第二节传输线方程及其解课件.ppt

1、 传输线方程是传输线理论的基本方程，是描述传输线传输线方程是传输线理论的基本方程，是描述传输线上电压、电流变化规律及其相互关系的微分方程。上电压、电流变化规律及其相互关系的微分方程。一、时变传输线方程一、时变传输线方程 如图如图2-5，对，对 dz 等效电路等效电路,应用应用基尔霍夫定律基尔霍夫定律图图2-5 dz 段传输线的等效电路段传输线的等效电路),(),(),(),(tdzzitzitdzzutzuttzzuzCtdzzuzGtzitdzzittzizLtzizRtzutzzu),d(d),(d),(),(),(d),(d),(),d(0000(2-1a)图图2-5 dz 段传输线的等

2、效电路段传输线的等效电路 回路 节点ttzzuzCtdzzuzGtzitdzzittzizLtzizRtzutzzu),d(d),(d),(),(),(d),(d),(),d(0000zztzutzutzzud),(),(),d(zztzitzitzzid),(),(),d(ztztzuttzuttzzud),(),(),d(2：且有且有 应用泰勒公式：得时变传输线方程得时变传输线方程(分布参数电路微分方程分布参数电路微分方程)：ttzuCtzuGztzittziLtziRztzu),(),(),(),(),(),(0000ttzzuzCtdzzuzGtzitdzzittzizLtzizRtz

3、utzzu),d(d),(d),(),(),(d),(d),(),d(0000 用微分和极限概念得时变传输线方程得时变传输线方程(分布参数电路微分方程分布参数电路微分方程)：)b12(),(),(),(),(),(),(0000ttzuCtzuGztzittziLtziRztzu 二、时谐传输线方程及其解二、时谐传输线方程及其解 1.时谐传输线方程时谐传输线方程 (说明：时谐场即复数场说明：时谐场即复数场)对于角频率为对于角频率为w 的余弦信号的余弦信号e)(Re)(cos)(),(e)(Re)(cos)(),(00tjitjuzIztzItzizUztzUtzuwwww式中式中)(0)(0e

4、)()(e)()(zjzjiuzIzIzUzU得时谐场的传输线方程：得时谐场的传输线方程：wjtIiUu，、)22()()()d)(d)()()(d0000zUYzUCjGzzIzIZzILjRdzzUww（)()(Re(),(zUezUtzutjw 时变时变（时间函数）（时间函数）时谐时谐（时间无关）（时间无关）时谐场的传输线方程时谐场的传输线方程(2-2)暂时撇开时间因子暂时撇开时间因子 e jw t，而只研究沿线电压而只研究沿线电压、电流的复数幅度与传输线位置之电流的复数幅度与传输线位置之间的关系，是一维空间的问题。间的关系，是一维空间的问题。时谐场传输线方程：时谐场传输线方程：)(d)

5、(d)()(dzUYzzIzIZdzzU00LjRZw 单位长度传输线的单位长度传输线的串联阻抗串联阻抗00CjGYw 单位长度传输线的单位长度传输线的并联导纳并联导纳0R0L0C0Gx 阻 抗 纳 导 阻导 抗纳 倒数关系注意001YZ?2.时谐均匀长线的波动方程时谐均匀长线的波动方程式式(2-2)对对 z 求导求导：)22()(d)(d)(d)(dzUYzzIzIZzzU0)(d)(d0)(d)(d2222zIYZzzIzUZYzzU)32()(0000ejCjGLjRZYww令0d)(dd)(d0d)(dd)(d2222zzUYzzIzzIZzzU传播常数传播常数时谐均匀长线的波动方程时

