自动控制原理4课件.pptx

1、2023-5-13自动控制原理-根轨迹法1绪论部分绪论部分 由第三章可知，闭环极点完全决定了系统的稳闭环极点完全决定了系统的稳定性，闭环极点和零点则决定了系统的品质。定性，闭环极点和零点则决定了系统的品质。所以，如能确定闭环极点在S平面上的位置，则对控制系统的性能分析则意义重大。由于闭环极点是特征方程的根，随着特征方程阶数的增大，求解困难（试探求法）。而开环传函由简单环节串联组成，零极点易确定，若能用开环极零点确定闭环极点在S平面的位置，并通过调节开环极零点位置改善闭环极零点位置，将使问题更加简单。该方法为：2023-5-13自动控制原理-根轨迹法2 根轨迹法根轨迹法：根据开环极零点分布，当系

2、统某参数由零变到无穷大，绘制出闭环特根在S平面上的相应的变化轨迹，由此来分析，系统的暂态响应，参数对暂态响应的影响，以及系统的综合与校正。这是一种图解方法。2023-5-13自动控制原理-根轨迹法3根轨迹法的基本概念与绘制条件根轨迹法的基本概念与绘制条件 基本概念 根轨迹的绘制条件 根轨迹的分类 2023-5-13自动控制原理-根轨迹法4一、基本概念一、基本概念特征方程：s+2s+k*=0 特征根：*2*111,11KsKs例1：单位反馈二阶系统)2(*ssKWk*2*2KssKWB)2(*ssK2023-5-13自动控制原理-根轨迹法5 欠阻尼-1-j K*-1-1+j K*-1（1，+）临

3、界阻尼-1-11过阻尼S2右移0S1左移0（0，1）-200响应闭开S2S1K*2023-5-13自动控制原理-根轨迹法6结论结论：1、开环传函参数K*影响着闭环极点的分布。2、随着K*的增大，系统响应经历着过阻尼、等阻尼、欠阻尼。3、K*与闭环极点，一一对应，进而可分析系统稳定性及其它各项性能指标。2023-5-13自动控制原理-根轨迹法7二、根轨迹的绘制条件 特征方程：k(s)=0 根轨迹方程：k(s)=-1 （）凡满足（）式的s都是根轨迹上的点，反之，根轨迹上的点也都满足（）式。（曲线与方程一一对应关系）则绘制其根轨迹条件应为：minjsDsKgNpjszisKg11)(/)()(/)(

4、2023-5-13自动控制原理-根轨迹法8 KgeApjszissDsNjminj/1)()(/)()(/)()(11代入（）式根：s=+j 则有 I.若用)()()()()(11sDsNKpszsKsWgnjjmiigK、幅值条件：、相角条件：ZkksWsWKK),12(180)(1)(注意：注意：2023-5-13自动控制原理-根轨迹法9ZkkpszswKLlpszswAnjjmiinjjmiigjiji,)12()()()(.21)()()(.11111 S L3 l1 L2 L1 3 1 2 1 -P2 -Z1 -P1 P0 2023-5-13自动控制原理-根轨迹法10 minjjiK

5、gTpTzKK11/minjjigKpzKK11/根轨迹以根轨迹放大系数Kg绘制p110,例 4-1或若则根轨道放大倍数 与开环放大倍数 的关系为：njpmizKKsTsTKsWji11)1()1()(jpizpTzTji1,1gKKK2023-5-13自动控制原理-根轨迹法11 主根轨迹主根轨迹：0=Kg 的根轨迹（180根轨迹）辅根轨迹辅根轨迹：-=Kg=2时，根轨迹呈现发散性质，一些分支右行时，另一些分支必左行，偏向S平面右半部分。这一点可由根的特性说明：6K032 Ks2023-5-13自动控制原理-根轨迹法30 9.放大系数求取值放大系数求取值由幅值条件，根轨迹上某点放大系数为：nj

