「解题策略」特殊角的妙用—“12345模型”.docx

1、解题策略特殊角的妙用“12345模型”几何图形中经常会出现一些特殊角，熟悉的有30、45、60等等，特殊角往往伴随着固有属性运用于题目中，也是解题思路来源之一。比如看到30角我们会想到 ，45角总是跟等腰直角三角形说不清道不明，60甚至能牵出一只等边三角形。关于特殊角，除了用角度表示，诸如15角的倍数，还可以用三角函数表示，只要最终的结果是：（1）好看；（2）好用，就可以将其归为特殊角。 比如tanA=1/2，诚然我并不知道A的度数到底是多少，而且A也一定不是一个整数度数，但这并不妨碍A的特殊性，A所对的直角边是邻边的两倍，这与30角的 并无本质区别。 打开三角函数的大门，打开新世界。 今天，

2、故事的主角也是一个特殊角，哦不，是一组特殊角。 01从一道北京中考题说起 【2019北京中考第12题】 如图所示的网格是正方形网格，则PAB+PBA=_（点A、B、P是网格线交点） 解法有很多，这里就根据现有的方格纸来构造一下： PAB+PBA=BPQ=45 这里的PAB和PBA便是今天要说的特殊角，除了它们的和为45之外，用三角函数的观点来看： tanPAB=1/2，tanPBA=1/3 这个正切值可以说很好看了。 02“12345模型” 12345模型 对于这里的数据，为了便于记忆，通常称为“12345”模型。 上文所举的北京中考题已经足够说明这个结论，考虑到使用这个结论的多样性，以下用3

3、种方法给出证明： 法一：方格纸中的构造 小学的时候我们可能就遇到过这样一个题目：求1+2 考虑1和2的正切值，这不正是刚刚所说的和吗？ 构造等角，将和组合到一起： 根据这里的等腰直角ABC，可得1+2=45 此外，模型还可变式为： 法二：勾三股四弦五 如图，AC=4，BC=3，AB=5，这个三角形我们再熟悉不过了。在这里： 分别延长CB、CA可构造构造 此处我们还可得： 这个也是在解题中常用的结论。 法三：构造矩形 直角中夹一个45角也是一种常见的构图。 此处我们还可得： 03 慧眼识角 做题从来都不是靠题目告诉我什么，而是结合已知信息，分析这里需要什么 1 已知45+寻、已知45+寻 留意题

4、中给的45角以及由正切值确定的和。 【2018湖北中考第9题】 如图，正方形ABCD中，AB=6，G是BC的中点，将ABG沿AG对折至AFG，延长GF交DC于点E，则DE长是（ ） A1 B1.5 C2 D2.5 【分析解答】 根据BG是AB的一半，可得tanBAG=1/2， 连接AE，易证AEFAED， tanDAE=1/3，DE=2， 故此题选C 【2019盐城中考第16题】 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=2x-1的图像分别交x、y轴于点A、B，将直线AB绕点B顺时针旋转45，交x轴于点C，则直线BC的函数表达式是_ 【分析解答】 根据解析式可知： 即可求得C点坐标（3,0），可求

5、得解析式。 【2017浙江丽水第16题】 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=-x+m分别交x轴、y轴于A、B两点，已知点C（2,0），点P为线段OB的中点，连接PA、PC，若CPA=ABO，则m的值是_ 【分析解答】 PAO=，APC=45，OPC=，OP=6，OA=12,m=12 【2017无锡中考第18题】 在如图的正方形方格纸上，每个小的四边形都是相同的正方形，A、B、C、D都在格点处，AB与CD相交于O，则tanBOD的值等于_ 【分析解答】 取点E如图所示，则OAE=，OEA=45，BOD=+45，tanBOD=3 2 发掘潜在的2、2 已知有3:4:5的直角三角形，其锐角的一

6、半即为所求的与，反之，2、2也存在着特殊的三角函数值。 【2016甘肃天水第16题】 如图，把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在x轴、y轴上，连接OB，将纸片OABC沿OB折叠，使点A落在点A位置，OB为根号5，tanBOC=1/2，则点A的坐标为_ 【分析解答】 tanABO=tanBOC=1/2，tanABA=4/3， 即AHB三边之比为3:4:5， 再根据BA=BA=2， 即可求得A坐标 【2017宜宾中考第7题】 如图，在矩形ABCD中，BC=8，CD=6，将ABE沿BE折叠，使点A恰好落在对角线BD上F处，则DE的长是（ ） A3 B24/5 C5 D89/16 【分析解答】 考虑tanABD=4/3，tanABE=1/2， AE=3，DE=5故选C 3 正方形中的角度构造 正方形是中考最常出现的几何图形之一，由于对角线平分对角使得45成为常客。 【一个小题目】 在正方形ABCD中，边长为6，BE=2AE，连接DE，在AD、BC上分别存在点G、F，连接GF交DE于H点，且GHD=45，求线段FG=_ 【分析解答】 观察发现tanADE=1/3，且GHD=45，条件已经具备，考虑GF可动，平移GH，将、45汇于直角处。可知CF=3， 所以DF长度为3倍根号5