6、谐均匀长线的波动方程()：)()(21 0 0 002 2 0 2 2 0 2 0 2 2 0 GRCLCGLRwww)32(0)(d)(d0)(d)(d222222azIzzIzUzzU?)(zI?)(zU 这是一个二阶齐次常微分方程这是一个二阶齐次常微分方程。传播常数传播常数 =+j 衰减常数衰减常数？相位常数相位常数？时谐均匀传输线波动方程的解？时谐均匀传输线波动方程的解？Helmholtz？)()(21 0 0 002 2 0 2 2 0 2 0 2 2 0 GRCLCGLRwwwzzAAzUee)(21式中，式中，A1、A2为积分常数为积分常数(复数复数)，其值取决于长线的其值取决于

7、长线的端接条件端接条件(边界条件边界条件)。上式带入式。上式带入式(22)得得)()(1)(21zzeAeAZdzzUdZzI 3.时谐均匀传输线波动方程的解时谐均匀传输线波动方程的解 1)电压、电流的通解电压、电流的通解 (1)通解的表达式通解的表达式 均匀传输线的均匀传输线的 与与 z 无关，式无关，式(2-3a)的电压通解为的电压通解为.)(d)(dzIZzzU U 的通解得到 I 的表达式)32()(1)()(21021ceAeAZzIeAeAzUzzzz即：)32(00000dCjGLjRYZZZwwZ0 称为长线的称为长线的求解求解U，I的目的的目的？高频?系数A1A2怎么定？)(

8、1)()(21021zjzzjzzjzzjzeeAeeAZzIeeAeeAzU式中含式中含e-j z 的项表示沿的项表示沿z方向方向(由信号源向负载方向由信号源向负载方向)传播的传播的行波，为入射波；行波，为入射波；含含ej z 的项表示沿的项表示沿-z方向方向(由负载向信号由负载向信号源方向源方向)传播的行波，为反射波。传播的行波，为反射波。)()(zUzUri分析电报方程通解的表达式分析电报方程通解的表达式(2-3c)()(zIzIri沿线任何一处的电压沿线任何一处的电压 (或电流或电流 )等于该处电压等于该处电压(或电流或电流)的入、反射波的叠加，的入、反射波的叠加，分别称为分别称为视在

9、电压视在电压、视在电流视在电流。且有：且有：)(zU)(zI)()(zIzU、00000)()()()(CjGLjRzIzUzIzUZrriiww)(1)()(21021zjzzjzzjzzjzeeAeeAZzIeeAeeAzU)()(zUzUri)()(zIzIri 衰减常数衰减常数？相位常数相位常数？(2)(2)电压、电流的终端条件解电压、电流的终端条件解 (算例算例)时谐传输线方程的通解式时谐传输线方程的通解式(2-3c)中的常数中的常数 A1、A2 必必 须用边界条件、即端接条件确定。其中终端条件解是最须用边界条件、即端接条件确定。其中终端条件解是最 常用的。常用的。已知已知终端电压终

10、端电压 、电流、电流 ，求沿线电压、电流的求沿线电压、电流的表达式。表达式。2U2I图图2-6 已知终端电压、电流，求沿线电压、电流已知终端电压、电流，求沿线电压、电流 坐标原点坐标原点 z 0 选在终端选在终端)a42()()()(1)()()()(21021zIzIeAeAZzIzUzUeAeAzUrizzrizz以以 代入代入(2-4a)解得解得22)0()0(IIUU，)(212021IZUA)(212022IZUA图图2-6 已知终端电压、电流，求沿线电压、电流已知终端电压、电流，求沿线电压、电流已得到通解代入代入(2-4a)整理得整理得又称终端方程。又称终端方程。)b42(chsh

11、)(shch)(202022zIZzUzIzZIzUzU2sh2chzzzzeezeez，始端条件解可自习始端条件解可自习P13 的2.，注意坐标系与注意坐标系与 1.不一样不一样。()xxxxcoshchsinhsh，(无耗无耗)衰减常数衰减常数=0 )(0000CjGLjRww00CLjw j 相位常数相位常数)a92(00CLw 均匀均匀:R0 G0 L0 C0 分布与位置无关。分布与位置无关。无耗无耗：R0=0，G0=0，当信号源频率很高，或长线损耗很小而满足条件当信号源频率很高，或长线损耗很小而满足条件 R0 w L0 和和 G0 线上任一点反射系数。)132()(1)(1)(1)(

