《第26章离散量的最大值和最小值问题》竞赛专题复习含答案.doc

1、第26章 离散量的最大值和最小值问题26.1.1* 某个篮球运动员共参加了10场比赛，他在第6、第7、第8、第9场比赛中分别得了23、14、11和20分，他的前9场比赛的平均分比前5场比赛的平均分要高，如果他的10场比赛的平均分超过18分，问：他在第10场比赛中至少得了多少分？解析 设前5场比赛的平均得分为，则前9场比赛的平均得分为由题设知，解得所以前5场最多得分是（分）再设他第10场比赛得了分，那么有，解得y28故他第10场比赛得分29分另一方面，当他在第6、第7、第8、第9、第10场比赛中分别得了23、14、11、20和29分，前5场总得分为84分时，满足题意所以，他在第10场比赛中至少得

2、了29分评注 在解最大值（或者最小值）问题时，我们常常先估计上界（对于最小值，估计下界），然后再构造一个例子说明这个上界（或者下界）是能够取到的，只有这样，才完整地解决了问题26.1.2* 从任意个不同的正整数中，一定可以从中找到两个数，它们的差是12的倍数，求的最小值解析 任取13个不同的整数，它们除以12所得到的余数中，一定有两个相同，于是它们的差是12的倍数又l，2，12这12个数，其中没有两个数的差为12的倍数综上所述，至少需任取13个数才能满足题意26.1.3* 从1，2，3，20中，至少任取多少个数，可使得其中一定有两个数，大的数是小的数的奇数倍解析 从1，2，20中取7，8，20

3、这14个数，其中没有一个数是另一个数的奇数倍把1，2，20分成如下14组：1，3，9，2，6，18，4，12，5，15，7，f8，10，11，13，14，16，17，19，20，从中任取15个数，一定有两数取自同一组，于是大数便是小数的奇数倍26.1.4* 如果甲的身高或体重至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙；在100个小伙子中，如果某人不亚于其他99人，就称他为棒小伙子问100个小伙子中的棒小伙子最多可能有多少个？解析 取100个小伙子是这样的一种特殊情况他们的身高互不相同，是从小到大排列的，他们的体重也互不相同，且是从大到小排列的，这样的100个小伙子都是棒小伙子，所以棒小伙子最多有100个

4、26.1.5* 代数式中，、可以分别取1或者（1）求证：代数式的值都是偶数；（2）求该代数式所能取到的最大值解析 （1）因为，所以，此代数式的值为偶数（2）原式，要使原式取得最大值，则与取1与，与取l与但是，若与的取值相同（1或），则与的取值也相同，有若与的取值不同则与的取值也不同，也有所以，原式的最大值为4这时取，26.1.6* 一个三位数除以43，商是余数是（、都是整数），求的最大值解析 由带余除法可知：一个三位数因为是余数，它必须比除数小，即42根据式考虑到等式右边是一个三位数，为此不超过23（因为24431000）当时，因为4323+10999，此时为10当时，可取余数，此时4322+

5、42998故当，时，值最大，最大值22+4264从1，2，1001这1001个正整数中取出个数，使得这个数中任意两个数的差都不是素数，求的最大值解析 设正整数被取出，则，都不能被取出而，三者中至多只能有一个被取出所以连续8个整数，3，4，中至多有两个数被取出，而10018125+1，所以2125+1251又1，5，9，1001这251个数满足题设条件所以的最大值为25126.1.8* 从1，2，205共205个正整数中，最多能取出多少个数，使得对于取出来的数中的任意三个数、（），都有解析 首先，1，14，15，205这193个数，满足题设条件事实上，设、（）这三个数取自1，14，15，205，

6、若，则；若，则另一方面，考虑如下12个数组：（2，25，225），（3，24，324），（13，14，1314），上述这36个数互不相等，且其中最小的数为2，最大的数为13141821，则，且所以，当1时，可以把逐步调整到1，这时，将增大；同样地，可以把，逐步调整到1，这时将增大于是，当，均为1，时，取得最大值，即若存在两个数、，使得，则，这说明在，中，如果有两个数的差大于1，则把较小的数加l，较大的数减1，这时，将减小所以，当取到最小时，。中任意两个数的差都不大于1不难算出，当，时，取得最小值，即故26.1.11* 从1，2，9中任取个数，其中一定可以找到若干个数（至少一个，也可以是全部），

