 2.e折时间()2cossintriP ttPtP2/kkT 2/kkT 1/lnkk 8.2 典型相关分析 CCA典型相关分析典型相关分析(CCA,Canonical Correlation Analysis)将原来较多的变量转化为少数几个典型变量，通过研究典型变量之间的相关系数，分析两组变量间的相关关系CCA是一种具有坚实数学基础，推理严谨，能够有效提取两组变量或变量场相关信号的有用工具 典型相关的基本思想是：对两组变量分布作线性组合构成新的一对变量u1,v1，使得它们之间有最大相关系数。在分别作与u1,v1正交的线性组合u2,v2,使它们之

19、间有其次大的相关系数。如此下去，直到认为合适为止,ui,vi,i=1,2.就称为典型变量典型变量SVD 方法设有两个变量场X,YX=(x1,x2,.,xp)p个空间点 Y=(y1,y2,.,yq)q个空间点样本容量都是n,X,Y都是标准化变量000mSLR 分量形式：向量 lk和rk 都有 m 个，都相互正交(li,lj ri,rj),分别称为 SVD的目的是寻找两变量场的线性组合，即由左、右两场分布构造两矩阵 为了唯一分解S矩阵，令L,R为正交化向量的条件，即 同时使矩阵U,V之间有极大化协方差 转化为求条件极值 1min(,)mk k kkSl rmp qUL XVR Y LLIRRIco

20、v(,)maxU VL SR 根据条件极值的求解，有为奇异值分解中的奇异值，1 2 m0实对称矩阵SS的特征值和特征向量为k 和 R实对称矩阵SS的特征值和特征向量为k 和 L,即：U(t)和V(t)为左、右场的 时间系数矩阵 (1,2,.,)kkS LRSRRkm()0()0kkSSI LS SI R XLUYRV1122()()()()()().()()mmu tv tu tv tU tV tutvtSVDSVD相当于将左、右变量场分解为相当于将左、右变量场分解为。每对奇异向量和相对应的时间系数确。每对奇异向量和相对应的时间系数确定了定了 方差贡献方差贡献 每对奇异向量方差贡献为：每对奇异

21、向量方差贡献为：前前K对奇异向量的累积方差贡献对奇异向量的累积方差贡献 ：相关系数相关系数 由由SVD得到的时间系数矩阵得到的时间系数矩阵U,V，就可以定义每对，就可以定义每对奇异向量的时间系数奇异向量的时间系数U和和V之间的相关系数之间的相关系数 rk(U,V)rk(U,V)表示每对奇异向量间线性组合相关关系的表示每对奇异向量间线性组合相关关系的密切程度，与密切程度，与CCACCA中的典型相关系数类似，中的典型相关系数类似，反映典型反映典型变量场总体相关状况变量场总体相关状况221/mkkiiSCFkCSCF 1/21/222()()(,)()()kkkkkE u t v tr U VE u

22、 tE v t异性相关系数代表两变量场相互关系的分布结构，显著相关区则是两变量场相互作用的关键区域左X和右V 右Y和左U1/21/21/2222()()(,)()()()ikk kkikkE x t v tlr XVE x tE v tE v t1/21/21/2222()()(,)()()()ikk kkikkE y t u trr YUE y tE u tE u t同性相关系数每对奇异向量的时间系数与该场之间的相关分布，就是该对向量的空间分布型左X左U右Y右V1/21/222()()(,)()()ikkikE x t u tr XUE x tE u t1/21/222()()(,)()()ikkikE y t v tr YVE y tE v tSVD结果分析(1)从奇异向量的方差贡献及累积方差贡献了解某一对显著SVD模态及前几对显著模态所占的方差比例(2)由奇异向量时间系数之间的相关系数rk了解两变量场的显著空间分布型总体的相关程度(3)分析异性相关系数场，寻找一个场对另一个场的相互影响关键区(4)利用同性相关系数寻找两个变量的遥相关特征