船体总振动计算的迁移矩阵法课件.ppt

1、第四章第四章 船体总振动计算的迁移矩阵法船体总振动计算的迁移矩阵法 1.1适用于迁移矩阵方法链状结构 在实际工程中的一些连续弹性结构,例如连续梁、液体或气体等介质的输送管道,可以视为一系列弹性体组成的链状结构,这类问题的动力分析(或者静力分析)采用迁移矩阵法是非常合适的。迁移矩阵法是将结构系统离散为一些简单的弹性和动力部件,根据不同的问题和要求,列出结合点处部件两端的状态矢量,并用振动时弹性系统部件状态矢量的传递关系,列出迁移矩阵,再利用弹性系统的边界条件,从而求得振动系统的数值解。该方法可用来计算固有振动特性和动力响应。0、预备知识：考虑转动惯量和剪切梁的振动微分方程的推导 如果梁的高度（或

2、者直径）较大,则高跨比增加,剪切变形和转动惯量具有不可忽视的影响。转动惯量是由于梁截面的转动 （垂直位置转动角)所引起的。如果没有剪切变形,振动过程种横截面与弹性轴线将保持垂直。并且应等于弹性轴线的斜率。然而剪切变形的影响,梁的横截面的变形是十分复杂的。假定平面假设成立，此时用 表示剪切变形，剪切滞后：剪力减小了梁的弹性变形，使得弹性轴线的倾角减小，这称之为剪切滞后。梁弯曲后，截面转角、剪切角及梁轴线倾角之间的关系见下图：力矩与转动惯量有关的惯性imxy 根据微段的变形可知,轴线的转角及剖面转动之间的运动学关系为梁轴线倾角xy截面转角剪切角xy根据微段的上力的平衡条件，并注意到竖向力不影响力的

3、平衡条件，则竖向力的平衡条件为：对微段右断面轴线处取矩,并考虑到单位长度的惯性转动力矩22tympxQxMQ),(2222txptymxM22tImI0)(dxxMMdxmQdxMI单位长度的转动惯性力矩：cAm梁材料的密度：梁横截面的惯性矩：2rAIc222tmrmI222tmrQxM剪力Q与剪切角之间的关系为：GAkQc22tympxGAkc222tmrGAkxMcImQxMxyxEIM22)/(tympxxyGAkc222)()(tmrxyGAkxEIxc（a）（b）由式（a）解出 )(12222tympGAkxyxc式（b）对x求导数232222)()(txmrxyxGAkxEIxc（

4、c）(e)将式（c）代入（e），得)()(222222422244tympxGAkEItxyrmtympxyEIc)()(222222422244tympxGAkEItxyrmtympxyEIc0)(22222tymptGAkrmc上式为考虑剪切变形和转动惯量梁的振动微分方程。yMQ1、状态矢量 状态矢量指各个部件连接点处(节点)的状态(包括位移和内力)参数组成的列阵。对于梁的弯曲,某一点的状态参数为位移 转角弯矩 剪力故状态矢量为 位移TQMy,z z状态矢量的坐标系统和符号规定采用右手坐标系。1.2梁弯曲振动的场迁移矩阵 将研究的变断面梁划分为若干长为 的均匀断面梁,利用均匀等直梁的弯曲微

5、分方程及其解,将梁段两端的状态矢量以矩阵形式联系起来,即得到场迁移矩阵。考虑剪切和转动惯量影响的弯曲自由振动微分方程为il)()(222222422244tympxAGkEItxyrmtympxyEI0)(22222tymptAGkrm（4.15）其自由振动的解为)sin()(),(txytxy)(xy 为振型函数,为固有频率,为初相位.将上式代入式(4.15),并取P=0,则得到0)1()(222422244yAkGmrEImdxydrAGkEIEImdxyd引入记号222lAkGmr222lEImr42lEImr 04422244yldxydldxyd得到（4.91）上式为四阶常系数齐次微

6、分方程,其解为 lsxecxy/)(将此式代入(4.91)式,可求得特征根 1s2is2121242,1)(21)(41)(s故得到振型解为lxislxislxslxsececececxy/4/3/2/12211)(根据指数函数和三角函数及双曲函数之间的关系,上式的等价形式为)/sin()/cos()/()/()(24231211lxsclxsclssshclxschcxy（4.93）若)(xy确定后,转角 M弯矩和剪力Q均可导出。考虑到状态矢量 具有相同的表达形式,即均为简谐变化,对于自由振动,剪力的变化式为)sin()(),(txQtxQ上式中的)(xQ也可写成式振型函数的形式，)/sin