7、它们的和能被10整除，求”的最小值解析 当时，数1，3，5，8中没有若干个数的和能被10整除当时，设，是1，2，9中的5个不同的数若其中任意若干个数，它们的和都不能被10整除，则，中不可能同时出现1和9；2和8；3和7；4和6于是，中必定有一个数是5若，中含1，则不含9于是不含4（4+l+510），故含6；于是不含3（3+6+110），故含7；于是不含2（2+1+710），故含8但是5+7+820是10的倍数，矛盾若，中含9，则不含1于是不含6（6+9+520），故含4；于是不含7（7+4+920），故含3；于是不含8（8+9+320），故含2但是5+3+210是10的倍数，矛盾综上所述，的最

8、小值为526.1.12* 把1，2，30这30个数分成个小组（每个数只能恰在一个小组中出现），使得每一个小组中任意两个不同的数的和都不是完全平方数，求的最小值解析 首先，考虑数6，19，30，因为6+19，6+30，19+30，所以，这3个数必须属于3个不同的小组，于是3另一方面，可以把1，2，30这30个数分成如下3个小组，使得它们满足题设条件：3，7，11，15，19，23，27，4，8，16，24），1，5，9，13，17，21，25，29，6，14，18，26，2，10，12，20，22，28，30，由于完全平方数除以4的余数只能是0或者1，容易验证、满足题设条件26.1.13* 从1

9、，2，3，2000）中最多可能取出几个数，使得任意两个取出的数的差不为质数？解析 首先，对于任意自然数女，中至多取2个，使得它们的差不为质数事实上，只需考虑集合1，2，3，4，5，6，7，8把它分成3组：，1，3，6，8），2，4，7）集合或中任意两数之差均为质数，故、中最多只能取一个若5取出，则中1或6可取出对于1，5，中不能取出数了；对于5，6，中也不能再取出数了若5不取出，则、中最多各取一个，至多为2个综上所述，中至多取2个，它们的差不为质数从而1，2，3，2000中至多可取500个又对于4，42，4500这500个数，其中任意两个数的差为4的倍数，不是质数因此，最多可取500个数满足要

10、求26.1.14* 有一个正方形的纸片，用剪刀沿一条不过任意一个顶点的直线将其剪成两部分；取出其中一部分，再沿一条不过任意一个顶点的直线将其剪成两部分；又从这三部分中取其中之一，还是沿一条不过顶点的直线将其剪成两部分如此下去，若最后得到了34个62边形和一些多边形的纸片，则至少要剪多少刀？解析 根据题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，使得各部分的内角和增加，于是，经过忌次分割后，可得（1）个多边形，这些多边形的内角和为（因为这（）个多边形中有34个62边形它们的内角和为，其余多边形有（个），而这些多边形的内角和不少于所以，解得2005当我们按如下的方式剪2005刀时，可以得到

11、符合条件的结论先从正方形上剪下一个三角形，得到一个三角形和一个五边形，再在五边形上剪下一个三角形，得到2个三角形和一个六边形如此下去，剪了58刀后，得到58个三角形和一个62边形再取出33个三角形，在每个三角形上各剪一刀，又可得到33个三角形和33个四边形，对这33个四边形，按上述正方形的剪法，再各剪58刀，便得到33个62边形和3358个三角形于是共剪了58+33+33582005（刀）评注 我们也是先估计（剪的次数）的下界，然后再说明这个下界（2005）是可以取到的，这里给了一个具体的剪法注意，这个具体的剪法是必不可少的另外，本题中估计女的下界，用的是“算两次”方法，即从两个不同的方面去考

12、虑同一个量，一方面另一方面结合两个方面，可以得到一个等式，或者不等式，进而得到我们需要的结果“算两次”是解最大值和最小值问题的有力工具26.1.15* 某市有一些数学爱好者参加了今年的数学邀请赛，这次比赛的试题共有6道已知每道试题恰有500名学生答对，但是任意两名学生中，至少有一道试题使得这两名学生都没有答对，问：该市至少有多少名数学爱好者参加了这次数学邀请赛？解析 首先，易知每位学生至多答对了4道题事实上，由题设知，对任意一位学生来说，不可能答对6题若有一位学生答对5题，由题意知，所有其他学生都与他答错相同的题，这也与每道试题恰有500个学生答对的题设矛盾若有一位学生答对了4题，不妨设答对了

