第四章-复变函数与积分变换课件.ppt
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- 第四 函数 积分 变换 课件
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1、复变函数与积分变换复变函数与积分变换一、复数列的极限一、复数列的极限二、复数项级数的概念二、复数项级数的概念.)(naxnlim=axnn,或或记为记为的的极限极限,恒成立恒成立,则称则称 Nn时,时,当当(无论有多小无论有多小),如果对于如果对于a是一个实数。是一个实数。是一个数列是一个数列,设设nx0,N a为数列为数列nx此时称数列此时称数列收敛收敛;若数列极限不存在称数列是发散的若数列极限不存在称数列是发散的.nxa 回忆:实数数列的极限回忆:实数数列的极限a nNa anxn数列极限的几何意义lim0,nnxaNnN=要要找找到到一一使使得得,有有,nxa naxa即即Na a a
2、越来越小,N越来越大!nxn一、复数列的极限一、复数列的极限1.1.定义定义 ,0 N自然数自然数若若 .0 zzNnn时,有时,有当当,0z收敛于收敛于记作记作0limzznn=,),2,1(其其中中为为一一复复数数列列设设=nzn,nnniyxz=,000为一确定的复数为一确定的复数又设又设iyxz=nz则称复数列则称复数列.)(0 nzzn或或.发散发散不收敛,则称不收敛,则称若数列若数列nnzz.0为极限为极限以以或称或称zzn2.复数列收敛的条件复数列收敛的条件 ),2,1(0的的充充要要条条件件是是收收敛敛于于复复数数列列定定理理znzn=,lim0zznn=如果如果,0 ,0 N
3、 则则 ,时时当当Nn ,)()(00 iyxiyxnn证证,)()(000 yyixxxxnnn从而有从而有.lim0 xxnn=.lim0yynn=所以所以同理同理.lim ,lim00yyxxnnnn=.2,200 yyxxnn反之反之,如果如果,lim,lim00yyxxnnnn=,时时那么当那么当Nn 从而有从而有)()(000iyxiyxzznnn =)()(00yyixxnn =该定理说明该定理说明:可将复数列的敛散性转化为判别两可将复数列的敛散性转化为判别两个实数列的敛散性个实数列的敛散性.lim 0zznn=所以所以证毕证毕,00 yyxxnnninenz)11()1(=因为
4、因为下列数列是否收敛下列数列是否收敛,如果收敛如果收敛,求出其极限求出其极限.;)11()1(ninenz =.sin)11(nnyn =,cos)11(nnxn=所以所以而而.0lim,1lim=nnnnyx解解 例例1 1),sin)(cos11(ninn =.cos)2(innzn=,收敛收敛数列数列.1lim=nnz且且)2(2)(cosnnneeninnz =由于由于,时时当当 n所以数列发散所以数列发散.,nz课堂练习课堂练习:下列数列是否收敛下列数列是否收敛?如果收敛如果收敛,求出其极限求出其极限.;11)1(ninizn =;1)1()2(=niznn.1)3(2innenz
5、=innnnzn2221211 =).(1 n发散发散2sin12cos1 nninnzn=).(0 n二、复数项级数的概念二、复数项级数的概念1.1.定义定义(1,2,)nnnzxiyn=nnnzzzz211表达式表达式称为复数项无穷级数称为复数项无穷级数.其最前面其最前面 n 项的和项的和nnzzzs =21称为级数的部分和称为级数的部分和.部分和部分和设设为一个复数列为一个复数列.收敛与发散收敛与发散,收敛收敛如果部分和数列如果部分和数列ns,1收敛收敛那么级数那么级数 =nnz.lim称称为为级级数数的的和和并并且且极极限限ssnn=说明说明:.lim ssnn=利用极限利用极限 与实
6、数项级数相同与实数项级数相同,判别复数项级数敛散判别复数项级数敛散性的基本方法是性的基本方法是:,不收敛不收敛如果部分和数列如果部分和数列ns .1发散发散那么级数那么级数 =nnz:,0 =nnz级数级数例如例如1-21nnzzzs =,1时时由于当由于当 z,)1(11 =zzznzzsnnnn =11limlim,11z=.1时级数收敛时级数收敛所以当所以当 z2.复数项级数收敛的条件复数项级数收敛的条件证证 =nkknkknkknyixzs111,nni =)(11收收敛敛的的充充要要条条件件是是级级数数 =nnnnniyxz .11都收敛都收敛和和 =nnnnyx定理定理收敛收敛 n