12、)(1)()()()(0azzZzzIzzUzIzUzZiiinGG)132()()()(00cZzZZzZzinin)132(002dZZZZLL)132(11220bZZL20)(GG，终端反射系数反射系数，输入阻抗，负载阻抗特性阻抗zZZZinL 当当ZLZ0、即不匹配时即不匹配时，G20，可用可用 G 来反映失配来反映失配 程度程度。实际应用中，采用电压驻波比实际应用中，采用电压驻波比(VSWR)来衡量失配来衡量失配 程度。程度。因为驻波比容易测量。因为驻波比容易测量。1.驻波比驻波比r VSWR )142(minmaxminmaxaIIUUrzo max minririUUUUUUm

13、inmax，2.行波系数行波系数K与驻波比互为倒数 KUUIIminmaxminmax111GGr反射系数模的变化范围为驻波比的变化范围为 01G1 r行波系数的变化范围为 01K传输线的工作状态一般分为三种：传输线上反射波的大小，可用反射系数的模、驻波比和行波系数三个参量来描述。(1)行波状态 G011,rK(3)驻波状态 G 10,rK(2)行驻波状态 01G1 r01K)142(11bUUUUririr 驻波比r与反射系数|G|有一一对应关系：)()()(1)(Re21)(*2*02zzzZzUzPi*0 0*i i*i iZ ZU U(z z)I I)()(Re21)(*zIzUzP)

14、(1)()(1)(Re21)(*zzIzzUzPii)(1)()()(1)()(zzIzIzzUzUii 1.无耗传输线的传输功率P(z)?)(12)(202zZzUi)a152()()(zPzPri)()()(2zPzPzir称为功率反射系数。称为功率反射系数。)()()(1)(Re21)(*2*02zzzZzUzPiPi(z)、Pr(z)分别为通过分别为通过 z 点处的入、反射波功率；点处的入、反射波功率；022)()(ZzUzPii202)(2)()(zZzUzPir)b152(2121)(02maxminmaxKZUIUzP在电压波腹点在电压波腹点 (即电流波节点即电流波节点)？KZZ

15、IUIUii00minmax)1()1(r 可见可见,当无耗长线的耐压一定或所承受的电流一定时，当无耗长线的耐压一定或所承受的电流一定时，行波系数行波系数 K 越大越大(线上匹配越好线上匹配越好),所能传输的功率也越大。所能传输的功率也越大。通过线上任意点的传输功率都相同。可在电压波腹点或电压通过线上任意点的传输功率都相同。可在电压波腹点或电压波节点处计算传输功率波节点处计算传输功率(该点的输入阻抗该点的输入阻抗Zin为纯阻为纯阻)。maxU2.功率容量 Pbr 传输线上的电压、电流受击穿电压和最大载流量限制。传输线上的电压、电流受击穿电压和最大载流量限制。用用“功率容量功率容量 Pbr”来描

16、写传输线是否处于容许的工作状来描写传输线是否处于容许的工作状态。态。功率容量功率容量 Pbr：在不发生电击穿的情况下，传输线上：在不发生电击穿的情况下，传输线上允许传输的最大功率。设允许传输的最大功率。设 Ubr为击穿电压，得：为击穿电压，得：)c152(2102KZUPbrbr 1、Ubr由传输线的结构、材料、填充介质等因素所决定。由传输线的结构、材料、填充介质等因素所决定。2、Pbr 不仅与不仅与Ubr 有关有关,还与行波系数还与行波系数K有关有关。3、从功率角度看，传输线最佳工作状态是行波工作状态。、从功率角度看，传输线最佳工作状态是行波工作状态。4、为了在传输大功率时不被击穿、为了在传

