精编06流体力学课程-课件(精华版)资料.ppt
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1、v 根据理想流体的运动学特性,可以将理想流体的运根据理想流体的运动学特性,可以将理想流体的运动分为无旋运动和有旋运动两大类。动分为无旋运动和有旋运动两大类。v本章将在介绍二维运动引入流函数的概念,介绍无本章将在介绍二维运动引入流函数的概念,介绍无旋运动时引入势函数的概念,流函数和势函数是描述旋运动时引入势函数的概念,流函数和势函数是描述流体行为的重要概念。流体行为的重要概念。v求解流体无旋运动问题,一般通过解运动学方程求解流体无旋运动问题,一般通过解运动学方程(连续性方程)和动力学方程(运动方程),确定流(连续性方程)和动力学方程(运动方程),确定流场的速度分布和压力分布。场的速度分布和压力分
2、布。6.1 理想不可压缩流体运动基本方程6.2 二维无旋运动6.3 基本无旋流6.5 有旋运动6.4 理想流体绕圆柱的流动 连续性方程连续性方程 质量守恒定律对流质量守恒定律对流体运动的一个基本体运动的一个基本约束约束 用欧拉观点对质量守恒原用欧拉观点对质量守恒原理的描述:连续介质的运动理的描述:连续介质的运动必须维持质点的连续性,即必须维持质点的连续性,即质点间不能发生空隙。因此,质点间不能发生空隙。因此,净流入控制体的流体质量必净流入控制体的流体质量必等于控制体内因流体密度变等于控制体内因流体密度变化而增加的质量。化而增加的质量。6.1 理想不可压缩流体运动基本方程理想不可压缩流体运动基本
3、方程连续性方程连续性方程xyzodxdydzuzabcdabcd 在时间段在时间段dt 里,沿着里,沿着 y 方向和方向和 z 方向净流入左右方向净流入左右和上下两对表面的流体质和上下两对表面的流体质量分别为量分别为tzyxyuydddd)(tzyxzuzdddd)(和和uy()()()0yxzuuutxyz0)(ut三维流动的连三维流动的连续性微分方程续性微分方程 在时间段在时间段dt 里,微元内流体质量的增加里,微元内流体质量的增加 根据质量守恒原理根据质量守恒原理简化简化或写成或写成对于不可压缩流体的流对于不可压缩流体的流动,密度是常数,连续动,密度是常数,连续方程为方程为()()()0
4、yxzuuuxyzu恒定流动的连续方程恒定流动的连续方程0yxzuuuxyzu,yxzxyzuuuxyz速度场的散度速度场的散度流体微团在三个互相垂直方流体微团在三个互相垂直方向上的线变形速率之和,也向上的线变形速率之和,也是流体微团的体积膨胀率。是流体微团的体积膨胀率。()()()110rzuruutrrrz22()(sin)()1110sinsinrvvr vtrrrr连续性方程在球坐标中的形式为连续性方程在球坐标中的形式为连续性方程在柱坐标中的形式为连续性方程在柱坐标中的形式为 连续方程连续方程 表明不可压缩流体微团在三个互相垂表明不可压缩流体微团在三个互相垂直方向上的线变形速率的总和必
5、为零,若在一个方向上有直方向上的线变形速率的总和必为零,若在一个方向上有拉伸,则必有另一个方向上的压缩,在运动过程中其体积拉伸,则必有另一个方向上的压缩,在运动过程中其体积不会发生变化。不会发生变化。0 u欧拉方程欧拉方程 作用于运动流体上的力分为两类,一类是作用于作用于运动流体上的力分为两类,一类是作用于整个流体体积上的力,称为彻体力,另一类是作用于整个流体体积上的力,称为彻体力,另一类是作用于流体表面上的力,称为表面力。流体表面上的力,称为表面力。在理想不可压缩流体运动中,微元体上的在理想不可压缩流体运动中,微元体上的作用力之和等于微元体质量与其运动加速度作用力之和等于微元体质量与其运动加
6、速度的乘积。的乘积。111xxxxxyzxyyyyxyzyzzzzxyzzuuuupuuuFtxyzxuuuupuuuFtxyzyuuuupuuuFtxyzz欧拉方程欧拉方程2()()()rrrrrzrrrzzzzzrzzuuuuuupuuFtrrrzruuuuu uupuuFtxryrzuuuuupuuFtxryzz222()sincot1()sincot1()sinsinrrrrrrrrrruuuuuuuupuFtrrrrruuuuuuuu upuFtrrrrrruuuuu uu uuupuFtrrrrrr球坐标形式的欧拉方程球坐标形式的欧拉方程 柱坐标形式的欧拉方程柱坐标形式的欧拉方程