7、s都收敛都收敛和和 nn .11 =nnnnyx都收敛都收敛和和 1 =收收敛敛级级数数nnz说明说明 复数项级数的审敛问题复数项级数的审敛问题 实数项级数的审敛问题实数项级数的审敛问题(定理定理)则则例例2 2 1 112是否收敛?是否收敛?级数级数 =nnni解解 =1112)1(11nnnnnini,1 1发散发散级数级数因为因为 =nn.原原级级数数仍仍发发散散,1)1(1收敛收敛虽虽 =nnn =11nn =11)1(nnni;1 11发散发散因为因为 =nnnnx .1121收敛收敛 =nnnny所以原级所以原级数发散数发散.课堂练习课堂练习11(2)(1)ninn=2 2级级数数
8、 是是否否收收敛敛?所以原级所以原级数收敛数收敛.)1(1 1是否收敛?是否收敛?级数级数 =nnin(1);1 121收敛收敛因为因为 =nnnnx.1131收敛收敛 =nnnny =11nnnnyx收收敛敛的的必必要要条条件件是是和和因因为为实实数数项项级级数数.0lim0lim=nnnnyx和和0lim=nnz级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件重要结论重要结论:.0lim1发散发散级数级数 =nnnnzz收敛的必要条件是收敛的必要条件是所以复数项级数所以复数项级数 =1nnz:,1 =nine级数级数例如例如,0limlim=innnnez因为因为不满足必要条件不满足必要条件,所以原级
9、数发散所以原级数发散.启示启示:判别级数的敛散性时判别级数的敛散性时,可先考察可先考察0lim=nnz?,0limnnz如果如果级数发散级数发散;应进一步判断应进一步判断.,0lim=nnz3.绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛 .,11也收敛也收敛那么那么收敛收敛级数级数如果如果 =nnnnzz注:注:,1的的各各项项都都是是非非负负实实数数 =nnz可用正项级数的审敛法可用正项级数的审敛法.定理定理证证由于由于,1221 =nnnnnyxz而而,2222nnnnnnyxyyxx 根据实数项级数的比较准则根据实数项级数的比较准则,知知收敛收敛及及 11 =nnnnyx 11收敛收敛及及 =
10、nnnnyx .1n收敛收敛 =nz非绝对收敛的收敛级数称为非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数条件收敛级数.说明说明,22nnnnyxyx 由由,11122 =nkknkknkkkyxyx知知如果如果 收敛收敛,那么称级数那么称级数 为为绝对收敛绝对收敛.=1nnz =1nnz定义定义,11绝对收敛时绝对收敛时与与 =nnnnyx所以所以.1绝对收敛绝对收敛也也 =nnz.111绝对收敛绝对收敛与与绝对收敛绝对收敛 =nnnnnnyxz综上综上:!)8(1是否绝对收敛?是否绝对收敛?级数级数 =nnni例例3 3,!81收敛收敛 =nnn故原级数收敛故原级数收敛,且为绝对收敛且为绝对收敛.,
11、!8!)8(nninn=因为因为所以由正项级数的比值判别法知所以由正项级数的比值判别法知:解解 ;)1(1收敛收敛因为因为 =nnn,211收收敛敛也也 =nn故原级数收敛故原级数收敛.,)1(1收收敛敛为为条条件件但但 =nnn所以原级数非绝对收敛所以原级数非绝对收敛.21)1(1是否绝对收敛?是否绝对收敛?级数级数 =nnnin例例4 4解解一、幂级数的概念一、幂级数的概念二、幂级数的敛散性二、幂级数的敛散性三、幂级数的运算和性质三、幂级数的运算和性质一、幂级数的概念一、幂级数的概念1.1.复变函数项级数复变函数项级数定义定义 ,),2,1()(为为一一复复变变函函数数序序列列设设=nzf
12、n =)()()()(211zfzfzfzfnnn其中各项在区域其中各项在区域 D内有定义内有定义.表达式表达式称为复变函数项级数称为复变函数项级数,记作记作.)(1 =nnzf)()()()(21zfzfzfzsnn =称为这级数的称为这级数的部分和部分和.级数最前面级数最前面n项的和项的和和函数和函数.)(,)(,)()(lim ,001000它的和它的和称为称为收敛收敛在在那么称级数那么称级数存在存在极限极限内的某一点内的某一点如果对于如果对于zszzfzszszDnnnn =)()()()(21zfzfzfzsn称为该级数在区域称为该级数在区域D上的上的和函数和函数.如果级数在如果级数