17、输大功率时不被击穿,常取：常取：P=(1/31/5)Pbrl传输线方程，电报方程l传播特性：传播常数，相速，相波长l特性阻抗，输入阻抗l入射波与反射波：反射系数l反射系数与特性阻抗，负载阻抗关系l驻波比，行波比l入射功率，反射功率，功率容量l一、行波工作状态(无反射情况)l二、驻波状态（全反射情况）l 1、终端短路l 2、终端开路l 3、终端接纯电抗负载l 1）负载为纯感抗l 2）负载为纯容抗l三、行驻波状态（部分反射情况）l l一、行波工作状态(无反射情况)U=Uil二、驻波状态（全反射情况）l 1、终端短路 U2=0l 2、终端开路 I2=0l 3、终端接纯电抗负载l 1）负载为纯感抗 Z

18、L=+jXl 2）负载为纯容抗 ZL=-jXl三、行驻波状态（部分反射情况）ZL=R+jXl 1、沿线电压、电流分布l 2、沿线阻抗变化规律)(1)()(1)()()()(zzIzzUzIzUzZiiinzZjZzZjZZzZLLintgtg)(00000)()()(ZzZZzZzinin)(1)(1)(0zzZzZin002ZZZZLLzjez22)(11r112rrzIZzjUzIzZIzUzUcossin)(sincos)(202022一、行波状态一、行波状态(无反射情况无反射情况)()()()()()()u z tu z tAtzi z ti z tAZtzii,cos,cos110w

19、w 由此可得行波状态下的分布规律：(1)线上电压和电流的振幅恒定不变(2)电压行波与电流行波同相，它们的相位是位置z和时间t的函数 (3)线上的输入阻抗处处相等，且均等于特性阻抗 只有入射波 U=Ui 二、驻波状态二、驻波状态(全反射情况全反射情况)当传输线终端短路、开路或接纯电抗负载时，终端的入射波将被全反射，沿线入射波与反射波迭加形成驻波分布。驻波状态意味着入射波功率一点也没有被负载吸阿收，即负载与传输线完全失配。1.终端短路终端短路 U2=0()UAAUUUUirir212222200()()()IZAAIIZUUUZIIIiririiir2012220222022201122复数表达式

20、为()()U zU eU eU eej Uzij zrj zij zj zi22222 sin()()I zI eI eI eeIzij zrj zij zj zi22222 cos()()()()u z tUzti z tIztii,sincos,coscos2222222ww 即：(1)瞬时电压或电流在传输线的某个固定位置上随时间t作正弦或余弦变化，而在某一时刻随位置z也作正弦或余弦变化，但瞬时电压和电流的时间相位差和空间相位差均为90度，表明传输线上没有功率传输。(2)当时，电压振幅恒为最大值，即()()znn21201l,UUimax 22而电流振幅恒为零，这些点称之为电压的波腹点和电

21、流的波节点；()znnl201,当时，电流振幅恒为最大值，而电压振幅恒为零，这些点称之为电流的波腹点和电压的波节点。()ZzjZzjZzjXinin002tg tgl(3)传输线终端短路时，输入阻抗为 2.终端开路终端开路 I2=0 ZL()()IZAAIIIIirir0100122222()UAAUUUUUiriir021222222沿线电压、电流的复数表达式为()()()()2 cos sin2,cos cos2,2222wwtzItzitzUtzuii传输线终端开路时，输入阻抗为()ZzjZzin 0ctg 由于负载阻抗 3.终端接纯电抗负载终端接纯电抗负载 均匀无耗传输线终端接纯电抗负

22、载时，沿线呈驻波分布。终端电压反射系数为GGLLLLLLjZZZZjXZjXZeL0000GL1LLLX ZXZarctg20202(1)负载为纯感抗XZllXZLL000022tgarctgllll42z(2)负载为纯容抗 此电抗也可用一段特性阻抗为Z0、长度为l0 的短路线等效，长度l0可由下式确定lXZL002larctg因此，长度为l终端接电抗性负载的传输线，沿线电压、电流及阻抗的变化规律与长度为(l+l0)的短路线上对应段的变化规律完全一致，距终端最近的电压波节点在 范围内。04zl纯容抗纯感抗 综上所述，均匀无耗传输线终端无论是短路、开路还是接纯电抗负载，终端均产生全反射，沿线电压

