精编数学-新教材人教A版选择性必修二-42-1-等差数列的概念课件.ppt

1、4.2.1 4.2.1 等差数列的概念等差数列的概念一、请回答下列概念：一、请回答下列概念：1.数列的定义：数列的定义：2.数列的通项公式数列的通项公式：3.数列的图像：数列的图像：4.数列表示形式数列表示形式：5.数列的分类：数列的分类：6.数列的递推公式：数列的递推公式：按一定次序排列的一列数叫做按一定次序排列的一列数叫做数列数列.如果数列如果数列 的第的第n项项 与与n之间之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的个数列的通项公式通项公式.nana都是一群孤立的都是一群孤立的点点.列举法、通项公式法、图象法列举法、通项公式

2、法、图象法.（1）有穷数列和无穷数列）有穷数列和无穷数列（2）递增数列、递减数列、常数列）递增数列、递减数列、常数列)72(1411naaann如：温故知新温故知新等差数列的有关概念等差数列的有关概念观察数列 (1)4，5，6，7，8，9，10.(2)1，4，7，10，13，16，(3)7x，3x，-x，-5x，-9x，(4)2，0，-2，-4，-6，(5)5，5，5，5，5，5，(6)0，0，0，0，0，定义：如果一个数列从第定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等项起，每一项与它的前一项的差等于同一个于同一个常数常数（指与指与n无关的数无关的数），这个数列就叫做），这个数列就

3、叫做等差数列等差数列，这个这个常数常数叫做叫做等差数列等差数列的的公差公差，公差公差通常用字母通常用字母d表示。表示。无关的数或式子）是与ndaann(1以上以上6个数列的公差分别为个数列的公差分别为公差公差 d=1 递增数列递增数列公差公差 d=3 递增数列递增数列公差公差 d=-4x公差公差 d=-2 递减数列递减数列公差公差 d=0 非零非零常数列常数列公差公差 d=0 零零常数列常数列因为x的正负性不确定，所以该数列的增减性尚不能确定。1+2+3+100=?高斯，高斯，(1777(177718551855）德国著德国著名数学家名数学家。得到数列得到数列 1，2，3，4，1001 1引例

4、一引例一 姚明刚进姚明刚进NBANBA一周训练罚球的个数一周训练罚球的个数：第一天：第一天：6000，第二天：第二天：6500，第三天：第三天：7000，第四天：第四天：7500，第五天：第五天：8000，第六天：第六天：8500，第七天：第七天：9000.得到数列：得到数列：6000，6500，7000，7500，8000，8500，9000引例二引例二 引例三引例三 2124212321252122，23，24，25，26，2124212321252122，23，24，25，26，得到数列得到数列运动鞋（女）的尺码（鞋底长，单位是运动鞋（女）的尺码（鞋底长，单位是cm）姚明罚球个数的数列：

5、姚明罚球个数的数列：6000，6500，7000，7500，8000，8500，9000发现？发现？观察观察：以上数列有什么共同特点？：以上数列有什么共同特点？从第从第 2项起，每一项与前一项的差都等于同一项起，每一项与前一项的差都等于同一常数。常数。高斯计算的数列：高斯计算的数列：1，2，3，4，1002 2观察归纳观察归纳 2124212321252122，23，24，25，26运动鞋尺码的数列运动鞋尺码的数列这三个数列有何共同特征这三个数列有何共同特征从第从第2项起，每一项与其前一项之差等项起，每一项与其前一项之差等于同一个常数。于同一个常数。请尝试着给具有上述特征的特殊数列请尝试着给具

6、有上述特征的特殊数列用数学的语言下定义用数学的语言下定义 交流交流 一般地，如果一个数列从第一般地，如果一个数列从第2 2项起，每一项与它项起，每一项与它的前一项的差等于的前一项的差等于同一个常数同一个常数，那么这个数列就叫，那么这个数列就叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差公差，通常，通常用字母用字母d表示。表示。递推公式递推公式anan1=d （d是常数，是常数，n2，nN*）3 3 等差数列的定义等差数列的定义6000，6500，7000，7500，8000，8500,9000公差公差d=1公差公差d=5002124212321252122，23，2

7、4，25，26公差公差d=211，2，3,100；4 4 等差中项的定义等差中项的定义 如果如果a,A,b成等差数列，那么成等差数列，那么A叫做叫做a与与b的等差中项的等差中项.即：即：a,A,b成等差数列成等差数列2abA 公差公差d d是每一项（第是每一项（第2 2项起）与它的前一项的差，防止把被减数与减数弄颠项起）与它的前一项的差，防止把被减数与减数弄颠倒，而且公差可以是正数，负数，也可以为倒，而且公差可以是正数，负数，也可以为0 0 1、等差数列的定义、等差数列的定义 如果一个数列如果一个数列从第从第2项起项起，每一项与其前一项的差每一项与其前一项的差等于等于同一个常数同一个常数，那么