13、在D内处处收敛内处处收敛,那么它的和一定那么它的和一定 :)(zsz的一个函数的一个函数是是例例1 1 求级数求级数 =nnnzzzz201的收敛范围与和函数的收敛范围与和函数.解解级数的部分和为级数的部分和为)1(,11112 =zzzzzzsnnn1 zzsnn=11lim级数级数 =0nnz收敛收敛,1 z0lim nnz级数级数 =0nnz发散发散.收敛范围为一单位圆域收敛范围为一单位圆域,1 z且有且有.1112 =nzzzz2.2.幂级数幂级数当当101)()(=nnnzzczf或或,)(11时时 =nnnzczf函数项级数的特殊情形函数项级数的特殊情形 =20201000)()(
14、)(zzczzcczzcnnn nnzzc)(0.22100 =nnnnnzczczcczc或或这种级数称为这种级数称为幂级数幂级数.为简便,以下讨论幂级数为简便,以下讨论幂级数 .=0nnnzc二、幂级数的敛散性二、幂级数的敛散性1.收敛定理收敛定理(阿贝尔阿贝尔Abel定理定理)如果级数如果级数 =0nnnzc)0(0=zz0zz 0zz=0zz ,z在在收敛收敛,z那么对那么对的的级数必绝对收敛级数必绝对收敛,如果如果在在级数发散级数发散,那么对满足那么对满足的的级数必发散级数必发散.满足满足阿贝尔介绍阿贝尔介绍2.收敛圆与收敛半径收敛圆与收敛半径(1)对所有的复数都收敛)对所有的复数都
15、收敛.(2)对所有的复数,除对所有的复数,除 z=0 外都发散外都发散.例如,级数例如,级数 nnznzz2221,0 时时当当 z通项不趋于零通项不趋于零,故级数发散故级数发散.对于一个幂级数对于一个幂级数 ,其收敛的情况有三种其收敛的情况有三种:=0nnnzcxyo.R收敛圆收敛圆收敛半径收敛半径幂级数幂级数 =0nnnzc的收敛范围是以原点为中心的圆域的收敛范围是以原点为中心的圆域.(3)既存在使级数收敛的复数)既存在使级数收敛的复数 ,也存在使级数也存在使级数发散的复数发散的复数 .由阿贝尔定理,由阿贝尔定理,=zzcnnn0 在在圆圆周周外外发发散散在在圆圆周周 =z,0内内绝绝对对
16、收收敛敛在在圆圆周周Rzzcnnn=外外发发散散在在圆圆周周Rz=则存在正数则存在正数R,,内绝对收敛内绝对收敛答案答案:.0为为中中心心的的圆圆域域是是以以zz=幂级数幂级数 =00)(nnnzzc的收敛范围是何区域的收敛范围是何区域?问题问题1:在收敛圆周上是收敛还是发散在收敛圆周上是收敛还是发散,不能作出不能作出一般的结论一般的结论,要对具体级数进行具体分析要对具体级数进行具体分析.注意注意问题问题2:幂级数在收敛圆周上的敛散性如何幂级数在收敛圆周上的敛散性如何?3.收敛半径的求法收敛半径的求法方法方法1 1:(比值法)(比值法),0lim 1=nnncc如果如果那么收敛半径那么收敛半径
17、.1=R方法方法2 2:(根值法)(根值法),0lim =nnnc如果如果那么收敛半径那么收敛半径.1=R说明说明:=0 0=RR如果如果收敛半径公式可记为收敛半径公式可记为.1limlim1nnnnnncccR =0nnnc z=幂级数幂级数例例2求下列幂级数的收敛半径求下列幂级数的收敛半径:(1)=13nnnz(并讨论在收敛圆周上的情形并讨论在收敛圆周上的情形)(2)=1)1(nnnz(并讨论并讨论2,0=z时的情形时的情形)或或nnncR1lim=解解(1)1lim =nnnccR3)1(limnnn=,1=.1lim3=nnn所以收敛半径所以收敛半径,1=R即原级数在圆即原级数在圆1=
18、z内收敛内收敛,在圆外发散在圆外发散,收敛的收敛的p级数级数).13(=p所以原级数在收敛圆上是处处收敛的所以原级数在收敛圆上是处处收敛的.在圆周在圆周1=z上上,级数级数 =13131nnnnnz说明说明:在收敛圆周上既有级数的收敛点在收敛圆周上既有级数的收敛点,也有也有 级数的发散点级数的发散点.,0时时当当=z原级数成为原级数成为,1)1(1 =nnn交错级数交错级数,收敛收敛.,2时时当当=z发散发散.原级数成为原级数成为,11 =nn调和级数,调和级数,解解nnccRnnnn1limlim1=,1=(2)=1)1(nnnz(并讨论并讨论2,0=z时的情形时的情形)incncos=因为
19、因为1lim =nnnccR所以收敛半径为所以收敛半径为 =0)(cosnnzin例例3求幂级数求幂级数 的收敛半径的收敛半径:解解),(21nnee =.1e=11lim =nnnnneeee1221lim =nnneee解解)4sin4(cos21 =ii因为因为nnic)1(=1lim =nnnccR例例4 =0)1(nnnzi求求 的收敛半径的收敛半径.,24ie=;)2(4inne=1)2()2(lim =nnn.2221=答案答案1(lnnncin=),),课堂练习课堂练习 试求幂级数试求幂级数1()lnnnzin=的收敛半径的收敛半径.因为因为所以所以故收敛半径故收敛半径.R=三