7、()/cos()/()/()(24231211lxsAlxsAlssshAlxschAxQ得振型)(xy和)(xQ之间的关系为)sin()(1)sin()(2tdxxdQmtxy 将剪力的振型函数代入得 22),()(ttxyxmQxQQ0)(22tymxQQQ列出微段竖向力的平衡方程为：0),(),(22ttxymxtxQdxxdQmxy)(1)(2)/sin()/cos()/()/()(24231211lxsclxsclssshclxschcxy振型函数：)()()(2142sEIlxdxxdy)/()/(2211lxschAlxshsA)/cos()/sin()(2423222lxsAl

8、xsAlss)/()/(112111lxschlsAlxsshlsA)/cos()/sin(224223lxslsAlxslsAEIlxy44)()/()/(2211lxschAlxsshA)()(1214222lsslxMdxydEI)/sin()/cos()/()/()(24231211lxsAlxsAlssshAlxschAxQ将振型、转角、弯矩和剪力写成矩阵形式得ABz)()(xxTxQxMxxyx)(),(:)(),()(zTAAAA4321,A )/sin()/cos()/()/()/cos()()/sin()()/()()/()()/sin()()/cos()()/()()/()

9、()/cos()/sin()/()/()(221114222242221421114211242222421214212142121423242314131413lxslxslxsshlxschlxssllxsslslxschslslxsshslslxsEIsllxsEIsllxsshEIsllxschEIsllxsEIsllxsEIsllxschEIsllxsshEIslxB将梁段的左段取为坐标原点即左端 x=0，该处状态矢量Lz 为：ABzz)0()0(L （4.98）由（4.98）式得，432142224212422242124224120101)(0)(00)(0)(00)0()0()

10、0()0(AAAAslslEIslEIslEIslEIslQMyLzlRz梁单元梁单元由此可解出列阵ALzBA)0(1 LxxzBBz)0()()(1 单元内任意点的状态矢量为：单元右端的状态矢量,即 x=l 处的状态矢量为 lLLRzFllzBBzz)0()()(1这里)0()(1BBFl F称为场迁移矩阵场迁移矩阵,由常量矩阵 得到。)(lB)0(1B为44的方阵,F表达 了梁段两端状态矢量之间的关系。为计算,将其分割为四个子阵 后求逆阵)0(1B)0(1B，经计算得：x)(xzRz00000000)0(2432141321431242221lslsEIlEIlslsEIlEIB20342

11、4314312032412423120343241423120)()()()()()(ccclccclcclcccclcclccccclcclccclccF)0()(1BBFl场迁移矩阵1.3 点迁移矩阵ii1i如果从前面第 个单元越过节点而到后面的ip矩阵相类似,该点的前后(或左右)两侧的状态矢量可以用点迁移矩阵 单元,则和场迁移RiiLizpz1其中 Riz：第i梁段右端的状态矢量；Li 1z：第i+1梁段左端的状态矢量 ip：第i 点的点迁移矩阵 i1iRizLiz1连接,即（1）结构 i节点上有集中质量M则自由振动时节点两侧的剪力关系式为惯性力不影响节点两侧位移、转角和弯矩，但影响节点

12、两侧的剪力关系，ymQQRiLi21得到节点 i 处的点迁移矩阵为:10001000100012mp221),(ttxymQQRiLi)sin()(),(222txyttxy22tym段)1(i段)(iLiQ1RiQ（2）结构i节点上有抗位移刚度为 的弹簧KRiQ（3）结构i节点上质量的转动惯量为J规定节点逆时针转动为正。LiQ1KykyQQRiLi1LiM1RiM22tJ)sin()(),(tdxxdyxtxy221tJMMRiLi)()sin()(2222xtdxxdyt21JMMRiLi弹簧抗力的方向向上),(txky1000100010001kip1000010001000012Jip