8、这个数列就叫做等差数列，这个，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的常数叫做等差数列的公差公差，公差通常用字母，公差通常用字母d表示。表示。（1）指出定义中的关键词：）指出定义中的关键词：从第从第2项起项起等于同一个常数等于同一个常数由定义得等差数列的递推公式：由定义得等差数列的递推公式：1(nnaad d是常数）说明：此公式是判断、证明一个数列是否为等差说明：此公式是判断、证明一个数列是否为等差数列的主要依据数列的主要依据.每一项与其前一项的差每一项与其前一项的差 探究探究 练习：判断下列数列中哪些是等差数列，练习：判断下列数列中哪些是等差数列，哪些不是？如果是，写出首项哪些不是

9、？如果是，写出首项a a1 1和公差和公差d,d,如如果不是，说明理由。果不是，说明理由。(1)1,1,1,1,1.(2)4,7,10,13,16.(3)3,2,1,1,2,3.(4)1,2,3,4,5,6.(5)5,9,13,41,2、等差数列的通项公式、等差数列的通项公式1.nnaada思考：已知等差数列的首项为，公差为，求根据等差数列的定义得到根据等差数列的定义得到21aad，21aad所以32aad，43aad，3211()2aadaddad4311(2)3aadaddad1(1)naand由此得到(2)n 11na当时，上面等式两边均为，即等式也成立1(1)naand等差数列的通项公

10、式为方法一：不方法一：不完全归纳法完全归纳法2、等差数列的通项公式、等差数列的通项公式n1n.aaa思考：已知等差数列的首项为，公差为d，求21aad，32aad，43aad，1nnaad1n 个1(1)naand将所有等式相加得将所有等式相加得方法二方法二累加法累加法例例1 求等差数列求等差数列8，5，2，的第的第20项项.-401是不是等差数列是不是等差数列-5，-9，-13，的项？如果是，的项？如果是，是第几项？是第几项？解：解：由由a1=8，d=5-8=-3，n=20，得，得 a20=8+(20-1)(-3)=-49.由由a1=-5，d=-9-(-5)=-4,得到这个数列的通项公式得到

11、这个数列的通项公式为为an=-5-4(n-1).由题意得由题意得-401=-5-4(n-1),解这个关于解这个关于n的方程，得的方程，得n=100，即，即-401是这个数列的第是这个数列的第100项项.（1 1）求等差数列）求等差数列3,7,113,7,11的第的第4 4项与第项与第1010项；项；（2 2）判断）判断102102是不是等差数列是不是等差数列2 2，9 9，1616，的项？如果是，的项？如果是，是第几项，如果不是，说明理由。是第几项，如果不是，说明理由。解：（解：（1 1）根据题意得：）根据题意得：a a1 1=3,d=7-3=4,=3,d=7-3=4,（2）例例2 2 在等差

12、数列在等差数列aan n 中，已知中，已知 a a5 5=10,a=10,a1212=31=31,求首项求首项a a1 1与公差与公差d d.这是一个以a1和d 为未知数的二元一次方程组，解之得：解：由题意得：a1+4d=10 a1+11d=31 a1=-2 d=3 这个数列的首项a1是-2，公差d=3.小结：已知数列中任意两项，可求出首项和公差，主要是联立小结：已知数列中任意两项，可求出首项和公差，主要是联立二元一次方程组。这种题型有简便方法吗？请同学们思考并做二元一次方程组。这种题型有简便方法吗？请同学们思考并做以下练习。以下练习。1、已知等差数列的首项与公差，可求得其任何一项；2、在等差

13、数列的通项公式中，a1，d，n，an四个量中知三求一.结论结论12310.nadna在等差数列中，若，则13212.naadn若，则161227.aad若，则7118.3daa 若，则2910310 跟踪训练跟踪训练3等差中项等差中项 如果如果 a,A,b 成等差数列，那么成等差数列，那么 A 叫做叫做 a 与与 b 的的等差中项等差中项.由等差中项的定义可知，由等差中项的定义可知，a,A,b 满足关系：满足关系：222或abbAAaAbAa(aAb)意义：意义：任意两个数都有等差中项，并且这个等差中项任意两个数都有等差中项，并且这个等差中项是唯一的是唯一的.当当 a=b 时，时，A=a=b.

