第十三章-轴对称知识-课题学习-最短路径问题课件.ppt

1、第十三章第十三章 轴对称轴对称13.4课题学习课题学习 最短路径问题最短路径问题轴对称与最短距离问题轴对称与最短距离问题问题问题类别类别问题问题作法作法图例图例思路与依据思路与依据一线一线异侧异侧两点两点在直线在直线l上找上找一点一点P，使，使AP+BP最小最小连接连接AB，交直线，交直线l于点于点P，点点P即为即为所求所求AP+BP的最小的最小值为值为AB，依据，依据是两点之间，是两点之间，线段最短线段最短问题问题类别类别问题问题作法作法图例图例思路与依据思路与依据一线一线同侧同侧两点两点在直线在直线l上找一上找一点点P，使，使AP+BP最小最小作点作点A关于关于直线直线l的对的对称点称点A

2、，连，连接接AB，交，交直线直线l于点于点P，点，点P即为即为所求所求把直线同侧两点问把直线同侧两点问题，通过轴对称，题，通过轴对称，转化为直线异侧两转化为直线异侧两点问题，点问题，AP+BP的的最小值最小值=AB，依据，依据是两点之间，线段是两点之间，线段最短最短知识解读知识解读(1)解决关于直线同侧两点的最短距离问题解决关于直线同侧两点的最短距离问题的方法：作出其中某一点关于直线的对称的方法：作出其中某一点关于直线的对称点，连接对称点与另一点，连线与直线的点，连接对称点与另一点，连线与直线的交点即是所求作的点交点即是所求作的点;(2)运用轴对称的知识作图求最短路径是中运用轴对称的知识作图求

3、最短路径是中考的一个难点，经常结合垂直平分线的性考的一个难点，经常结合垂直平分线的性质和等腰三角形的性质来解决问题质和等腰三角形的性质来解决问题问题问题类别类别问题问题作法作法图例图例思路与依据思路与依据两两线线间间一一点点平平行行线线已知已知 ，在直线在直线 和和 上分别找上分别找点点M，N，使，使MP+NP最小最小过点过点P作作PM ，PN ，垂，垂足分别是足分别是M，N，点，点M，N即为所即为所求求把线段和的最把线段和的最小问题，转化小问题，转化为垂线段的和为垂线段的和，MP+NP最小最小值为值为MN，依据，依据是垂线段最短是垂线段最短1l1l1l2l2l2l问题问题类别类别问题问题作法

4、作法图例图例思路与依据思路与依据两两线线间间一一点点相相交交线线在直线在直线 和和 上分上分别找点别找点M，N，使，使PMN的的周长最小周长最小过点过点P分别作分别作 和和 的对的对称点称点P，P,连接连接P，P，分别交分别交 和和 于点于点M，N，点点M，N即为即为所求所求通过轴对称把周长通过轴对称把周长最小问题转化为两最小问题转化为两点间距离问题，点间距离问题，PMN周长的最小周长的最小值值=MP+MN+NP=PP，依据是两点，依据是两点之间，线段最短之间，线段最短1l1l1l2l2l2l问题问题类别类别问题问题作法作法图例图例思路与依据思路与依据两线两线间两间两点点在直线在直线 和和 上

5、分别找上分别找点点M，N，使四边形使四边形PQNM的周的周长最小长最小分别作点分别作点P，Q关于关于 和和 的对称点的对称点P，Q,连接连接PQ，分别交，分别交 和和 于点于点M，N，点，点M，N即为所求即为所求通过轴对称把周长最通过轴对称把周长最小问题转化为两点间小问题转化为两点间距离问题，四边形距离问题，四边形PQNM周长的最小值周长的最小值为为MP+PQ+NQ+MN=PQ+PQ，依据是两，依据是两点之间，线段最短点之间，线段最短1l1l1l2l2l2l注意：在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称，注意：在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称，将在一条直线同侧的两点转化到异侧，从而作出

