2018年6月广西壮族自治区普通高中学业水平考试数学试题+答案+全解全析.doc

1、 2018 年年 6 月广西壮族自治区普通高中学业水平考试月广西壮族自治区普通高中学业水平考试 数数 学学 一一 选择题选择题 1.已知集合0,1,2A ，则（ ） A. 0A B. 1A C. 2A D. 3A 2. 2 的角度数是（ ） A. 30 B. 60 C. 90 D. 100 3.某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ） A. 圆锥 B. 圆柱 C. 棱柱 D. 棱锥 4.已知是虚数单位，那么(3)(1 2 )ii（ ） A. 23i B. 4 i C. 42i D. 43i 5.在平面直角坐标系中，指数函数2xy 的大致图象是（ ） A. B. C. D. 6.圆 22 (

2、1)(2)1xy的半径长等于（ ） A. 2 B. 3 C. 2 D. 1 7.已知向量(2,1)a ，(0,2)b，则ab（ ） A. (2,3) B. (0,2) C. (0,3) D. (2,6) 8.在程序框图中，下列图形符号表示流程线是（ ） A. B. C. D. 9.在平面直角坐标系中，不等式y x 表示的平面区域是（ ） A. B. C. D. 10.下列函数中，是对数函数的是（ ） A. 2 logyx B. 1yx C. sinyx D. 2 yx= 11.一商店为了研究气温对某冷饮销售的影响，对出售的冷饮杯数 y（杯）和当天最高气温 x（）的数据进 行了统计，得到了回归直

3、线方程1.0412yx.据此预测:最高气温为 30时，当天出售的冷饮杯数大约是 （ ） A. 33 B. 43 C. 53 D. 63 12.直线 30xy与直线10xy 的交点坐标是（ ） A. (3,5) B. ( 1,2) C. (53)， D. (4,5) 13.直线 21yx的斜率等于（ ） A. -4 B. 2 C. 3 D. 4 14.“同位角相等”是“两直线平行”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 15.已知函数 3 ( )2f xxx，那么 (2)f（ ） A. 20 B. 12 C. 3 D. 1 16.已知

4、函数 sin 2(0) 3 yAxA 的部分图象如图所示，那么 A=（ ） A. 6 B. 3 C. 1 D. 2 17.在ABC中，已知角 A，B，C的对边分别为 a，b，c.若 1a ，2c ，30A，则角 C=（ ） A 15 B. 45 C. 75 D. 90 18.已知函数 ( )yf x 的图象如图所示，那么方程( )0f x 在区间( , ) a b内的根的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 19.椭圆 22 1 259 xy 的两个焦点的坐标分别为（ ） A. (5,3)，(3,5) B. (5, 3)，(5,3) C. ( 4,0)，(4,0) D. (3,

5、 5)，(3,5) 20.已知 3 cos 2 ，且0，那么sin2（ ） A. 1 2 B. 2 2 C. 3 2 D. 1 二二 填空题填空题 21.如图，都是由小正方形组成图案，照此规律，图案中的小正方形个数为_. 22.在ABC中，ABa ，AC b ， 若 0a b ， 则ABC是_三角形 （填“钝角”“直角”或“锐角”） 23.等比数列 1，2，4，8，的公比 q=_. 24.如图是正方形及其内切圆，向正方形内随机撒一粒“豆子”，它落到阴影部分的概率是_. 25.函数 2 ( )21f xxx在区间0,3上的最大值是_. 26.设双曲线 C: 2 2 1 3 y x 的左右焦点分别

6、为 1 F 2 F， P是双曲线 C右支上一点， 若 2 5PF ， 则 12 PFF 的面积为_. 三三 解答题解答题 27.在我国，9为数字之极，寓意尊贵吉祥长久恒远，所以在许多建筑中包含了与 9 相关的设计.某小区拟修 建一个地面由扇环形的石板铺成的休闲广场（如图） ，广场中心是一圆形喷泉，围绕它的第一圈需要 9块石 板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多 9 块，共有 9 圈.问:修建这个广场共需要多少块扇环形石板? 28.某商场在“五一”促销活动中，为了了解消费额在 5 千元以下（含 5千元）顾客的消费分布情况，从这 些顾客中随机抽取了 100位顾客的消费数据（单位:千元） ，按(0,1