6、jnnjnnnjRaasasRs10110.)(mjilniilllllglzspszszspspsK112121.mjniijglklpzKK11/特征方程它与开环放大系数的关系为各特征根之和为常数！2023-5-13自动控制原理-根轨迹法31 108 36 -180 -108 -36 ,1,.,3,2,1,0/)12(lklkd5)1/()(sKsWK10、分离角与汇合角、分离角与汇合角分离角：根轨迹离开分离点的切线方向与实轴正向夹角。汇合角：根轨迹进入汇合点的切线方向与实轴正向夹角。为分离点根轨迹数。例52023-5-13自动控制原理-根轨迹法32解：（1）分支数：4个(2)起点：-p1

7、=0,-p2=-1+j,-p3=-1-j,-p4=-3 终点：全在无穷远处。(3)实轴上根轨迹：-3，0 （4）渐近线315,225,135,4504)12(ka25.10403110)/()()(mnzpiia)22)(3(/)(2ssssKsWK例6 绘制根轨迹2023-5-13自动控制原理-根轨迹法33matlab绘制根轨迹图2023-5-13自动控制原理-根轨迹法34(5)分离点 1/d+1/(d+3)+1/(d+1-j)=0 试探得:(6)出射角(7)与虚轴交点:由特征方程s(s+3)(s+2s+2)+k=0 代入s=j得(8)走向(9)放大系数(10)分离角:903.2 s6.71

8、)(6.71906.26135180180)(142,12pzppsciiisc则16.8095.12.1,06508324KwwwKww2023-5-13自动控制原理-根轨迹法35 例例7 绘制右图以Kp为参变量的根轨迹 解：)1)(25.0()67.1(6.0)1)(14()6.01(4)(sssKsssKsWppKKP(1+0.6s)14)(1(4ssR(s)Y(s)令 Kg=0.6Kp 开环（1）起点，-0.25,-1 终点：-1.67,-（2）分支数:2（3）实轴根轨迹:-1,-0.25,-,-1.67（4）渐近线:(2k-1)/(2-1)=180jw12645.2373.6pK69

9、5.0234.0pK25.02023-5-13自动控制原理-根轨迹法36（5）实轴交点:（6）走向：复平面根轨迹是一以开环零点-1.67为圆心，以-1.67为分离点-0.695的距离为半径的圆222111,04.4,645.2,139.0,695.0,)67.1()1)(25.0(pgpggKKsKKssssdsdK证证：用s=+j代入特征方程由相角条件:整理后得 (+1.67)+=0.95141)25.0)(1()67.1(*jjjKg)12(25.0tan1tan67.1tan111kwww结论结论；任意带一开环零点的二阶系统，若复平面存在根轨迹，则它一定是一个以开环零点为圆心的圆或圆的一

10、部分。2023-5-13自动控制原理-根轨迹法37二阶系统二阶系统 三阶系统三阶系统 具有复极点的四阶系统具有复极点的四阶系统延迟环节（时滞环节）系统延迟环节（时滞环节）系统三、典型自控系统根轨迹三、典型自控系统根轨迹 2023-5-13自动控制原理-根轨迹法381.二阶系统二阶系统 其中Kg=Kk/T 标准二阶系统:(1)起终点(2)实轴(3)分离点:-1/2T (4)渐近线：90，-1/2T由(2)式知二阶系统特征根在S平面的位置 )1()1()1()(TssKTssKsWgKKWK)2()(2nnKwsswsWcos122,1nnjp4545jw1L2LT1T21Rjw21njwnwnw

11、2023-5-13自动控制原理-根轨迹法39 由幅值条件4521则TKTLLKKg21,21)cos21(22212.开环具有零点二阶系统开环具有零点二阶系统)2.0()()(ssasKsWgK复平面根轨迹可由幅角条件证明是个圆，这样增加零点改变了 系统品质。12.08.018.01等线等频线对(1)式若要工程最佳2023-5-13自动控制原理-根轨迹法402023-5-13自动控制原理-根轨迹法41 3.三阶系统三阶系统 二阶系统再加一个极点 (1)起终点 (2)分支数 (3)实轴上 (4)分离点 a=4时 (5)渐近线 a=4 时 (6)与虚轴交点 TaasssKTsssKsWgKK/1,