13、第l、2、3、4题，则没有一位学生同时答对第5题和第6题，否则将与题意矛盾因为答对第5题与第6题的学生各有1500人，这样，学生人数至少为500+500+11000人若每位学生至多答对了3题，由于全部学生答对题数的总和为50063000题，所以学生人数至少有：300031000人下面的例子说明1000人是可能的答对下列问题的人数各有100人：（1，2，3），（1，3，4），（1，4，5），（1，5，6）（1，2，6），（2，4，6），（2，3，5），（2，4，5），（34，6），（3，5，6）综上所述，至少有1000人参加了这次数学邀请赛26.1.16* 一座大楼有4部电梯每部电梯可停靠三层（

14、不一定是连续三层，也不一定停最底层）对大楼中的任意的两层，至少有一部电梯可同时停靠，请问这座大楼最多有几层？解析 设大楼有层，则楼层对有，每部电梯停3层，有个层次，所以所以当时，四部电梯停靠楼层分别为（1，4，5），（24，5），（3，4，5），（1，2，3）综上所述，大楼至多有5层26.1.17* 10个学生参加个课外小组每一个小组至多5个人；每两个学生至少参加某一个小组；任意两个课外小组，至少可以找到两个学生，他们都不在这两个课外小组中证明：的最小值为6解析 设10个学生为，个课外小组为，首先，每个学生至少参加两个课外小组否则，若有一个学生只参加一个课外小组，设这个学生为，由于每两个学生都

15、至少在某一小组内出现过，所以其他9个学生都与他在同一组出现，于是这一组就有10个人了，矛盾若有一学生恰好参加两个课外小组，不妨设恰好参加、，由题设，对于这两组，至少有两个学生，他们没有参加这两组，于是他们与没有同过组，矛盾所以，每一个学生至少参加三个课外小组于是个课外小组，的人数之和不小于31030另一方面。每一课外小组的人数不超过5，所以个课外小组，的人数不超过，故，所以6下面构造一个例子说明是可以的，容易验证，这样的6个课外小组满足题设条件所以，的最小值为626.1.18* 2006个都不等于119的正整数，排列成一行数，其中任意连续若干项之和都不等于119，求的最小值解析 首先汪明命题：

16、对于任意119个正整数，其中一定存在若干个（至少一个，也可以是全部）的和是119的倍数事实上，考虑如下119个正整数，若中有一个是119的倍数，则结论成立若中没有一个是119的倍数，则它们除以119所得的余数只能为1，2，118这118种情况所以，其中一定有两个除以119的余数相同，不妨设为和，于是，从而此命题得证对于，中的任意119个数，由上述结论可知，其中一定有若干个数的和是119的倍数，又由题设知，它不等于119，所以，它大于或等于2119，又因为200616119+102，所以取，其余的数都为1时，式等号成立所以，的最小值为391026.1.19* 设是大于2的整数，将2，3，这个数任

17、意分成两组，总可以在其中一组中找到数，（可以相同），使得求的最小值解析 当时，把2，3。，分成如下两组：2，3，+1，一1和4，5，1在数组2，3。，+1，1中，由于，所以其中不存在数，使得在数组4，5，中，由于，所以其中不存在数，使得所以，下面证明时，满足题设条件不妨设2在第一组，则在第二组，在第一组，在第二组此时考虑数8如果8在第一组，那么取，于是有如果8在第二组，那么取，于是有综上所述，满足题设条件所以，的最小值为26.1.20* 在99的方格表中，有29个小方格被染上了黑色如果研表示至少包含5个黑色小方格的行的数目，表示至少包含5个黑色小方格的列的数目，求的最大值解析 首先证明假设，且

18、（或），则有，所以（或）依题意，这行（或列）中至少包含5630（个）黑色的小方格，这与题设条件矛盾所以，其次，构造的染色方案存在，如图所示（注意：构造不唯一）所以，的最大值为1026.1.21* 在学校举行的足球比赛中，每两支队恰好比赛一次每场比赛中，胜者得2分，输者得0分，平则各得1分已知有一队得分最高，但它获胜的场次比任何其他队都少，问至少有多少支队参赛？解析 称得分最多的队为优胜队，设队胜场，平场，则队的总分为分由已知条件，其余的每一队至少要胜场，即得分不少于分，于是，3因此可以找到这样一个球队，它和优胜队打成平局，这个队的得分应不少于分，于是，设共有队参赛，则优胜者至少要胜一场，否则它