20、、幂级数的运算和性质三、幂级数的运算和性质1.1.幂级数的有理运算幂级数的有理运算.,)(,)(2010rRzbzgrRzazfnnnnnn=设设,)()()(000nnnnnnnnnnzbazbzazgzf=Rz ),()()()(00 =nnnnnnzbzazgzf =00110,)(nnnnnzbababaRz ),min(21rrR=2.幂级数的代换幂级数的代换(复合复合)运算运算如果当如果当rz 时时,)(0 =nnnzazf又设在又设在Rz 内内)(zg解析且满足解析且满足,)(rzg 那么当那么当Rz 时时,=0.)()(nnnzgazgf说明说明:此代换运算常应用于将函数展开成
21、幂级数此代换运算常应用于将函数展开成幂级数.=00)(nnnzzc定理定理设幂级数设幂级数的收敛半径为的收敛半径为,R那么那么(2)(zf在收敛圆在收敛圆Rzz=0内的导数可将其幂内的导数可将其幂级数逐项求导得到级数逐项求导得到,.)()(110 =nnnzznczf即即是收敛圆是收敛圆Rzz=0内部的解析函数内部的解析函数.=00)()(nnnzzczf它的和函数它的和函数(1)3.复变幂级数在收敛圆内的性质复变幂级数在收敛圆内的性质(3)(zf在收敛圆内可以逐项积分在收敛圆内可以逐项积分,=00.,d)(d)(nCnnCRazCzzzczzf0100()().1znnzncf z dzzz
22、n =或或简言之简言之:在收敛圆内在收敛圆内,幂级数的和函数解析幂级数的和函数解析;幂级数可逐项求导幂级数可逐项求导,逐项积分逐项积分.(常用于求和函数常用于求和函数)即即例例5 把函数把函数bz 1表成形如表成形如 =0)(nnnazc的幂的幂级数级数,其中其中ba与与是不相等的复常数是不相等的复常数.解解把函数把函数bz 1写成如下的形式写成如下的形式:=bz1)()(1abaz abazab =111代数变形代数变形,使其分母中出现使其分母中出现)(az 凑出凑出)(11zg 211.(1)1nzzzzz=时,时,当当1 abaz =nabazabazabaz)()(111=bz1故故n
23、nabazab =0)(1,时时当当abaz 级数收敛级数收敛,且其和为且其和为.1bz nnabaz =0.)()(101 =nnnazab211.(1)1nzzzzz=1zb abazab =111作业:作业:第四章习题第四章习题 6(1)(3)(5)阿贝尔资料阿贝尔资料 非凡的数学家非凡的数学家阿贝尔阿贝尔Died:6 April 1829 in Froland,NorwayNiels AbelBorn:5 Aug 1802 in Frindoe,Norway 阿贝尔(阿贝尔(1802-1829)挪威数学家。是克里斯蒂安尼)挪威数学家。是克里斯蒂安尼亚(现在的奥斯陆)教区穷牧师的六个孩子
24、之一。尽管家亚(现在的奥斯陆)教区穷牧师的六个孩子之一。尽管家里很贫困,父亲还是在里很贫困,父亲还是在1815年把阿贝尔送进克里斯蒂安尼年把阿贝尔送进克里斯蒂安尼亚的一所中学里读书,亚的一所中学里读书,15岁时优秀的数学教师岁时优秀的数学教师洪堡洪堡发现了发现了阿贝尔的数学天才,对他给予指导。阿贝尔的数学天才,对他给予指导。16岁时阿贝尔写了一岁时阿贝尔写了一篇解方程的论文。丹麦数学家篇解方程的论文。丹麦数学家戴根戴根看过这篇论文后,为阿看过这篇论文后,为阿贝尔的数学才华而惊叹,当时数学界正兴起对椭圆积分的贝尔的数学才华而惊叹,当时数学界正兴起对椭圆积分的研究,于是他给阿贝尔回信写到:研究,于
25、是他给阿贝尔回信写到:“.与其着手解决被认与其着手解决被认为非常难解的方程问题,不如把精力和时间投入到对解析为非常难解的方程问题,不如把精力和时间投入到对解析学和力学的研究上。例如,椭圆积分就是很好的题目,相学和力学的研究上。例如,椭圆积分就是很好的题目,相信你会取得成功信你会取得成功.”。于是阿贝尔开始转向对椭圆函数的研究。于是阿贝尔开始转向对椭圆函数的研究。阿贝尔阿贝尔18岁时,父亲去世,这使生活更加贫困。岁时,父亲去世,这使生活更加贫困。1821年在洪堡老师的帮助下,阿贝尔进入克里斯蒂安尼亚大学。年在洪堡老师的帮助下,阿贝尔进入克里斯蒂安尼亚大学。1823年,他发表了第一篇论文,开了研究
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