6、最短将在一条直线同侧的两点转化到异侧，从而作出最短路径路径.例例1 如图如图13-4-1，A，B两村合伙在河两村合伙在河MN建一座扬水站，要建一座扬水站，要使所用管道最少，请你帮助他们确定扬水站的位置使所用管道最少，请你帮助他们确定扬水站的位置.(画出图画出图形，不写作法，保留作图痕迹形，不写作法，保留作图痕迹)图图13-4-1图图13-4-2解：如图解：如图13-4-2,点点O即为所求即为所求.例例2 如图如图13-4-3，点，点A是总邮局，想在公路是总邮局，想在公路 上建一分上建一分局局 ，在公路，在公路 上建一分局上建一分局 ，使，使 的和最小的和最小.(画出图形，不写作法，保留作图痕迹

7、画出图形，不写作法，保留作图痕迹)图图13-4-3图图13-4-4解：如图解：如图13-4-4，以直线，以直线 为对称轴作点为对称轴作点A的对称点的对称点M，以直线以直线 为对称轴作点为对称轴作点A的对称点的对称点N，连接，连接MN，分别，分别交交 ,于点于点 ,则则 ，即为所求即为所求.1l1l1l2l2l2l1A1A1A2A2A2A1122AAA AAA过两条直线内侧一点，分别作关于两条直线的对称点，过两条直线内侧一点，分别作关于两条直线的对称点，即可得三点所组成的三角形的周长最小即可得三点所组成的三角形的周长最小.平移在求最短距离问题中的应用平移在求最短距离问题中的应用问题问题作法作法图

8、例图例思路与依据思路与依据“造造桥桥选选址址”在一条河的两岸有两点在一条河的两岸有两点A，B，现要在河上建，现要在河上建一座小桥，桥的方向与一座小桥，桥的方向与河流垂直，河两岸互相河流垂直，河两岸互相平行，桥平行，桥PD架在何处架在何处，才能使，才能使AP+PD+BD最小最小作作BB垂直于垂直于河岸河岸GH，使，使BB等于河宽等于河宽，连接，连接AB，与河岸与河岸EF相交相交于点于点P，作，作PDGH，桥，桥PD即为所求即为所求平移桥平移桥PD为为BB，把从，把从A到到B的路径进行转的路径进行转化化,AP+PD+BD的最小值的最小值=AB+BB.依据是两点之依据是两点之间，线段最短间，线段最短

9、巧记乐背巧记乐背君若寻求路径短，君若寻求路径短，折曲变直线段短；折曲变直线段短；点与直线垂线段，点与直线垂线段，两点之间线段短；两点之间线段短；对称图形对称点，对称图形对称点，利用对称求最短；利用对称求最短；若遇折线变直难，若遇折线变直难，平移让难变简单平移让难变简单.例例3 A和和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，使从，使从A到到B的路径的路径AMNB最短的是最短的是(假定河的两岸假定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直是平行直线，桥要与河岸垂直)()DA.BM垂直于垂直于a B.AM与与BN不平行不平行C.AN垂直于垂直于b D.AM平行于平

10、行于BN解析：图解析：图13-4-5根据垂线段最短，得出根据垂线段最短，得出MN是河的宽时最短，是河的宽时最短，即即MN直线直线a(或直线或直线b)，只要，只要AM+BN最短即可最短即可.如图如图13-4-5，过点过点A作河的垂线作河的垂线AH，垂足为，垂足为H，在，在AH所在直线上取点所在直线上取点I，使使AI等于河宽，连接等于河宽，连接IB交河的交河的b岸于点岸于点N，作，作MN垂直于河岸垂直于河岸,交交a岸于点岸于点M，连接，连接AM，所得，所得MN即为所求即为所求.故选故选D.弄混弄混“点与直线的距离点与直线的距离”与与“两点之间，线段最短两点之间，线段最短”例例4 如图如图13-4-