19、的得分就不会超过分，任何其他一队得分严格少于分，而所有参赛队得分少于分，而队所得总分为分，矛盾于是4，1，即优胜队至少要进行5场比赛，即有不少于6队比赛总可以得到一个6个队的比赛得分表符合题设条件，即优胜队胜的场次最少得分/1111261/2002510/0225得分122/0051202/0500022/426.1.22* 已知支排球队参加比赛每支球队与其他任一支球队只比赛1场一支球队获胜积1分，失败记0分（排球比赛没有平局）若任意4支球队之间进行的比赛中，至少有两个球队积分相同求的最大值解析 先证明：每支球队最多胜了3场比赛用反证法，假设球队至少胜了4场，不妨设胜了、4支队考虑、中的3支球

20、队，如、，由于、4支球队中共有6场比赛，而已胜3场积3分，剩下的3分只好、各积1分（因为任意四支球队之间的比赛中，至少有两个球队积分相同），即在、3支球队之间，每队各胜1场同理、三支球队之间每队各胜1场，、三支球队之间每队也各胜1场但这是不可能的假设不成立再次，支球队的循环赛中所有球队得分总和等于比赛场数，即而每支球队得分不超过3分，得分总和不超过因此，解得7下面构造7支球队、的得分表，如图若胜，则在队所在行及队所在列处记1，否则记为0，其余类似，该表中某队得分是该队所在行的元素之和直接验证与任意四个队的比赛对应的一个44的方阵中总存在两行的和相等，即至少有两队积分相同111000010011

21、00111001010111001010010110100026.1.23* 由9位裁判给参加健美比赛的12名运动员评分每位裁判对他认为的第1名运动员给1分，第2名运动员给2分第12名运动员给12分最后评分结果显示：每名运动员所得的9个分数中高、低分之差都不大于3设各运动员的得分总和分别为，且求的最大值解析 9位裁判不可能给某5名或5名以上的运动员评为1分因为对于5名或5名以上的运动员中，至少有一名运动员被某裁判评的分不小于5，而按照题意，这5名运动员中的每一名被各裁判所评的分不大于4，矛盾因此，9位裁判至多给某4名运动员评为1分下面分不同情形讨论（1）如果所有裁判都给某一名运动员评为1分，那

22、么，（2）如果9位裁判评出的9个1分集中在两名运动员名下，那么，其中必有一名运动员至少被5位裁判都评为1分，于是，由题设可知，其余裁判给该运动员的评分不大于4，从而，（3）如果9位裁判评出的9个1分集中在三名运动员名下，那么，这三名运动员各自所得的总分之和不大于从而，故24（4）如果9个1分为4名运动员拥有，那么，这4名运动员各人所得总分之和等于91+92+93+9490从而，90故23综上可知，2424这种情形是可以实现的，见表1所以的最大值是24表114325679108111214325679108111214325679108111243152796811101243152796811

23、1012431527968111012314259671110812314259671110812314259671110812合计242424303366666687878710826.1.24* 魔方由27个小立方体拼成，一条直线穿过魔方问最多穿过几个小立方体？所谓“穿过”指经过其内部解析 27个小立方体由横、竖、纵各4个平行平面“切”出容易知道，一条直线穿过小立方体，必有两个交点位于其表面一条直线被12个平面（指魔方表面或内部、不是无限伸展的）截出的点数减去1，便是小线段的个数为了让这个数字尽可能大，该直线不能经过内部的格子点，于是它被内部平面共截得最多2+2+26个点，该直线被魔方表面

24、又截出2个点，因此其上总共最多有8个截点，因此最多穿过7个小立方体26.1.25* （1）在44的方格纸中，把部分小方格染成红色，然后划去其中两行与两列若无论怎样划，都至少有1个红色的小方格没有被划去，则至少要染多少个小方格？（2）如果把（1）中的“44”方格纸改成“”（5）的方格纸，其他条件不变，那么，至少要染多少个小方格？解析 （1）若染色的小方格数小于或等于4，则可适当地划去两行与两列，把染色的小方格都划去若染色的小方格数为5，则由抽屉原理知，必有一行至少有2个小方格染色，划掉这一行，剩下的染色的小方格数不超过3，再划去一行两列可把染色的小方格全部划去若染色的小方格数为6，则必有一行至少