13、（4）节点上有集中质量、限位移弹簧、限转动弹簧及转动惯量）节点上有集中质量、限位移弹簧、限转动弹簧及转动惯量1000100010000122mKJKp叠加得：（5）如果节点上无任何质量与弹簧,则节点左右两侧截面,的状态矢量相同,此时的点迁移矩阵为单位矩阵。1111p4.6.3 固有振动特性计算固有振动特性计算 将整体结构划分为将整体结构划分为n 段梁。每段处理为均匀的等直梁段，段内无集段梁。每段处理为均匀的等直梁段，段内无集中质量和集中支座。取各段之间的连接点为节点。梁的首尾端也作为中质量和集中支座。取各段之间的连接点为节点。梁的首尾端也作为节点。节点。点迁移矩阵为固有频率的函数1.4 固有振

14、动特性计算步骤固有振动特性计算步骤 整体结构离散后，进行节点编号和梁段编号，尾端节点编号为0,而首端节点编号为n,则整个梁共有n+1个节点。梁起始段编号为1，最后段编号为n。RnnnLnnRnRnnLnRLRLLRLzpzzFzzpzzFzzpzzFzzpz11122112111001012n)1()2()(n1n写出整个梁的迁移状态矢量关系为：P的下标为节点编号F的下标为结构分段编号式中,0znz、,为尾端的状态矢量；LnzRnz 状态矢量,分别为第n 段梁左端和右端的nF第 n段梁的场迁移矩阵,np为第n点的点迁移矩阵。由状态矢量关系式得，00111zpFpFppFpzjjnnnn0znz

15、 得到。称为链状结构的迁移矩阵。44的 方阵，利用整体梁两端的边界条件，消去首尾的已知边界条件所含的物理量,然后再利用非零解的条件即可得到频率方程式。例1 求两端全自由梁的频率和振型.解:整个梁的迁移矩阵为 0znz 012n)1()2()(n1n044434241343332312423222114131211QMyQMyn全自由梁的边界条件为两端的剪力和弯矩等于零,即将(b)式边界条件代入(a)式,可得（a）(b)00042041032031nnQyMy0,000nnNMNM由于 0y0,不能同时等于零(否则为静止状态),必须其系数行列式的值 值等于零,即得0)(424132312D求解上

16、式，得到各阶固有频率。将固有频率代入振幅方程，得到与 频率对应的第j谐调的尾端状态j矢量。因为032310y假设 10y，则32310 起始端状态矢量为 Tz0,0,1 32310RnnnLnnRnRnnLnRLRLLRLzpzzFzzpzzFzzpzzFzzpz11122112111001将固有频率代入上式，得到各个点的点迁移矩阵和各个单元的场迁移矩阵。由上至下求出逐个节点的状态矢量 iz,从而得到以节点位移值表达的离散的振型值。例2 求两端简支梁的频率和振型.0znz 04443424134333231242322211413121150000QQ012345（1）（2）（3）（4）(5)

17、边界条件：初始节点状态矢量：Qz000;终端节点状态矢量：Qz00500034032014012QQ014120Q014120010z4.6.4集中简谐干扰力作用下的动力响应计算集中简谐干扰力作用下的动力响应计算 设干扰力作用于节点,并将状态矢量与迁移矩阵的阶数加以扩展,即可以采用迁移矩阵法 计算动力响应。若某节点作用简谐干扰力 则由该节点处力的平衡条件可知,该节点处剪力有突变,于是该节点两侧的状态矢量可以写为:010001000010000100001fQMyQMyRiLi可以将此式的状态矩阵和点矩阵扩展为tftfsin)(0)(i)1(ik0fRiQLiQ1kRiLiQMyfQMy1100

18、001000001000001000001101或者写为 RiiLizpz1上式带“”的表示扩展后的矢量。将扩展后的场迁移矩阵划分四个子阵,即100FF1000010000010000010000010fip203424314312032412423120343241423120)()()()()()(ccclccclcclcccclcclccccclcclccclccF或者000111zzpFpFppFpzjjnnnn与自由振动分析类似,建立首尾两端状态矢量之间的关系05554535251454443424135343332312524232221514131211111QMyQMyn 由于上述方程为非齐次的,只要不发生共振,在应用边界条件后,可以求出首尾两端的状态矢量,再用各段的场迁移矩阵,即可求出各节点处的状态矢量。用迁移矩阵法进行结构的自由振动和动力响应分析,关键是建立各梁段的场迁移和点迁移矩阵,对于不同的荷载情况,需要另行推导场迁移和点迁移矩阵。展开得到4504204135032031yy求解得到端部位移0y0。则其它节点的位移响应通过迁移可以得到。各个节点状态矢量同样可以求出，得到位移和内力响应。