7、)，1,2)，2,3)，3,4)，4,5分成 5组， 制成了如图所示的频率分布直方图现采用分层抽样的方法从(0,1)和2,3)两组顾客中抽取 4人进行满意度调 查，再从这 4人中随机抽取 2人作为幸运顾客，求所抽取的 2 位幸运顾客都来自2,3)组的概率. 29.在三棱柱 111 ABCABC中，已知底面ABC是等边三角形， 1 AA 底面ABC，D是BC的中点. (1)求证: 1 ADBC; (2)设 1 2AAAB，求三棱锥 11 BADC的体积. (参考公式:锥体体积公式 1 3 VSh，其中S为底面面积，h为高.) 30.已知函数( ) x f xxe，其中2.71828e为自然对数的

8、底数. （1）求曲线( )yf x在点(1,(1)f处的切线方程； （2）证明:( )ln1f xx. 2018 年年 6 月广西壮族自治区普通高中学业水平考试月广西壮族自治区普通高中学业水平考试 数数 学学 一一 选择题选择题 1.已知集合0,1,2A ，则（ ） A. 0A B. 1A C. 2A D. 3A 【答案】A 【分析】 根据元素和集合的关系得到答案. 【详解】0,1,2A ，则0A，1A，2A，3A. 故选：A. 【点睛】本题考查了元素和集合的关系，属于简单题. 2. 2 的角度数是（ ） A. 30 B. 60 C. 90 D. 100 【答案】C 【分析】 根据弧度制和角度

9、制转化公式得到答案. 【详解】90 2 . 故选：C. 【点睛】本题考查了弧度制和角度制的转化，属于简单题. 3.某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ） A. 圆锥 B. 圆柱 C. 棱柱 D. 棱锥 【答案】B 【分析】 根据三视图直接得到答案. 【详解】根据三视图知：几何体为圆柱. 故选：B 【点睛】本题考查了三视图，意在考查学生的空间想象能力. 4.已知是虚数单位，那么(3)(1 2 )ii（ ） A. 23i B. 4 i C. 42i D. 43i 【答案】D 【分析】 直接利用复数加法运算得到答案. 【详解】(3)(12 )43iii. 故选：D. 【点睛】本题考查了复数的运

10、算，意在考查学生的计算能力. 5.在平面直角坐标系中，指数函数2xy 的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】 根据指数函数2xy 的单调性得到答案. 【详解】指数函数2xy ，单调递增，过点0,1. 故选：A. 【点睛】本题考查了函数图像的识别，意在考查学生的理解能力. 6.圆 22 (1)(2)1xy的半径长等于（ ） A. 2 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】D 【分析】 直接根据圆的标准方程得到答案. 【详解】圆 222 (1)(2)1xyr ，故半径长为1. 故选：D. 【点睛】本题考查了圆的半径，属于简单题. 7.已知向量(2,1)a ，(0,2)b，

11、则ab（ ） A. (2,3) B. (0,2) C. (0,3) D. (2,6) 【答案】A 【分析】 直接根据向量的坐标运算得到答案. 【详解】向量(2,1)a ，(0,2)b，则2,3ab. 故选：A. 【点睛】本题考查了向量的坐标运算，属于简单题. 8.在程序框图中，下列图形符号表示流程线的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】 直接根据程序框图的图形符号得到答案. 【详解】根据程序框图的图形符号知：箭头表示流程线. 故选：C. 【点睛】本题考查了程序框图的图形符号，属于基础题. 9.在平面直角坐标系中，不等式y x 表示的平面区域是（ ） A. B. C. D. 【