25、有3个小方格染色或有两行各有2个小方格染色，故划去两行至少能划去4个染色小方格，剩下的染色的小方格不超过2，再划去两列就可以把它们全部划去所以，染色的小方格数大于或等于7又按图（）所示的方式染色，则划去任意两行和两列都不能把染色的小方格全部划去所以，至少要染7个小方格（2）若染色的小方格数小于或等于4，则划去两行两列必可将它们全部划去又按如图（）所示的方式染色，则任意划去两行两列都不能把染色的小方格全部划去所以，至少要染5个小方格26.1.26* 一次数学考试中共有4道选择题，每道题有3个可能的答案，一批学生参加考试结果对于其中任何3个学生，都有一道题目，每个人的答案各不相同，问至多有多少个学

26、生参加考试？解析 至多9个学生我们设每个问题的答案为0、1、2三种如果人数10，则第4个问题的答案中，最多的两种至少出现7次考虑这7个人，他们对第四个问题的答案为0或1（设答案2最少）这7个人对第3个问题的答案中，最多的两种（设为0与1）至少出现5次5个人（他们第3个问题的答案为0或1）对第2个问题的答案中，最多的两种（不妨仍设为0或1）至少出现4次因此，有4个人，他们对第2、第3、第4个问题的答案均为0或1，这4个人中有两个人对第一个问题的答案相同这两个人及（4个人中的）另一个人，对每一个问题的答案均至少有两个是相同的因此总人数9另一方面，如果9个人的答案如下表所示，则每三个人都至少有一个问

27、题，他们的答案各不相同 人问题123456789101201201221200122013012120201411100022226.1.27* 某市有所中学，第所中学派出名学生（139，1）到体育馆观看球赛，观赛学生总数为看台上每一横排有199个座位，要求同一学校的学生必须坐同一横排问体育馆最少要安排多少个横排才能保证全部学生都能坐下？解析 首先，证明1 2个横排能保证按要求使全部学生坐下把1990名学生按学校顺序排成一排，然后抽出第199号（从左向右算起）学生所在学校的全体学生，第398号（3981992）学生所在学校的全体学生第1791号（17911999）学生所在学校的全体学生，于是，

28、留在队伍里的学生被分成了10段，每一段的总人数小于199，故用10个横排可以安排他们坐下又由于539195199，所以，每一横排至少可以坐5所学校的学生于是，抽出的9所学校的学生用2个横排就能安排他们坐下这就说明了12个横排能保证按要求使全部学生坐下其次，证明12个横排是最少的取=80，其中79所学校各派25人，另一所学校派15人则7925+151990由于257175199，所以，除了某排能安排8所学校的725+15190名学生外，其余每排只能安排7所学校的学生，11个横排总共只安排了8+10778个学校的学生，矛盾评注 首先，猜出答案是12（利用本题的解法不难想到）然后，证明12排是可以的

29、，再构造实例说明11排不行这种“先猜后证”的方法对于解离散量最值问题非常有效另外注意，本题中的“构造”不是唯一的，渎者可以自己再构造一个例子26.1.28* 平面上有7个点，它们之间可以连一些线段，使7个点中的任意三点必存在两点有线段相连问至少要连多少条线段？证明你的结论解析 首先，证明需连的线段条数大于或等于9下面分4种情形讨论（1）若7个点中，存在1个点不与其他点连线，由题设，剩下的6个点必每两点都有连线，此时，至少要连半一15条线段（2）若7个点中，有1个点只连出1条线段，则其余5个点必每两点都有连线，此时，至少有条线段（3）若每一个点至少连出2条线段，且有1个点恰好连出2条线段，不妨设

30、这点为，连出的2条线段为、，则不与点相连的4个点每两点都必须连线，要连条线段而点连出的线段至少2条，故除外，至少还有1条，所以，此时至少要连6+2+19条线段（4）若每一个点至少连出3条线段，则至少要连73210条线段综上可知，图中的线段数大于或等于9如图给出了构造的一个例子，即说明9条线段是可以的综上所述，最少要连9条线段26.1.29* 88的国际象棋棋盘中最多能放几个不重叠的“十字架”形？解析 如图所示，在棋盘中标好数字，易知十字架形的中央格，只能从标上数的小方格中选择显然，在标1的33棋盘中，最多只能容纳2个中央格，其余类推，故十字架形至多8个不难构造例子111222111222111222333444333444333444