第四章稳定性分析-Nyquist稳定性判据(4-3)B课件.ppt

1、1 第四节第四节 Nyquist 稳定性判据稳定性判据基本思想：基本思想：利用系统的开环频率特性判别闭 环系统的稳定性。复习复习2 一、预备知识一、预备知识幅角定理幅角定理 幅角定理：幅角定理：F(s)是s的单值有理函数，在s平面上任一闭合路径包围了F(s)的Z个零点和P个极点，并且不经过F(s)的任一零点和极点，则当s沿闭合路径顺时针顺时针方向旋转一圈时，映射到F(s)平面内的F(s)曲线顺时针绕原顺时针绕原点（点（Z P）圈）圈。即 N=Z-PN=Z-P （或逆时针逆时针绕原点N=P-Z圈）其中：N为圈数 逆时针为正，顺时针为负。3二、奈魁斯特稳定性判据二、奈魁斯特稳定性判据1、线性系统的

2、特征方程、线性系统的特征方程运动方程一般形式：r(t)输入 c(t)输出特征方程系统传递函数系统结构为：比较得到闭环系统的特征方程（闭环传递函数的分母0）c(t)adtdc(t)adtc(t)dadtc(t)da011-n1-n1-n1-nnnnnr(t)bdtdr(t)bdtr(t)dbdtr(t)db011-m1-m1-m1-mmmmm+_ _()R s()C s()H s()B s()E s()G sG(s)H(s)1G(s)R(s)C(s)011n1nnn011m1mmmasasasabsbsbsbR(s)C(s)0asasasa011n1nnn0asasasaG(s)H(s)1F(s

3、)011n1nnn4 2 2奈氏路径奈氏路径 令：令：顺时针方向顺时针方向包围整个s右半平面。当F(s)有若干个极点处于s平面虚轴（包括原点）上时，则以这些点为圆心，作半径为无穷小的半圆，按逆时针逆时针方向方向从右从右侧绕过侧绕过这些点。jj1j1j()F s的极点Rj 0j0js平面jjjjjs005 3.3.奈氏判据奈氏判据 设：闭环系统特征多项式 显然显然：F(s)的的零点零点就是闭环系统的就是闭环系统的极点极点。(1)(1)1 1G(S)H(S)G(S)H(S)平面上的系统稳定性分析平面上的系统稳定性分析 假如s沿着奈氏路径绕一圈，根据幅角定理，F(s)平面上绘制的F(s)曲线F 逆时

4、针逆时针方向绕原点原点的圈数N则为F(s)在s右半开平面内极点个数P与的零点个数Z之差：N=P-Z 当Z=0 即（N=P）时，说明系统闭环传递函数无极点在 s 右半开平面，系统是稳定的；反之，系统则是不稳定的。sHsGSF16（2 2）G(s)H(s)G(s)H(s)平面上的系统稳定性分析平面上的系统稳定性分析-奈氏判据奈氏判据 因为1+G(s)H(s)与G(s)H(s)之间相差1，所以系统的稳定性可表达成：奈氏判据：闭环系统稳定的充要条件：奈氏判据：闭环系统稳定的充要条件：s s沿着奈氏路径绕一沿着奈氏路径绕一圈，圈，G(j)H(jG(j)H(j)曲线逆时针绕（曲线逆时针绕（-1-1，j0j

5、0）点的点的P P圈圈（N=P）。P P为为G(s)H(s)G(s)H(s)位于位于s s右半平面的极点数。右半平面的极点数。a.若P=0，且 N=0，即曲线不包围（-1，j0）点，则闭环系 统稳定；b.若P0，且N=P，即曲线逆时针绕（-1，j0）点P圈，则闭 环系统稳定，否则是不稳定系统。不稳定系统分布在s右半平面极点的个数可按下式求取：Z=PN c.若曲线通过（-1，j0）点L次，则说明闭环系统有L个极点 分布在s平面的虚轴上。7例例:一系统开环传递函数为：试判别系统的稳定性。解：解：本系统的开环频率特性 当 变化时，系统的幅相曲线如图所示。因为系统有一个开环极点位于s的右半平面，即：P

6、=1。图中奈氏曲线是逆时针方向逆时针方向绕（-1，j0）点的1圈，即 N=1。根据奈氏判据,闭环系统在s右半平面极点数 Z=P-N=1-1=0 所以系统稳定。0)a (1)()(sasHsG1)()(jajHjGjjjj00210 ReIm8 绘绘画乃氏曲线过程中：画乃氏曲线过程中：当s从-j0转到+j0时，G(s)H(s)的奈氏曲线以半径为无穷大，顺时针转过 。当 s 沿奈氏曲线从+j到-j时，对nm的系统，G(s)H(s)的奈魁斯特氏曲线以无穷小半径，绕原点逆时针转过（n-m）。9例：例：一系统的开环传递函数为：试判断系统的稳定性 解：解：先作+j 0到+j时的G(j)H(j)曲线。再根据

7、对称性，作出-j 0到-j时的G(j)H(j)曲线。0)k ()1()1()()(1sssKsHsG )1()1()()(1jjjKjHjGImRe2K1 01001K10 当 时，s从-j0转到+j0，G(j)H(j)曲线以半径为无穷大，顺时针转过角（图中虚线）。并可求得，=1时，G(j)H(j)与实轴交 。从图可见，G(s)H(s)的奈氏曲线顺时针绕(-1,j0)点一圈，N=-1，又因为P=0，所以 Z=P-N=1，说明为不稳定系统，有一个闭环极点在s的右半平面。11KImRe2K101001K11 3 3。一种简易的奈氏判据。一种简易的奈氏判据 （1）正、负穿越的概念 G(j)H(j)曲

