第三章-解析函数的级数展开-缩减版课件.ppt

1、3.1 3.1 复项级数的基本性质复项级数的基本性质 第三章第三章 解析函数的级数展开解析函数的级数展开121nnnzzzz 2.2.分析方法分析方法:记记 ,则则即复数项级数可以看作两个一对实数项级数即复数项级数可以看作两个一对实数项级数.nnnzxiy111nnnnnnzxiy一.复数项级数1.1.定义：定义：3.3.收敛收敛:无穷多项之和趋于一个稳定值无穷多项之和趋于一个稳定值.二.复函数项级数121()()()()nnnfzf zfzfz 3.3.绝对收敛绝对收敛若级数若级数 收敛收敛,则称级数则称级数 绝对收敛绝对收敛.1|nnz 1nnz 若级数绝对收敛,则级数必定收敛,但反之不真

2、.*2.2.收敛与一致收敛收敛与一致收敛1.1.定义定义逐点收敛：逐点收敛：对对 ，s.t.当当 时时,有有(,)nN z ()()1nkkfzf z (,)N z 0 若若 ，即，即N与点与点 z 无关。无关。(,)()N zN 一致收敛：一致收敛：3.3.一致收敛的判定一致收敛的判定 (不作要求不作要求)定理定理3.2(柯西一致收敛准则柯西一致收敛准则)定理定理3.3(M判别法判别法)定理定理3.4(函数乘积判别法函数乘积判别法)定理定理3.3(M判别法判别法)设设 在点在点集集 E 上有定义上有定义,且对且对 有：有：其中其中an是与是与 z 无关的无关的正数正数，则，则当当 收敛时收敛

3、时，在在E上上一致收敛且绝对收敛一致收敛且绝对收敛。()(,)1 2nfzn|()|,nnfza 1nna 1()nnfz zE 称为称为 的优级数的优级数.1nna 1()nnfz 二.幂级数00100()()()nnnnnazzaa zzazz 以以 z0 为中心的幂级数为中心的幂级数:定理定理3.8(阿贝尔阿贝尔(Abel)定理定理)若幂级数若幂级数 在在 收敛收敛,则在圆盘则在圆盘 内内绝对收敛绝对收敛.()00nnnazz 110()zzz 010|zzzz推论推论 3.1 若幂级数若幂级数 在某点在某点 z1发散发散,则它在圆周则它在圆周 的外面处处发散的外面处处发散.00()nn

4、nazz 010|zzzz将将 R 称为级数的称为级数的收敛半径收敛半径,称为称为收敛圆收敛圆,称为称为收敛圆盘收敛圆盘.从阿贝尔定理及其推论可知从阿贝尔定理及其推论可知,必存在以必存在以R为半径的为半径的圆圆,在圆内在圆内,即即 时时,级数绝对收敛级数绝对收敛(在在较小的闭圆内一致收敛较小的闭圆内一致收敛),而在圆外级数发散而在圆外级数发散.00()nnnazz 0|zzRzzR0|幂级数的收敛圆与收敛半径幂级数的收敛圆与收敛半径|0zzR对级数对级数收敛半径的计算收敛半径的计算(1)比值法比值法1|lim|nnnaRa 1lim|nnnRa 例例3.1 讨论级数讨论级数 的敛散性的敛散性1

5、nnzn 11lim|lim1nnnnanRan 在在 z=1 时时,此级数为调和级数此级数为调和级数 ,发散发散.在在 z=-1时时,级数为交错级数级数为交错级数 ,收敛收敛11nn 1(1)nnn 1.求出收敛半径求出收敛半径 2.讨论收敛圆上的情况讨论收敛圆上的情况(2)根值法根值法解：解：令令 ,则则即即 时时,级数收敛级数收敛.例例3.2 讨论级数讨论级数 和和 的敛散性的敛散性0nnz nnnz 0(1)1lim|1nnnaRa 例例3.*讨论级数讨论级数 的敛散性的敛散性22012nnnz 21211limlim4|nnnnnnRa2z 222001122nnnnnnz|4|2z