11、6，在四边形，在四边形ABCD中，中，BAD120，BD90，在，在BC，CD上分别找一点上分别找一点M，N，使，使AMN的周长最小，求此时的周长最小，求此时AMNANM的度数的度数.图图13-4-6图图13-4-7解：如图解：如图13-4-7，分别作点，分别作点A关于关于BC和和CD的对称点的对称点A，A，连接连接AA，交，交BC于点于点M，交，交CD于点于点N，则，则AA的长即为的长即为AMN的周长的最小值的周长的最小值.如图如图13-4-7,延长延长DA至至H.DAB=120，HAA=60，AAM+A=HAA=60.MAA=MAA，NAD=A，且，且MAA+MAA=AMN，NAD+A=A

12、NM，AMN+ANM=MAA+MAA+NAD+A=2(AAM+A)=260=120.BD90时，点时，点A到到BC的最短距离为的最短距离为AB，点，点A到到CD的最短距离为的最短距离为AD，误以为，误以为AB+AD+BD是在是在BC，CD上分别找一点上分别找一点M，N使使AMN的周长最小的周长最小.题型一题型一三角形的周长最小问题三角形的周长最小问题 例例5 如图如图13-4-8，P和和Q分别为分别为ABC的边的边AB与与AC上一点，上一点，在在BC边上求作一点边上求作一点M，使，使PQM的周长最小的周长最小.图图13-4-8思路导图：思路导图：作点作点P关于关于BC的对称点的对称点 利用轴对

13、称，求线段和最小利用轴对称，求线段和最小解：如图解：如图13-4-9，作点，作点P关于关于BC的对称点的对称点P，连接，连接PQ，交交BC于点于点M，M是所求的点是所求的点.图图13-4-9题型二题型二 求线段和的最小值求线段和的最小值 例例6 如图如图13-4-10，ABC为等边三角形，高为等边三角形，高AH=10 cm，P为为AH 上一动点，上一动点，D为为AB的中点，求的中点，求PD+PB的最小值的最小值.图图13-4-10思路导图：思路导图：利用轴对称利用轴对称的性质的性质 在等边三角形在等边三角形ABC的高的高AH上上找一点找一点P将将PD+PB的的最小值转化最小值转化为为PD+PC

14、解：图解：图13-4-11如图如图13-4-11，连接，连接DC，交，交AH于点于点P，连接，连接PB.ABC为等边三角形，为等边三角形，D为为AB的中点，的中点，CD也是也是ABC的高，的高，CD=AH=10 cm.又又AH所在直线是等边三角形所在直线是等边三角形ABC的对称轴，的对称轴，点点B，C是关于是关于AH的对称点，的对称点，PC=BP，PD+PB的最小值的最小值=PC+PD=CD=10 cm.方法点拨：方法点拨：在轴对称图形中，求对称轴上的一点使线段和最小时，注在轴对称图形中，求对称轴上的一点使线段和最小时，注意选择图形中已有的对称点，不要重作某一点的对称点来意选择图形中已有的对称

15、点，不要重作某一点的对称点来求解求解.题型三：题型三：最短路径问题的实际应用最短路径问题的实际应用 例例7 如图如图13-4-12，山娃星期天从，山娃星期天从A处赶了几只羊到草地处赶了几只羊到草地 放羊，然后赶羊到小河放羊，然后赶羊到小河 饮水，之后再回到饮水，之后再回到B处的家处的家.假设山娃赶羊走的都是直路，请你为他设计一条最短的路假设山娃赶羊走的都是直路，请你为他设计一条最短的路径，标明放羊与饮水的位置径，标明放羊与饮水的位置.图图13-4-121l2l思路导图：思路导图：利用轴对称的性利用轴对称的性质及两点之间，质及两点之间，线段最短来求解线段最短来求解分别作点分别作点A关关于直线于直