7、如果不可压缩流体做定常运动,且彻体力有势如果不可压缩流体做定常运动,且彻体力有势W,即,即则欧拉方程沿流线则欧拉方程沿流线s的积分得到伯努利方程的积分得到伯努利方程流体做无旋流动时,欧拉方程积分可得流体做无旋流动时,欧拉方程积分可得理想不可压缩流体基本方程组理想不可压缩流体基本方程组 将不可压缩流体的连续性方程和运动方程组合在一起,将不可压缩流体的连续性方程和运动方程组合在一起,得到理想不可压缩流体的运动方程组,即得到理想不可压缩流体的运动方程组,即初始条件是初始条件是t=t0时时边界条件为边界条件为 方程组仍然是非线性的,速度方程组仍然是非线性的,速度u和压力和压力p互相影响,求解方互相影响
8、,求解方程相当困难。如果运动无旋,方程组可以得到重大简化。程相当困难。如果运动无旋,方程组可以得到重大简化。理想不可压缩流体无旋流动基本方程组理想不可压缩流体无旋流动基本方程组若流体作无旋运动,存在速度势,使若流体作无旋运动,存在速度势,使代入连续性方程代入连续性方程 上式是一个二阶线性偏微分方程,通常称为拉普拉斯方程。上式是一个二阶线性偏微分方程,通常称为拉普拉斯方程。拉普拉斯方程的解具有可叠加性。拉普拉斯方程的解具有可叠加性。如果流体理想不可压缩,重力有势,运动无旋,由欧如果流体理想不可压缩,重力有势,运动无旋,由欧拉方程积分得到拉格朗日积分拉方程积分得到拉格朗日积分求出速度势后得到速度,
9、代入拉格朗日积分求出压力分布求出速度势后得到速度,代入拉格朗日积分求出压力分布p。理想不可压缩流体,重力有势,其基本方程组为理想不可压缩流体,重力有势,其基本方程组为初始条件是初始条件是t=t0时时边界条件为边界条件为6.2 二维无旋运动二维无旋运动v 真实流体是有粘性的流体,而粘性流体都是有旋的。真实流体是有粘性的流体,而粘性流体都是有旋的。在实际中,许多粘性流体的流动可以简化成理想的无在实际中,许多粘性流体的流动可以简化成理想的无旋运动。旋运动。v在数学上,处理无旋运动比有旋运动简单得多,可在数学上,处理无旋运动比有旋运动简单得多,可以通过求解线性运动方程决定速度分布,再由伯努利以通过求解
10、线性运动方程决定速度分布,再由伯努利积分决定压力。积分决定压力。v流函数和速度势函数是求解二维无旋问题的重要数流函数和速度势函数是求解二维无旋问题的重要数学工具。学工具。流函数的定义流函数的定义流体运动时各有关物理量在空间流体运动时各有关物理量在空间的分布仅依赖于两个坐标来确定的分布仅依赖于两个坐标来确定二维运动二维运动 ddxyxyuudd0 xyuyux0yxuuxyyxuuxy 如果流体质点的运动速度如果流体质点的运动速度都都与已知的与已知的x-y平面平行,且平面平行,且所有所有平面上的流动情况都相同,则二维流动的流线方程为平面上的流动情况都相同,则二维流动的流线方程为或或连续性方程连续
11、性方程为为或或全微分条件全微分条件 必然存在一个函数,使必然存在一个函数,使 流线是等流函数线,给予不同的常数可以得到一簇流流线是等流函数线,给予不同的常数可以得到一簇流线。通常将与流体接触的壁面视为零流线。线。通常将与流体接触的壁面视为零流线。这称为流函数,上式可得到流函数的定义式为这称为流函数,上式可得到流函数的定义式为当当 时,可得时,可得d0表示穿过表示穿过 M0 至至 M 连线的流量,连线的流量,它与连线路径无关,在起点它与连线路径无关,在起点 M0 确定的情况下是终点确定的情况下是终点 M 的坐标的坐标的函数。的函数。(,)dd(,)(,)x yuxuyyxMxyM x y000