23、电流呈驻波分布，其特点为：(i)驻波波腹值为入射波的两倍，波节值等于零。短路线终端为电压波节、电流波腹；开路线终端为电压波腹、电流波节；接纯电抗负载时，终端既非波腹也非波节。(ii)沿线同一位置的电压电流之间相位差，所以驻波状态只有能量的存贮并无能量的传输。三、行驻波状态三、行驻波状态(部分反射情况部分反射情况)当均匀无耗传输线终端接一般复阻抗 ZRjXLLL()()()()GGGGLLLLLLLLLLLLLLLLLjZZZZRjXZRjXZRZXRZXjX ZRZXjeL000020220220022122 式中终端反射系数的模和相角分别为()()GLLLLLRZXRZX022022LLLL

24、X ZRXZarctg202202传输线工作在行驻波状态。行波与驻波的 相对大小决定于负载与传输线的失配程度。1.沿线电压、电流分布沿线电压、电流分布()()()()()()U zUzzI zIzziLLLiLLL2222122122GGGGcos cos 沿线电压电流振幅分布具有如下特点：(1)沿线电压电流呈非正弦周期分布；(2)当 时，即()22012 znnL,znL ll42在线上这些点处，电压振幅为最大值(波腹)，电流振幅为最小值(波节)，即()()UUIIiLiLmaxmin2211GG (3)当 时，即()()221012 znnL,()znL ll4214在线上这些点处，电压振

25、幅为最小值(波节)，电流振幅为最大值(波腹)，即()()UUIIiLiLminmax2211GG (4)电压或电流的波腹点与波节点相距 。l4(5)当负载为纯电阻RL，且RLZ0时，第一个电压波腹点在终端。当负载为纯电阻RL，且RL)0(0XjXZL0,1Kr(纯电抗纯电抗)02min2maxIUUiG=1,=0电电 压压波腹点波腹点G=1,2maxmin20iIIU电电 压压波节点波节点行波行波驻驻波波002ZZZZLLzjez22)(11r112rr,)0(RjXRZL10,1,10Kr2min2max202iiiIIUUU00max(max)(ZZRlZininrG 为正实数正实数,=0

26、为纯电阻纯电阻电电 压压波腹点波腹点2max22min20iiiIIIUU00min1(min)(ZZRlZininrG 为负实数负实数,为纯电阻纯电阻电电 压压波节点波节点行驻波行驻波有损耗均匀传输线有损耗均匀传输线的方程及其解方程的通解zjzzjzeeUeeU)z(U0zjzzjzZ/)eeUeeU()z(I传播特性：a）电压、电流为减幅波，沿线能量衰减；b）波速与频率有关，为色散波，引起信号失真；c）特性阻抗为复数，难以实现阻抗匹配。UkU)Gcj)(RLj(dzUd2000022wwIkI)Gcj)(RLj(dzId2000022ww式中 传播常数)GCj)(RLj(jk0000ww电

27、压、电流波动方程特性阻抗)GCJ/()RLj(Z00000ww（复数）图8.6.1 有损耗均匀传输线等效电路均匀传输线的参数特性阻抗0j42020202000000e)C(G)L(RCjGLjRZwwww传播常数)CjG)(LjR(jk0000ww ，振幅畸变；，相位畸变)(w)(w结论：低损耗线可近似为无损耗线，传播特性相似。无畸变传输线1.采用无损耗或低损耗传输线2.采用满足无畸变条件 的有损耗传输线，此时0000GRCL00000000000GRCLZ,CL1v,CL,GRw000000CLGLCR210000CL1v,CLww低损耗传输线 信号不发生畸变的主要条件是 ,或 不是频率的函数。v两种方法：