6、 因此因此:即当即当 时，级数收敛：时，级数收敛：对幂级数对幂级数201nnzzz 收敛半径为：收敛半径为：1R|1z 20111nnzzzz 3.2 3.2 泰勒展开泰勒展开利用此级数利用此级数,可以给出复变函数可以给出复变函数 3.2在在解析圆盘解析圆盘内的内的泰勒展开泰勒展开;3.4在在解析环域解析环域内的内的洛朗展开洛朗展开.例：例：将将 在在 的邻域内展开为幂级数的邻域内展开为幂级数12z 1z 0011()()zzzz 00001()nnzzzz 0100()()nnnzzz 一般情形一般情形:将将 在在 z0为中心的邻域展开为中心的邻域展开1z 0001()(1)zzzz 解解:

7、收敛半径收敛半径:0|Rz 收敛区域收敛区域:00|zzz 收敛区域不包含收敛区域不包含奇点奇点2.高级应用高级应用:逐项微分逐项微分与与逐项积分逐项积分a.a.逐项微分逐项微分例：将例：将 在在 z=0 泰勒展开泰勒展开120111()()(1)1nnnnddznzzdzzdz 2(1)z|1z 解：解：1.基本应用基本应用:直接代公式直接代公式例：将例：将 在在 处展开处展开 11z 2z Tips:确认展开中心确认展开中心 z0；确认变量确认变量 z 和奇点和奇点 与与 z0 点的位置关系。点的位置关系。b.b.逐项积分逐项积分例例:将将 Ln z 的主值的主值 ln z 在在 z=1

8、泰勒展开泰勒展开.ln 1=0 011(ln)(1)(1)(|1|1)1(1)nnndzzzdzzz 解：解：1100(1)(1)ln(1)(1)11nnnnnnzCzCznn又又 ln 1=0 C=0.所以所以ln z在在 z=1的泰勒展开为的泰勒展开为:11(1)ln(1),(|1|1)nnnzzzn *证：证：作圆作圆 c：并且并且 z 点在圆点在圆 c 内内 由柯西积分公式得：由柯西积分公式得：当当 时时,定理定理3.10(泰勒定理泰勒定理)设设 f(z)在圆盘在圆盘 内解析内解析,则在则在U内内 f(z)可唯一地展开为下面的幂可唯一地展开为下面的幂级数：级数：0:|UzzR()000

9、()()()!nnnfzf zzzn 1()()2cff zdiz c 00|1zzz 01|zzRR.00000111()()()(1)zzzzzzzz 00001()nnzzzz 级数级数 在在c上关于上关于 一致收敛一致收敛,又又 在在c上解析上解析,当然有界当然有界.因此由因此由定理定理3.4,一致收敛一致收敛.由级数一致收敛的由级数一致收敛的逐逐项可积性项可积性,得：得：0100()()nnnzzz ()f 0100()()nnnzzz 0100()()()nnnzzfz 1()()2cff zdiz 01001()()2()nncnfzzdiz 定理得证定理得证.()000()()

10、!nnnfzzzn 0100()1()2()nncnzzfdiz 上式中上式中,令令 ,即得即得 .故展式唯一故展式唯一.泰勒展开的唯一性泰勒展开的唯一性00()()nnnf zazz ()10()!(1)2()nnnfzn annazz()0()!nnfzan 0zz 则在其收敛圆盘内则在其收敛圆盘内,逐项求导任意逐项求导任意n次：次：如果还有展开式：如果还有展开式：定理定理3.11 函数函数 f(z)在区域在区域D内解析的充要条件是内解析的充要条件是 它在它在D内的任一点内的任一点 z0 的某个邻域内可展为幂级数的某个邻域内可展为幂级数.解析函数解析函数可定义为可定义为能够展成幂级数的函数