12、根据定义确定流函数时选根据定义确定流函数时选取不同的起点取不同的起点 M0,流函数,流函数将相差一个常数,但同样不将相差一个常数,但同样不会影响对流场的描述。会影响对流场的描述。M0M 对于不可压流对于不可压流体的平面流动是体的平面流动是容易理解的,而容易理解的,而三维流动就得不三维流动就得不到这样的结论。到这样的结论。两点流函数两点流函数的差表示穿过的差表示穿过两点间任意连两点间任意连线的流量。线的流量。(常数)(常数)C不可压流体平面流动的流线方程不可压流体平面流动的流线方程 表示有流量表示有流量自自M1M2连线左连线左侧流进右侧,侧流进右侧,由此可确定流由此可确定流动方向。动方向。0)(
13、)(1212CCMM如图中所示如图中所示,若若M1M22C1C画出穿过微元弧长的流量示意图,可以帮助记忆流函数定义。画出穿过微元弧长的流量示意图,可以帮助记忆流函数定义。在直角坐在直角坐标系中标系中rururdddrurur,1xuyuyx,xuyuyxdddyuxddxuydxdyd在极坐在极坐标系中标系中ddrurru drddr流函数与流量的关系流函数与流量的关系ddnQul 在流体作二维运动的流场中,用任意曲线将两点连接在流体作二维运动的流场中,用任意曲线将两点连接起来,某时刻通过该曲线上的微元线段起来,某时刻通过该曲线上的微元线段dl的流量为的流量为un是微元线是微元线段上段上M点出
14、点出的法向速度的法向速度于是于是dddddddddyxQlxyylxlxycos(,)cos(,)nxyuun xun ydcos(,)cos(,)dxyQun xun yl结合流函数的定义式可得结合流函数的定义式可得dBBAAQ 上式表明单位时间内通过曲线微元上的流量等于流函数的上式表明单位时间内通过曲线微元上的流量等于流函数的微分。沿曲线积分,得到流经任意微分。沿曲线积分,得到流经任意线段线段AB的的流量流量 可知,流经任意曲线可知,流经任意曲线AB的流量等于该曲线两个端点的流量等于该曲线两个端点上的流函数之差,上的流函数之差,与曲线的形状无关。与曲线的形状无关。流函数方程流函数方程 已知
15、流函数可以求得任意二维流场的速度场,流已知流函数可以求得任意二维流场的速度场,流体在体在x-y平面内作有旋运动,旋转角速度不为零,有平面内作有旋运动,旋转角速度不为零,有2222zxy 22220 xy将流函数的定义式代入上式,得将流函数的定义式代入上式,得 流体在流体在x-y平面内作无旋运动,旋转角速度为零,平面内作无旋运动,旋转角速度为零,有有流体二维流动引入流函数,可以通过改写方程减少未知量,流体二维流动引入流函数,可以通过改写方程减少未知量,使计算简便。因此广泛使用流函数表示流体的流动。使计算简便。因此广泛使用流函数表示流体的流动。无论是无旋运动还是有旋运动,只要流体作二维运动,都无论
16、是无旋运动还是有旋运动,只要流体作二维运动,都可以采用流函数的概念。可以采用流函数的概念。如果流体运动无旋,其旋度为零。如果流体运动无旋,其旋度为零。这是全微分方程的充要条件,必然存在一个函数全微分为这是全微分方程的充要条件,必然存在一个函数全微分为 这称为速度势函数。可知速度势的方向导数是速度。速度势有类这称为速度势函数。可知速度势的方向导数是速度。速度势有类似力势的特性,即与起点位置无关,只决定于两点之间的势差。似力势的特性,即与起点位置无关,只决定于两点之间的势差。无旋运动无旋运动或或比较上两式得到速度分量和函数之间的关系比较上两式得到速度分量和函数之间的关系),(),(),(),(),
17、(),(000000000ddd),(zyxzyxzzyxzyxyzyxzyxxzuyuxuzyxM0M1),(zyx),(000zyx),(00zyx),(0zyxOyxz速度势函数速度势函数的求法(一)的求法(一)与路径无关,与路径无关,可选一条简便的可选一条简便的路径计算。路径计算。MM0dlu 起点不同,速起点不同,速度势相差一个常度势相差一个常数,不会影响对数,不会影响对流场的描述。流场的描述。速度势函数速度势函数的求法(二)的求法(二)寻找全微分,寻找全微分,确定速度势确定速度势),(1zyf),(d1zyfxuxyzuyuzxux 要按照定义要按照定义求速度势,不求速度势,不要误