12、)(1()1)(1()(结论；二阶系统附加极点Kg根轨迹将穿过虚轴系统趋于不稳定2023-5-13自动控制原理-根轨迹法421429.29.222023-5-13自动控制原理-根轨迹法43(1)起终点，分支数，实轴(2)渐近线:90 (3)取d=4T,=1/2 作=1/2的阻尼线 与根轨迹交点:由代数方程:R1+R2+R3=p1=1/T 得-R3=-1/(2T)()()1()1()(1212psszsKTssTsKsWgiddKTTTjTR12143412,1)11(21dKT4.开环具有零点三阶系统开环具有零点三阶系统：二阶加一极点一零点其中Kg=K/TiT z1=1/d p1=1/T202

13、3-5-13自动控制原理-根轨迹法443060jw线渐进线T1Kd1Tj43TTTTKKTTTTlLt tKiigg2,214323)21(221321三阶工程最佳（4）2023-5-13自动控制原理-根轨迹法45(1)起终点，分支数，实轴上(2)渐近线 =-60，180，-k=-1 (3)出射角 sc1=-26.6(4)与虚轴交点 s=j1.61 ,(5)由根与系数关系:KggKKKKsssssKsssssKsW3,)22)(3()2()121)(131()121()(2233.2,7KgKK42.358.1,254343214321RRKRRRRRRRRg5.具有复极点的四阶系统具有复极点

14、的四阶系统2023-5-13自动控制原理-根轨迹法46 对系统稳定性不利 (!=0滞后时间常数)根轨迹方程 特征根 幅值条件:辐角条件:特点：特征根无限多个，根轨迹分支数无限多条。sgKesDsNKsW)()()(Kgepszssnjjmii1)()(11gjiKpszse1)()()()12()()(NCkzspsijjs6.延迟环节（时滞环节）系统延迟环节（时滞环节）系统2023-5-13自动控制原理-根轨迹法47（1）当|s|很小时 绘制方法同前（2）当|s|较大时 起点:pi,-,终点;-zi,+分支数:无穷多条，对称性：对称于实轴。实轴上；由=0 可知绘制规则不变 分离汇合点；仍可按

15、dKg/ds=0计算 渐近线：当Kg时，所有有限开环零极点到的矢量幅角都等于0，故渐近线为水平线。由幅角条件知 （2k+1）-=0与虚轴交于=(2k+1)/ssses11.)(211122023-5-13自动控制原理-根轨迹法48 出射角与入射角nljjmijiscl,11)()()12(ReImtanReImtan1111kpipizznjjjmjlmiinjjglzjpjK11 与虚轴交点：令s=j由幅角条件求得l)()(1,1njmliiijsrl 当Kg=0时-所有有限开环零极点到矢量幅角都等于，故渐近线仍为水平线只是交点由 (2k+1)-=(m-n)，,|m-n|为奇数,|m-n|为

16、偶数/)12(/2kkw2023-5-13自动控制原理-根轨迹法49 复平面上的根轨迹（作图法）；k=0时如一阶系统TseKsWsgK1)()1()1(TsTsjwgKgK-1/T0gK或 取=1时，从-1/T点做一倾角为 斜线，交于 水平线，交点为一特征根 ，取全 0区间得一组特征根并画出一支根轨迹，对称实轴画出另一支11j1s2023-5-13自动控制原理-根轨迹法50 k=1 时，渐近线不同3j2jjgK3j2jj0gK2023-5-13自动控制原理-根轨迹法51四、零度根轨迹四、零度根轨迹1，概念概念：非最小相位系统：凡是在S平面右半平面有开环零极点的系统，与之相反称为最小相位系统。产

17、生零度根轨迹原因:非最小相位系统中包含有最高次幂的系数为负的环节系统中有正反馈内环。幅角条件满足2k(k属于Z)的根轨迹称为零度根轨迹。其幅值条件不变。2023-5-13自动控制原理-根轨迹法52绘制规则（绘制规则（与常规根轨迹相比）实轴上根轨迹只能出现在其右侧开环零极点 总数为偶数的区段上 渐近线 =2k/(n-m)k=1,2,n-m-1 出射角 入射角 minljjililscl11mliinjjlilsrl112023-5-13自动控制原理-根轨迹法53 分离角minljjidpdzdkl11)()(21 其他规则不变，例8)2)(1()(sssKsWgK汇合角nljjmiidpdzdk