11、能够展成幂级数的函数.如何展开？1.直接用展开定理直接用展开定理.例：将例：将 在在 z=0 展开展开.ze0,|!nznzezn 11z 01,|11nnzzz 解：解：例例*：将将sec z 在在 z=0 泰勒展开泰勒展开.0secnnnza z ()0(sec)!nnzzan 解：解：2415sec1,|2!4!2zzzz 2.代入代入已知级数已知级数展开式展开式.0,|!nznzezn 01,|11nnzzz 3.逐项微分逐项微分与与逐项积分逐项积分等高级应用等高级应用Tips:直接利用展开定理直接利用展开定理,比较困难比较困难.sin,coszz1z 3.3 3.3 唯一性定理和解析

12、开拓唯一性定理和解析开拓一.解析函数的零点泰勒展开的一个应用泰勒展开的一个应用()000()()()!nnnfzf zzzn 20010200()()()()nnnf zazzaa zzazz ()0()!nnfzan 若展开序数从若展开序数从m开始不为开始不为0(m 1),即即令令1010()()()(0,1)mmmmmf zazzazzam f(z)可写为：可写为：,其中其中,在在D内解析内解析,并且并且 .0()()()mf zzzz 0()0z ()z 则则,z=z0时时,f(z)=0.称称 z0为为 f(z)的的 m 阶零点阶零点。()()()()10000mfzfzfz()0()0

13、mfz 对对 f(z)求导求导,得得例如：例如：220()!nznzf zz en z=0 为二阶零点为二阶零点;2()()f zzz 其中其中,在在 z=0解析解析,且且0()!nznzzen (0)0 f(z)可记为可记为:定理定理3.14(解析函数的唯一性定理解析函数的唯一性定理)设设 f(z)和和 g(z)在区域在区域 D 内解析内解析,且在且在 D 内一个无穷点内一个无穷点集集 E 上的值相等上的值相等,E 至少有一个极限点在至少有一个极限点在 D内内,则函数则函数 f(z)和和 g(z)在区域在区域 D 内恒等内恒等.解析函数在其解析函数在其解析区域解析区域 D 中中:二.解析函数

14、的唯一性定理某一点邻域某一点邻域的取值的取值完全决定了完全决定了解析函数解析函数在区域在区域 D内的值内的值或或,某一弧段某一弧段上的值上的值区域区域 D考虑复变函数考虑复变函数 ,当当 时时,例如在例如在 解析解析.而而 在在 z=2发散发散.三.解析开拓1()1f zz 01(),(|1)1nnf zzzz|1z 2,()zf z 对对 区域的点区域的点,能否找到能否找到收敛的级数收敛的级数表示表示 f(z)在该点的值？在该点的值？|1z 10()nnf zz 令令1()(),(|1)f zf zz即有：即有：1()f z以以 z=0 为中心为中心,作泰勒展开：作泰勒展开：函数函数 f(z

15、)在在D内解析内解析f(z)在在D内任一点内任一点z0可展开为幂级数可展开为幂级数例例：将：将 在点在点 作泰勒展开作泰勒展开1()1f zz 210()2()(1)2nnnizfzi 5|22iz 2iz f 2(z)的收敛区域为：的收敛区域为：解：解：超出原来的收敛区域超出原来的收敛区域.从一个函数元素出发从一个函数元素出发,可以沿所有可能的方向开可以沿所有可能的方向开拓拓,直到不能开拓为止直到不能开拓为止;这时得到的解析函数称为这时得到的解析函数称为完全完全解析函数解析函数.其定义其定义域叫做该函数的域叫做该函数的自然边界自然边界.f 1(z)和和 f 2(z)互为解析开拓互为解析开拓.