16、线 ,点点B关于直线关于直线 的对称点的对称点E,F 连接连接EF，即得最短即得最短路径路径解：如图解：如图13-4-13，作出点，作出点A关于直线关于直线 的对称点的对称点E，点，点B关于直线关于直线 的对称点的对称点F，连接，连接EF，分别交直线，分别交直线 ，于点于点C，D，则，则ACDB就是山娃走的最短路径就是山娃走的最短路径.1l2l1l1l2l2l图图13-4-13题型四题型四 利用平移解决有关桥梁选址问题利用平移解决有关桥梁选址问题 例例8 如图如图13-4-14，护城河在，护城河在CC处直角转弯，河宽相等，处直角转弯，河宽相等，从从A处到达处到达B处，需经两座桥：处，需经两座桥

17、：DD，EE(桥宽不计桥宽不计)，设两，设两座桥分别是南北、东西方向的，如何架桥可使座桥分别是南北、东西方向的，如何架桥可使ADDEEB的路程最短？的路程最短？图图13-4-14图图13-4-15解：如图解：如图13-4-15，作，作AF垂直河岸于点垂直河岸于点F，取，取AI=河宽，作河宽，作BG垂直河岸于点垂直河岸于点G，取，取BH=河宽，连接河宽，连接IH，与河岸相交，与河岸相交于于E，D两点，作两点，作DD垂直河岸于点垂直河岸于点D，EE垂直河岸于垂直河岸于点点E,连接连接BE,AD，即当桥建于，即当桥建于DD与与EE的位置时，路径的位置时，路径ADDEEB最短最短.解读中考：解读中考：

18、中考中对于线段和最短问题的考查，通常在中考中对于线段和最短问题的考查，通常在轴对称图形轴对称图形(等边三角形、长方形和圆等等边三角形、长方形和圆等)中结合相关知识中结合相关知识求线段和的最小值求线段和的最小值.考点一考点一 线段和最小问题线段和最小问题 例例9 (贵州黔南中考贵州黔南中考)如图如图13-4-17，直线，直线l外不重合的两点外不重合的两点A，B，在直线，在直线l上求作一点上求作一点C，使得，使得AC+BC的长度最短的长度最短.作法为：作法为：作点作点B关于直线关于直线l的对称点的对称点B；连接；连接AB与直线与直线l相交于点相交于点C，则点，则点C为所求作的点在解决这个问题时没有

19、运用到的为所求作的点在解决这个问题时没有运用到的知识或方法是知识或方法是()D图图13-4-17A.转化思想转化思想B.三角形的两边之和大于第三边三角形的两边之和大于第三边 C.两点之间，线段最短两点之间，线段最短 D.三角形的一个外角大于与它不相邻的任三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角意一个内角解析：解析：点点B和点和点B关于直线关于直线l对称，且点对称，且点C在在l上，上，CB=CB.又又AB交交l于点于点C，且两条直线相交只有，且两条直线相交只有一个交点，一个交点，CB+CA的长度最短，即的长度最短，即CA+CB的值的值最小最小.此最短路径问题运用了此最短路径问题运用了“两点之

20、间，线段最两点之间，线段最短短”，体现了转化思想，验证时运用了三角形的两，体现了转化思想，验证时运用了三角形的两边之和大于第三边边之和大于第三边.故选故选D.核心素养核心素养 利用轴对称和平移解决最短路径问题，让学生体会图形利用轴对称和平移解决最短路径问题，让学生体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想.例例11 如图如图13-4-20，在由边长为，在由边长为1个单位长度的小正方个单位长度的小正方形组成的网格中，请分别在形组成的网格中，请分别在AB，AC上找到点上找到点E，F，使四边，使四边形形PEFQ的周长最小的周长最小.图图13-4-20解：如图解：如图13-4-21，分别作点，分别作点P关于关于AB，点，点Q关于关于AC的对称的对称点点P，Q,连接连接PQ,交交AB于点于点E，交，交AC于点于点F，则，则E，F即即为所求为所求.图图13-4-21