8、线对称实轴。应用中只画 部分。所谓“穿越”是指 轨迹穿过 段。正穿越正穿越：从上而下穿过该段一次（相角增加），用 表示。负穿越：负穿越：由下而上穿过该段一次（相角减少），用 表示。正穿越正穿越 负穿越负穿越N 0N),1(122N1N13 若G(j)H(j)轨迹起始或终止于(-1,j0)以左的负轴上，则穿越次数为半次，且同样有+1/2 次穿越和-1/2次穿越。14 如果G(j)H(j)按逆时针方向铙(-1,j0)一周，则必正穿越一次。反之，若按顺时针方向包围点(-1,j0)一周，则必负穿越一次。这种正负穿越之和即为G(j)H(j)包围的圈数。故奈氏判据奈氏判据又可表述为：闭环系统稳定的充要条件

9、是：当闭环系统稳定的充要条件是：当 由由0变化到变化到 时，时，G(j)H(j)曲线在（曲线在（-1，j0）点以左的负实轴点以左的负实轴 上的正负穿越之和为上的正负穿越之和为 P/2 圈。圈。P为开环传递函数在s右半平面的极点数。此时 Z=P-2N 若开环传递函数无极点分布在S右半平面，即 ，则闭环系统稳定的充要条件应该是闭环系统稳定的充要条件应该是N=0：注意：这里对应的变化范围是 。00P15 例例:某系统G(j)H(j)轨迹如下，已知有2个开环极点分布在s的右半平面，试判别系统的稳定性。解解：系统有2个开环极点分布在s的右半平面（P=2），G(j)H(j)轨迹在点(-1,j0)以左的负实

10、轴有2次正穿越，1次负穿越，因为：N=,求得：Z=P-2N=2-2=0 所以系统是稳定系统。.112NN2P16 例例:两系统取一半奈氏曲线，试分析系统稳定性。解解:(a):N=N+-N=（0-1）=-1，且已知P=0，所以 Z=P-2N=2 系统不稳定。(b)：K1时，N=N+-N-=1-1/2=-1/2，且已知P=1，所以 Z=P-2N=0，闭环系统稳定；K0db时相频特性曲线自下而上（或自上而下）地穿越-180线。ImRe0(1,0)j()()GjHj()L()dB00c18 参照极坐标中奈氏判据的定义，对数坐标下的奈判据可表述如下：闭环系统稳定的充要条件是：当闭环系统稳定的充要条件是：

11、当 由由0变到变到 时，时，在开环对数幅频特性在开环对数幅频特性 的频段内，相频特性的频段内，相频特性 穿越的次数（正穿越穿越的次数（正穿越 与负穿越与负穿越 次数之差）次数之差）为为 。P为开环传递函数在s右半平面的极点数。若开环传递函数无极点分布在S右半平面，即 ，则闭环系统稳定的充要条件是：在闭环系统稳定的充要条件是：在 的频段内，的频段内，相频特性相频特性 在在 线上正负穿越次数代数和为零。或者不穿越 线。0)(L)(NN2P0P0)(L)(19例：某系统有两个开环极点在S右半平面（P=2）N+-N-=1-2=-1 不等于P/2（=1）所以，系统不稳定。)(L0)(2P20 人们常用系

12、统开环频率特性人们常用系统开环频率特性G(j)H(j)与与GH平面平面 上与（上与（-1，j0）点的靠近程度来表征闭环系统的稳定点的靠近程度来表征闭环系统的稳定程度。一般来说，程度。一般来说，G(j)H(j)离开（离开（-1，j0）点越远，点越远，则稳定程度越高；反之，稳定程度越低。则稳定程度越高；反之，稳定程度越低。一、相位裕量相位裕量 增益剪切频率增益剪切频率 ：是指开环频率特性：是指开环频率特性(j)H(j）的幅值等于的幅值等于1时的频率，即时的频率，即 在控制系统的增益剪切频率在控制系统的增益剪切频率c上，使闭环系统上，使闭环系统达到临界稳定状态所需附加的相移（超前或迟后相达到临界稳定

13、状态所需附加的相移（超前或迟后相移）量，称为系统的相位裕量，记作移）量，称为系统的相位裕量，记作。c1)()(ccjHjG21 （a）（b）相位裕量：=当0时，相位裕量为正，系统稳定；当0）上，开环频率特上，开环频率特性的倒数，称为控制系统的增量裕量，记作性的倒数，称为控制系统的增量裕量，记作Kg，即即以分贝表示时以分贝表示时 Kg大于大于1，则增益裕量为正值，系统稳定。，则增益裕量为正值，系统稳定。Kg小于小于1，则增益裕量为负值。系统不稳定。图中（，则增益裕量为负值。系统不稳定。图中（a）、(b)分别表示正的增益裕量和负的增益裕量。分别表示正的增益裕量和负的增益裕量。一般说来为了得到满意的性能，相位裕量应当在一般说来为了得到满意的性能，相位裕量应当在 30 60之间，而增益裕量应当大于之间，而增益裕量应当大于6dB。gggjHjG1K dBjHjG 20lg20lgKdBKgggg24252627