16、记记(f 1,D1)为解析函数为解析函数 f(z)的的函数元素函数元素.(f 2,D2)也是也是 f(z)的的函数元素函数元素.Question:什么是解析开拓什么是解析开拓?Answer:将特定区域里有定义的将特定区域里有定义的级数形式级数形式 或或积分形式积分形式的函数扩展到其它区域的函数扩展到其它区域.例例:积分形式积分形式的解析开拓的解析开拓10(),Re0tzze tdtz 可开拓至全平面可开拓至全平面,除去奇点除去奇点0,1,zn易证易证:(1)()(1)1xxx(1)!nn故常用故常用函数表示阶乘函数表示阶乘.3.4 3.4 洛朗展开洛朗展开例例.在环域在环域 将将 展开展开.1

17、|z 1()1f zz Tips:1.仍然套用公式仍然套用公式 2.仍然注意仍然注意:展开中心和奇点位置展开中心和奇点位置.01(|1)1nnzzz 一般情形一般情形:在在 z0为中心的为中心的环域环域 可展开为可展开为广义幂级数广义幂级数1()f zz 00|zzz 解解:此例中此例中,展开中心为展开中心为 z0=0 1(1)(1)1001111(1)nnnnnnzzzzzzz 0011()()zzzz 0001()(1)zzzzz 0100()()mmmzzz 1010()()nnnzzz (1)mn 令00(:|)Notezzz 00(|)zzz 定理定理3.15 (洛朗定理洛朗定理)如

18、果函数如果函数 f(z)在圆环区域在圆环区域内解析内解析,则在则在D内可以唯一的展开成如下的收敛内可以唯一的展开成如下的收敛级数：级数：()()0nnnf zazz 展开系数为：展开系数为：c为为D内包围内圆的任一围线内包围内圆的任一围线,积分沿逆时针方向积分沿逆时针方向.0:|(0,)D RzzRRR nncfadiz 101()2()记记D1的内外边界分别为的内外边界分别为 l和和 l.由复连通区域由复连通区域的柯西积分公式：的柯西积分公式：证明：证明：作出区域作出区域 D1 ,并且并且:|1101DRzzR11,zDDD1()1()()22llfff zddiziz.当当 时时,与泰勒定

19、理中的推导相同与泰勒定理中的推导相同,有有l001()()2nnlnfdazziz 101()2()nnlfadiz 其中，其中，Tips:这里这里 不能写成不能写成 ,因为因为 f(z)在在 l 所包围区域内不完全解析所包围区域内不完全解析.na()0()!nfzn00(|)zzz 当当 时时,与泰勒定理中的推导也相似与泰勒定理中的推导也相似.此时此时 l 00|zzz 0011()()zzzz 0001()(1)zzzzz 0100()()mmmzzz .1010()()nnnzzz (1)mn 令由复连通区域的柯西积分定理由复连通区域的柯西积分定理,沿沿 l 和和 l 的积分转化为的积分

20、转化为 c 的积分的积分;c 为区域为区域D中包围内圆的任一围线中包围内圆的任一围线.01001()()2()nnlnfdzziz 1()1()()22llfff zddiziz 01001()()2()nnnfdzziz c0110()()2()nnnfdzziz c0110()()2()nnlnfdzziz 分别将分别将 在在 l 和和 l 上的上的级数展开代入级数展开代入由一致收敛性由一致收敛性,作逐项积分作逐项积分:1z 0()()nnnf zazz 101()2()nncfadiz 即有：即有：其中：其中：定理得证！定理得证！洛朗展开的唯一性（待定系数法求展开系数）洛朗展开的唯一性（

21、待定系数法求展开系数）若若 f(z)还有展开式：还有展开式：用用 乘以上式两端乘以上式两端,并逐项积分：并逐项积分：0()()nnnf zb zz 0()kzz 证明：证明：0101()()()2()nncnff zdzziz 因此因此0()()kcf z zzdz 例例2.22,1()0,1ncinIzdznn ，且且若点若点 在围线在围线c的内部的内部,则有则有 0()n kncnbzzdz 101()2()nncfadiz 而洛朗展开的系数而洛朗展开的系数 为：为：na因此因此,.证毕证毕.nnab 00()()nkncnb zzzzdz 因此因此,求和的各项中求和的各项中,仅仅 n+k