12、答案】A 【分析】 yx 表示直线y x 的左上部分，对比图像得到答案. 【详解】y x 表示的直线y x 的左上部分. 故选：A. 【点睛】本题考查了不等式表示的平面区域，意在考查学生的理解能力. 10.下列函数中，是对数函数的是（ ） A. 2 logyx B. 1yx C. sinyx D. 2 yx= 【答案】A 【分析】 根据对数函数的定义直接得到答案. 【详解】A. 2 logyx是对数函数；B. 1yx是一次函数；C. sinyx是正弦函数；D. 2 yx=是二次 函数. 故选：A. 点睛】本题考查了对数函数定义，属于简单题. 11.一商店为了研究气温对某冷饮销售的影响，对出售的

13、冷饮杯数 y（杯）和当天最高气温 x（）的数据进 行了统计，得到了回归直线方程1.0412yx.据此预测:最高气温为 30时，当天出售的冷饮杯数大约是 （ ） A. 33 B. 43 C. 53 D. 63 【答案】B 【分析】将30x 代入回归方程计算得到答案. 【详解】当30x 时，1.04121.04 30 1243.243yx. 故选：B. 【点睛】本题考查了回归方程，意在考查学生的应用能力. 12.直线 30xy与直线10xy 的交点坐标是（ ） A. (3,5) B. ( 1,2) C. (53)， D. (4,5) 【答案】B 【分析】直接联立方程得到答案. 【详解】 30 10

14、 xy xy ，解得 1 2 x y ，故交点为( 1,2). 故选：B. 【点睛】本题考查了直线的交点，意在考查学生的计算能力. 13.直线 21yx的斜率等于（ ） A. -4 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 分析】直接根据直线的斜截式方程得到答案. 【详解】21yxkxb ，故2k . 故选：B. 【点睛】本题考查了直线的斜率，属于简单题. 14.“同位角相等”是“两直线平行”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】分别判断充分性和必要性得到答案. 【详解】同位角相等，则两直线平行，故充分性；两直

15、线平行，则同位角相等，必要性； 故选：C 【点睛】本题考查了充要条件，意在考查学生的推断能力. 15.已知函数 3 ( )2f xxx，那么 (2)f（ ） A. 20 B. 12 C. 3 D. 1 【答案】B 【分析】直接代入数据计算得到答案. 【详解】 3 ( )2f xxx，则 3 (2)22 212f . 故选：B. 【点睛】本题考查了求函数值，意在考查学生的计算能力. 16.已知函数 sin 2(0) 3 yAxA 部分图象如图所示，那么 A=（ ） A. 6 B. 3 C. 1 D. 2 【答案】D 【分析】根据函数图像得到函数的最大值为2，得到答案. 【详解】根据函数图像知：函

16、数最大值为2，故2A. 故选：D. 【点睛】本题考查了三角函数图像求参数，意在考查学生对于图像的识别能力. 17.在ABC中，已知角 A，B，C的对边分别为 a，b，c.若 1a ，2c ，30A，则角 C=（ ） A. 15 B. 45 C. 75 D. 90 【答案】D 【分析】直接利用正弦定理计算得到答案. 【详解】根据正弦定理： sinsin ac AC ，即 12 1 sin 2 C ，故sin1C ，90C . 故选：D. 【点睛】本题考查了正弦定理求角度，意在考查学生的计算能力. 18.已知函数 ( )yf x的图象如图所示，那么方程( )0f x 在区间( , )a b内的根的

17、个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【分析】直接根据图像得到答案. 【详解】根据图像知：方程( )0f x 在区间( , ) a b内的根的个数为3. 故选：B. 【点睛】本题考查了根据函数图像求方程解的个数，意在考查学生的图像理解能力. 19.椭圆 22 1 259 xy 的两个焦点的坐标分别为（ ） A. (5,3)，(3,5) B. (5, 3)，(5,3) C. ( 4,0)，(4,0) D. (3, 5)，(3,5) 【答案】C 【分析】直接求椭圆焦点得到答案. 【详解】椭圆 22 1 259 xy 的焦点的坐标为 4,0 . 故选：C. 【点睛】本题考