14、例例3（1）在等差数列）在等差数列an中，是否有中，是否有 （2）在数列）在数列an中，如果对于任意的正整数中，如果对于任意的正整数n（n2），都有），都有那么数列那么数列an一定是等差数列吗？一定是等差数列吗？11(2)?2nnnaaan112nnnaaannmaaa思考：在等差数列中，项 与有何关系？4、等差数列通项公式的推广、等差数列通项公式的推广解析：解析：由等差数列的通项公式得由等差数列的通项公式得1(1)naand1(1)maamd().nmaanm d-得().nmaanm d.nmaadnm进一步可以得到思考：已知等差数列思考：已知等差数列aan n 中，中，a a3 3=9,

15、a=9,a9 9=3,=3,求求a a1212,a,a3n3n.解法一解法一:依题意得：依题意得：a a1 1+2d=9+2d=9 a a1 1+8d=3+8d=3解之得解之得 a a1 1=11=11 d=-1 d=-1这个数列的通项公这个数列的通项公式是：式是：a an n=11-(n-1)=12-n=11-(n-1)=12-n 故故 a a1212=0,a=0,a 3n 3n=12=12 3 n.3 n.解法二：1已知等差数列11,13,15，那么数列的第1 000项为()A2 007B2 008C2 009 D2 011解析：a111，d2，an11(n1)22n9，a1 00021

16、00092 009，故选C.答案：C当堂练习当堂练习2已知m和2n的等差中项是4,2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是()A2 B3C6 D9解析：依题意m2n8,2mn10.故3m3n18，即mn6.答案：B3已知等差数列an，a123，公差dZ，如果a7是该数列各项中第一个负数项，则d_.答案：44在等差数列an中，已知a511，a85，求a10.5 求等差数列求等差数列8，5，2，的第，的第20项。项。解：解：,20,385,81nda49)3()120(820 a例例2 等差数列等差数列-5，-9，-13，的第几项是，的第几项是 401？解：解：,401,4)5(9,51nad

17、a因此，因此，)4()1(5401n解得解得100n答：这个数列的第答：这个数列的第100项是项是-401.dnaan)1(1dnaan)1(1233 740a 340747a 6 梯子的最高一级宽梯子的最高一级宽33cm，最低一级宽，最低一级宽110cm，中间还有，中间还有10级级.各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽.解：解：,12,110,33121naa,)112(112daa即即 110=33+11d,dnaan)1(1解得解得 d=7因此因此，答：梯子中间各级的宽从上到下依次是答：梯子中间各级的宽从上到下依次是 40cm,47cm,54cm,

18、61cm,68cm,75cm,82cm,89cm,96cm,103cm.11967103a 2.2 2.2 等差数列等差数列第二章第二章 数列数列 第二课时第二课时 2、等差数列的通项公式、等差数列的通项公式1(1).naand1、等差数列的定义、等差数列的定义1(nnaad d是常数）.3、等差数列的中项、等差数列的中项2abA 复习复习通项公式的证明及推广通项公式的证明及推广m(nm).naad例例5 5 已知三个数成等差数列，它们的和是已知三个数成等差数列，它们的和是1212，积是积是4848，求这三个数，求这三个数.()()12()()48adaadad a ad解：解：设三个数为设三

19、个数为a-d，a，a+d，则，则解之得解之得42ad 故所求三数依次为故所求三数依次为2，4，6或或6，4，2(napnqpq 已知数列的通项公式是其中，是常数），那么这个数列是否一定是等思考：差数列？112)()(1)().nnnnnnaaa naapnqp nqpnqpnpqpna取数列中的任意相邻两项与（，这是一个与 无关的常数，所以是等差数列.5、等差数列的通项及图象特征、等差数列的通项及图象特征napnq等差数列的通项公式可反之：以 表示为吗？解析解析:111(1)(),.nnaanddnadpdqadapnq设，则 思考思考n等差数列的通项公式是关于 的形式，反之 一次亦成立。结论

20、结论:一 条其直图象线 为落在上的点。等差数列的图象1（1）数列：-2，0，2，4，6，8，10，12345678910123456789100等差数列的图象等差数列的图象2 2（2）数列：7，4，1，-2，12345678910123456789100等差数列的图象3（1）数列：4，4，4，4，4，4，4，12345678910123456789100 差数列的增减性差数列的增减性:当当d0时时,等差数列是递增数列等差数列是递增数列当当d0时时,等差数列是递减数列等差数列是递减数列当当d=0时时,等差数列是常数列等差数列是常数列性质性质：设：设 若若 则则 *m,n,p,qNmnpqaaaa

21、.mnpq,111111(1)(1)2()2,(1)(1)2()2,.mnpqmnpqaaamdandan m ddaaapdaqdap q ddaaaa 证证明明：等差数列的性质等差数列的性质数列数列an是等差数列，是等差数列，m、n、p、qN+，且且m+n=p+q，则，则am+an=ap+aq。7153aaa(1)a83641aaaa(2)a732651aaaaa(3)a45433aaa(4)a35434aaa(5)a判断：判断：可推广到三项，可推广到三项，四项等四项等注意：等式两注意：等式两边作和的项数边作和的项数必须一样多必须一样多123121knknnnaaaaaaaa5、等差数列的