18、l11)()(21WkR(s)Y(s)120385.0,577.1gddK2023-5-13自动控制原理-根轨迹法54例9)1()1()(1sTssTKsWaKK2023-5-13自动控制原理-根轨迹法55五、广义根轨迹五、广义根轨迹 它是指以某非Kg作为系统参数变化时得到的根轨迹。具体的做法为：由闭环系统特征方程式KgN(s)+D(s)=1 整理出研究的参数根轨迹方程式1)()(sAsB2023-5-13自动控制原理-根轨迹法56 关于Ta的根轨迹方程为 则新的开环传函应为 ，)15()1(5)(sssTsWaK05)15(51sssTa1)2.0()(sssTskWa5(1+TaS)1/s

19、(5s+1)例10 055)15(Tasss特征方程 闭环极点保持不变而零点变了。Ta闭环极点左移2023-5-13自动控制原理-根轨迹法5712.0)2.0()()1)(15(5)(22ssssTsWsTsssWbKbK例110bTbT2.01.0995.01.0jjw2023-5-13自动控制原理-根轨迹法58用根轨迹方法分析系统的暂态特性用根轨迹方法分析系统的暂态特性 在根轨迹上确定特征根 用根轨迹法分析系统的暂态特性 在根轨迹上由性能指标确定调整参数2023-5-13自动控制原理-根轨迹法59一、在根轨迹上确定特征根一、在根轨迹上确定特征根试探法试探法：已知Kg，先找一试点So求得它的

20、Kg=(L1L2Ln)/(L1L2lm)，使 Kg=kg,便定出So。n-m=3系统,先找到实根(实轴上),再用韦达定理去求复根.实根仍要用作图法.)4)(1()(ksssKgsW2023-5-13自动控制原理-根轨迹法60二、用根轨迹法分析系统的暂态特性 1,闭环主导极点:暂态过程主要决定于离虚轴较近的极点,当极点实部相差5倍以上时,远离虚轴的极点可被忽略.(对零点也适合)2,闭环极点位置变化时对暂态过程的影响(P135-p1,-p2负实闭环极点一对复极点,n不变变,不变 不变n变)nwnwnwj21jw2023-5-13自动控制原理-根轨迹法61不变,n,极点沿失径延伸,|-n|加快系统响

21、应速度 快速达到稳态阻尼振荡频率n不变，=0,=arccos 对极点汇合于实轴,有实数重根,系统工作在临界阻尼状态,无超调 =90,=0有共轭虚根,等幅振荡.,一对共轭复根,系统衰减振荡，%。P135F4_32)1,0(),90,0(dnww,122023-5-13自动控制原理-根轨迹法62 3,增加开环零点对系统性能的影响:增加开环零点将影响根轨迹形状(见上节),改善了系统稳定性和暂态品质.但将增大超调.开环零点 开环极点4,增加开环极点对系统性能影响:这时将使根轨迹向右偏移.降低了系统稳定性,减小了,增大了ts性能指标下降.5,偶极子对系统性能影响:偶极子:左边一个零点右边一个极点相距很近

22、,作用相抵消,却可提高开环增益提高稳态精度.2023-5-13自动控制原理-根轨迹法63三、在根轨迹上由性能指标确定调整参数三、在根轨迹上由性能指标确定调整参数 例 12 试根据系统根轨迹分析稳定性(阶跃响应)并计算使闭环主导极点具有=0.5时的Kg值.解:1,画根轨迹如右图)2)(1()(sssKgsWk2023-5-13自动控制原理-根轨迹法64 2、稳定性分析 0Kg1)非周期单调上升过程,稳定.Kg=0.385 重实极点临界阻尼状态(=1)稳定 0.385Kg6,共轭复极点,欠阻尼状态(06有两个闭环极点进入S右半平面(0),不稳定 状态.3、求=0.5时的Kg 2023-5-13自动控制原理-根轨迹法654、验证闭环主导极点由特征方程 证明是主导极点.733.034.234.23023332123ssssKgsss有06.1023(123skgsssKg33312,1js做等线过原点,=60求出与根轨迹交点(幅角条件)2,1s2023-5-13自动控制原理-根轨迹法66