18、查了椭圆的焦点坐标，意在考查学生的计算能力. 20.已知 3 cos 2 ，且0，那么sin2（ ） A. 1 2 B. 2 2 C. 3 2 D. 1 【答案】C 【分析】计算得到 6 ，代入sin2计算得到答案. 【详解】 3 cos 2 ，且0，则 6 ， 3 sin2sin 32 . 故选：C. 【点睛】本题考查了三角函数值的计算，意在考查学生的计算能力. 二二 填空题填空题 21.如图，都是由小正方形组成的图案，照此规律，图案中的小正方形个数为_. 【答案】25 【分析】根据图形的规律得到答案. 【详解】第一个图像有小正方形 2 1个，第二个图像有小正方形 2 2 个，第三个图像有小

19、正方形 2 3个， 第四个图像有小正方形 2 4 个，故第五个图像有小正方形 2 525个. 故答案为：25. 【点睛】本题考查了归纳推理，意在考查学生的推理能力. 22.在ABC中，ABa ，AC b ， 若 0a b ， 则ABC是_三角形 （填“钝角”“直角”或“锐角”） 【答案】直角 【分析】根据向量垂直得到ABAC，得到答案. 【详解】 0a b ，故ab，故ABAC，故为直角三角形. 故答案为：直角. 【点睛】本题考查了根据向量垂直判断三角形形状，意在考查学生的应用能力. 23.等比数列 1，2，4，8，的公比 q=_. 【答案】2 【分析】直接根据等比数列的定义得到答案. 【详解

20、】等比数列 1，2，4，8，的公比 2 2 1 q . 故答案为：2. 【点睛】本题考查了等比数列的公比，属于简单题. 24.如图是正方形及其内切圆，向正方形内随机撒一粒“豆子”，它落到阴影部分的概率是_. 【答案】 4 【分析】直接根据几何概型公式得到答案. 【详解】设圆半径为r，则正方形边长为2r， 2 1 2 2 4 2 Sr p S r . 故答案为： 4 . 【点睛】本题考查了几何概型，意在考查学生的应用能力. 25.函数 2 ( )21f xxx在区间0,3上的最大值是_. 【答案】2 【分析】化简得到 2 ( )12f xx，计算 01f， 32f得到答案. 【详解】 2 2 (

21、 )2112f xxxx ，函数对称轴为1x ， 01f， 32f. 故函数的最大值为 32f. 故答案为：2. 【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，意在考查学生对于二次函数性质的灵活运用. 26.设双曲线 C: 2 2 1 3 y x 的左右焦点分别为 1 F 2 F， P是双曲线 C右支上一点， 若 2 5PF ， 则 12 PFF 的面积为_. 【答案】4 6 【分析】根据余弦定理得到 21 1 cos 5 PF F ，再利用面积公式计算得到答案. 【详解】双曲线 C: 2 2 1 3 y x ，则 12 22PFPFa， 2 5PF ，故 1 7PF . 12 22 1 34FFc.

22、 根据余弦定理： 222 21 5471 cos 2 5 45 PF F ，故 21 2 6 sin 5 PF F . 则 1 2 12221 1 sin4 6 2 PF F SFFF PPF F . 故答案为：4 6. 【点睛】本题考查了双曲线内的面积问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 三三 解答题解答题 27.在我国，9为数字之极，寓意尊贵吉祥长久恒远，所以在许多建筑中包含了与 9 相关的设计.某小区拟修 建一个地面由扇环形的石板铺成的休闲广场（如图） ，广场中心是一圆形喷泉，围绕它的第一圈需要 9块石 板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多 9 块，共有 9 圈.问:修建这个广场共

23、需要多少块扇环形石板? 【答案】405块 【分析】设从第 1圈到第 9 圈石板数所构成的数列为 n a， n a是等差数列，求和得到答案. 【详解】设从第 1圈到第 9 圈石板数所构成的数列为 n a，由题意知， n a是等差数列， 其中 1 9a ，公差9d . 9 9(9 1) 981a ， 数列 n a的前 9 项和 19 9 9 2 aa S (981) 9 405 2 . 【点睛】本题考查了等差数列求和，意在考查学生的应用能力. 28.某商场在“五一”促销活动中，为了了解消费额在 5 千元以下（含 5千元）的顾客的消费分布情况，从这 些顾客中随机抽取了 100位顾客的消费数据（单位:

24、千元） ，按(0,1)，1,2)，2,3)，3,4)，4,5分成 5组， 制成了如图所示的频率分布直方图现采用分层抽样的方法从(0,1)和2,3)两组顾客中抽取 4人进行满意度调 查，再从这 4人中随机抽取 2人作为幸运顾客，求所抽取的 2 位幸运顾客都来自2,3)组的概率. 【答案】 1 2 【分析】从(0,1)组抽取 1 人，记为 A；从2,3)组抽取 3人，分别记为 1 B， 2 B， 3 B.列出所有情况，统计满 足条件的情况，相除得到答案. 【详解】根据题意，(0,1)组的顾客有100 0.1010人， 2,3)组的顾客有100 0.3030人. 用分层抽样的方法从两组顾客中抽取 4

25、人，则从(0,1)组抽取 1 人，记为 A； 从2,3)组抽取 3 人，分别记为 1 B， 2 B， 3 B. 于是，从这 4人中随机抽取 2人的所有可能结果为 1 AB， 2 AB， 3 AB， 12 B B， 13 B B， 23 B B共 6 种. 设所抽取的 2人都来自2,3)组为事件 C，所包含的结果为 12 B B， 13 B B， 23 B B共 3 种. 因此，所抽取的 2位幸运顾客都来自2,3)组的概率 31 ( ) 62 P C . 【点睛】本题考查了频率分布直方图，分层抽样，概率的计算，意在考查学生的综合应用能力. 29.在三棱柱 111 ABCABC中，已知底面ABC是

26、等边三角形， 1 AA 底面ABC，D是BC的中点. (1)求证: 1 ADBC; (2)设 1 2AAAB，求三棱锥 11 BADC的体积. (参考公式:锥体体积公式 1 3 VSh，其中S为底面面积，h为高.) 【答案】 （1）证明见解析； （2） 2 3 3 【分析】 （1）通过证明AD 平面 11 BCC B得证线线垂直； （2）由锥柱体积公式计算 【详解】 （1）因为D是BC中点，ABC是等边三角形，所以ADBC， 又 11 / /BBAA， 1 AA 平面ABC，所以 1 BB 平面ABC， 因为AD 平面ABC，所以 1 BBAD，又 1 BBBCB， 所以AD 平面 11 BC

27、C B， 1 BC 平面 11 BCC B，所以 1 ADBC； （2）因为 1 2AAAB，所以 22 213AD =-= ， 1 11 1 11 2 22 22 B C DBCC B SS ， 111111 112 3 23 333 BADCA B DCB DC VVSAD 【点睛】本题考查用线面垂直的性质定理证明线线垂直，考查求棱锥的体积立体几何证明中只要把定理 需要的条件都列举出来（有些需要证明） ，就可得出相应的结论 30.已知函数( ) x f xxe，其中2.71828e为自然对数的底数. （1）求曲线( )yf x在点(1,(1)f处的切线方程； （2）证明:( )ln1f x

28、x. 【答案】 （1）20exye； （2）证明见解析 【分析】 （1）求导得到( )1 x xefx，计算 12fe， 1fe，得到答案. （2）分别证明 x xex和ln1xx得到答案. 【详解】 （1）( ) x f xxe，则( )1 xxx xexfxee，则 12fe， 1fe. 故切线方程为：21ye xe，即20exye. （2）当0x时，易知e1 x ，故 x xex； 现在证明：当0x时，ln1xx，设 ln1g xxx，则 11 1 x gx xx . 故当1x 时，函数单调递增，当01x，函数单调递减. 故 min 10g xg， 0g x 恒成立，故ln1xx恒成立. 故ln1 x xexx，即 ( )ln1f xx，得证. 【点睛】本题考查了切线问题，利用导数证明不等式，意在考查学生的综合应用能力.