22、性质、等差数列的性质已知数列已知数列 为等差数列，那么有为等差数列，那么有na 性质性质1：若：若 成等差数列，则成等差数列，则 成等差数列成等差数列.*m,p,n(m,p,n N)mpna,a,a证明：根据等差数列的定义，证明：根据等差数列的定义，m,p,n,成成等等差差数数列列pmnp,(pm)d(np)d.pmnpaaaa.即即 成等差数列成等差数列.mpna,a,a如如 成等差数列，成等差数列，成等差数列成等差数列.1611a,a,a369a,a,a推广：推广：在等差数列在等差数列有规律有规律地取出若干项，所得新数列仍地取出若干项，所得新数列仍然为等差数列。（如奇数项，项数是然为等差数

23、列。（如奇数项，项数是7的倍数的项）的倍数的项）性质性质3：设：设 c,b 为常数，若数列为常数，若数列 为等差数列，则数为等差数列，则数 列列 及及 为等差数列为等差数列.nanab nc ab性质性质4：设：设 p,q 为常数，若数列为常数，若数列 、均为等差数列，均为等差数列，则数列则数列 为等差数列为等差数列.nannp aq bnb 例8（1）已知等差数列an中，a3 a15=30,求a9，a7a11解：（1 1）a9是a3和a15的等差中项（2）已知等差数列an中，a3 a4a5 a6 a7=150，求a2a8的值1523021539aaa7+11=3+15（2 2）3+7=4+6

24、=5+5 a3 a4a5 a6 a7=5 a5=150即a5=30故a2a8=2 a5=60 a7a11=a3 a15=30 a3a7=a4 a6=2 a5（1）等差数列an中，a3 a9a15a21=8，则a12=（2）已知等差数列an中，a3 和a15是方程x26x1=0的两个根，则a7 a8 a9a10a11=2215（3）已知等差数列an中，a3 a5=14,2a2a6=15，则a8=19 当堂练习当堂练习2A BC D1-nnnnnnnnnnabbabababa思考：已知数列是等差数列，则数列为等差数列的是（）、D由题目可获取以下主要信息：bn与an的关系，an与an1的关系；若bn

25、1bn为常数，则bn是等差数列解答本题可运用整体代换法判断题后感悟判断一个数列是等差数列的基本方法是紧扣定义：an1and(d为常数)，也可以用an1ananan1(n2)进行判断本题属于“生成数列问题”，关键是形成整体代换的思想方法，运用方程思想求通项公式 已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数由题目可获取以下主要信息：等差数列是递增的三个数的和为18，平方和为116.解答本题可充分利用等差中项的定义求解未知量题后感悟当三个数或四个数成等差数列且和为定值时，可设出首项a1和公差d列方程组求解，也可采用对称的设法，三个数时，设ad，a，ad；四个数时，

26、设a3d，ad，ad，a3d.利用和为定值先求出其中某个未知量 3.在1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列解析：方法一：设a11，a5771(51)dd2所求数列为1,1,3,5,7.1理解等差数列的定义需注意的问题(1)注意定义中“从第2项起”这一前提条件的两层含义，其一，第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合；其二，定义中包括首项这一基本量，且必须从第2项起保证使数列中各项均与其前面一项作差(2)注意定义中“每一项与它的前一项的差”这一运算要求，它的含义也有两个：其一是强调作差的顺序，即后面的项减前面的项；其二是强调这两项必须相邻(3)注意定义

27、中的“同一常数”这一要求，否则这个数列不能称为等差数列2判断一个数列是否为等差数列的常用方法(1)定义法：anan1d(常数)(n2且nN*)等价于an是等差数列(2)等差中项法：2anan1an1(n2且nN*)等价于an是等差数列(3)通项公式法：anknb(k，b为常数，nN*)等价于an是等差数列3等差数列与一次函数的关系等差数列一次函数解析式anknb(nN*)f(x)kxb(k0)不同点定义域为N*，图象是一系列均匀分布在同一直线上的孤立的点定义域为R，图象图象为一条直线为一条直线相同点通项公式与函数的解析式都是关于自变量的一次整式，是最简单的，也是最基本的数列和函数已知数列an，a1a21，anan12(n3)(1)判断数列an是否为等差数列？说明理由；(2)求an的通项公式【错解】(1)anan12，anan12(为常数)，an是等差数列(2)由上述可知，an12(n1)2n1.【错因】忽视首项与所有项之间的整体关系，而判断特殊数列的类型是初学者易犯的错误事实上，数列an从第2项起，以后各项组成等差数列，而an不是等差数列，anf(n)应该表示为“分段函数”型【正解】(1)当n3时，anan12，即anan12，而a2a10不满足anan12(n3)，an不是等差数列