18、认为做三要误认为做三个独立的不定个独立的不定积分。积分。给出流场,给出流场,求解速度势,求解速度势,要先检查流场要先检查流场是否无旋。是否无旋。zuyuxuzyxdddd代入代入确定确定例例已知已知速度场速度场0,6,3322zyxubxyubybxu 此 流 动 是此 流 动 是不可压缩流体的不可压缩流体的平面势流,并求平面势流,并求速度势函数。速度势函数。求证求证由由066bxbxzuyuxuzyxbyxuyuyx6)(3)(d)33(2322yfbxybxyfxbybxbxyuyy60)(yfCyf)(知知yxyxxyxxybxyxbxyuxuyx002),()0,()0,()0,0(d
19、6d3dd),(Cbxybx233ybxyxbybxyuxuyxyxd6d)33(dd),(22Cbxybxybx22333按定义求按定义求按三个不定积分求按三个不定积分求ddddrururlu0)(2222222zyxu满足拉普拉斯方程的函数称为调和函数。满足拉普拉斯方程的函数称为调和函数。极坐标中速度势函数的微分为极坐标中速度势函数的微分为 不可压流体无旋流动的速不可压流体无旋流动的速度势函数满足拉普拉斯方程。度势函数满足拉普拉斯方程。dldrxyrddrururr1,例例已知已知速度场速度场0,2urqur 此流动是不此流动是不可压缩流体的平可压缩流体的平面势流,并求速面势流,并求速度势
20、函数。度势函数。求证求证22222,2yxyquyxxquyx0 xuyuyxCrqln20yuxuyxrrqrururd2dddr=0 奇点奇点已知已知速度场速度场ruur2,0例例 此流动是不此流动是不可压缩流体的平可压缩流体的平面势流,并求速面势流,并求速度势函数。度势函数。求证求证22222,2yxxuyxyuyxCxyCtanArc220 xuyuyx0yuxuyxd2dddrururr=0 奇点奇点 以上速度势函数和流函数的关系是在不可压缩流以上速度势函数和流函数的关系是在不可压缩流体平面无旋流动的条件下建立的。体平面无旋流动的条件下建立的。v在不可压缩流体在不可压缩流体平面有旋流
21、动中就平面有旋流动中就只有流函数,没有只有流函数,没有速度势。速度势。v在不可压缩流体在不可压缩流体三维无旋流动中就三维无旋流动中就只有速度势,没有只有速度势,没有流函数。流函数。注意注意如不可压缩流体平面流动的流函数如不可压缩流体平面流动的流函数22yxx 流动有旋,不存在速度势。流动有旋,不存在速度势。12,2xuyuyx求流函数求流函数求速度势求速度势查是否平查是否平面不可压面不可压查是否查是否无旋无旋二维无旋运动二维无旋运动 比较速度势和流函数的定义式,可以得到流体作二维比较速度势和流函数的定义式,可以得到流体作二维无旋运动时的势函数和流函数的关系无旋运动时的势函数和流函数的关系 势函
22、数等于常数时可以得到等势线,在等势线上速度势函数等于常数时可以得到等势线,在等势线上速度势的数值是一定的。流函数等于常数可以得到流线。势的数值是一定的。流函数等于常数可以得到流线。联系两者的关系称为哥西联系两者的关系称为哥西-黎曼条件。可以证明流线黎曼条件。可以证明流线和等势线正交,因为和等势线正交,因为将速度势的定义式代入不可压缩流体的连续性方程得将速度势的定义式代入不可压缩流体的连续性方程得上式称为拉普拉斯方程。它是线性方程,两个解的和或差上式称为拉普拉斯方程。它是线性方程,两个解的和或差也是原方程的解,因此复杂流场的解可以由一些简单流场的也是原方程的解,因此复杂流场的解可以由一些简单流场
23、的解叠加而得到。解叠加而得到。求解拉普拉斯方程关键在于求得给定的边界条件下的特解,求解拉普拉斯方程关键在于求得给定的边界条件下的特解,得到势函数,从而确定速度场。得到势函数,从而确定速度场。在固壁上,势函数应满足的边界条件是法向速度为零。对在固壁上,势函数应满足的边界条件是法向速度为零。对于用流函数表示的绕流问题,要求零流线与物体壁面重合。于用流函数表示的绕流问题,要求零流线与物体壁面重合。势流基本方程势流基本方程6.3 基本无旋流基本无旋流 均匀流、径向流和环流等基本无旋流,可以作为均匀流、径向流和环流等基本无旋流,可以作为叠加求解复杂无旋运动问题的基本数学单元。叠加求解复杂无旋运动问题的基
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