22、=-1的项不为的项不为0.即即:01()()2kkcf z zzdzi b 如果如果 f(z)在圆环在圆环D的内境界线所围的闭域的内境界线所围的闭域,即圆盘即圆盘 内解析内解析,则对洛朗展开则对洛朗展开的系数：的系数：当当n n)，则判断，则判断z0在以下表达式在以下表达式中的奇点类型：中的奇点类型：()1.()f zg z2.()()f zg z 13.()()f zg z()4.()g zf z定理定理3.17 z0是是 f(z)的的极点极点lim()0zzf z 证明：证明：a.a.必要性必要性z0为为 f(z)的的 m 阶极点阶极点,则则 f(z)的洛朗展开式为：的洛朗展开式为：101

23、00()()()1()()mmmmmf zazzazzzzz (1,0)mma ()()10mmzaazz 其中：其中：00lim()()0mzzzza 0001lim()lim()()mzzzzf zzzz b.b.充分性充分性由由 ,则则 ,使得在使得在 内内,有有F(z)解析解析,且且0lim()zzf z R 0:0|Gzz 考虑函数考虑函数()/()1F zf z 0lim()0zzF z z0为为 F(z)的可去奇点的可去奇点.定理定理3.16因此在去心邻域因此在去心邻域G上上,F(z)的洛朗展开写为的洛朗展开写为0100()()()nnF zbb zzb zz0(0|)zz 其中

24、其中lim()000zzbF z又又 ,故可设展开系数中第故可设展开系数中第m个系数个系数不为零不为零,F(z)可写为可写为()0F z mmmmF zbzzbzzm 1010()()()(1)与前面极点和零点的关系时的证明相同与前面极点和零点的关系时的证明相同,可证可证 z0 是是 f(z)的的 m 阶极点阶极点.定理证毕！定理证毕！3.3.本性奇点本性奇点证明证明:利用定义利用定义,以及以及定理定理3.16,3.17,作反证法证明作反证法证明.定理定理3.19(维尔斯特拉斯定理维尔斯特拉斯定理)f(z)的孤立奇点的孤立奇点 z0 是本性奇点的充要条件是：对于任一有限是本性奇点的充要条件是：

25、对于任一有限或无穷的复数或无穷的复数A,在在 内一定有内一定有收敛于收敛于z0的序列的序列 ,使得使得 .nz00|zzRlim()nnf zA 定理定理3.19说明说明,f(z)可在可在 z0 的去心邻域内的去心邻域内,可可无限接近任意一个复数无限接近任意一个复数,包括包括 .定理定理3.18 z0是是f(z)的的本性奇点本性奇点lim()0zzf z 或if z0是是 f(z)的可去奇点的可去奇点if z0是是 f(z)的极点的极点if z0是是 f(z)的本性奇点的本性奇点zzf z 0lim()不不定定总结：总结：若若 f(z)在在 D 内解析内解析,则则 为为 f(z)的孤立奇点的孤

26、立奇点.三.函数在无穷远点邻域内的性质无穷远点无穷远点 的去心邻域为的去心邻域为z :(0)D RzR z 为判断无穷远点处的孤立奇点类型为判断无穷远点处的孤立奇点类型,取取 ,判断判断 在点在点 处的奇点类型处的奇点类型.1z 0 ()()f z 0 是是 的可去奇点的可去奇点()z 是是 f(z)的可去奇点的可去奇点是是 的的m阶极点阶极点是是 f(z)的的m阶极点阶极点是是 的本性奇点的本性奇点是是 f(z)的本性奇点的本性奇点z z 0 ()0 ()Tips：此区域也是以此区域也是以 z=0 点为中心的环域。点为中心的环域。f(z)在区域在区域 D内的洛朗展开式为：内的洛朗展开式为：则

27、则 的洛朗展开式为：的洛朗展开式为：即即 中中 的负幂项的负幂项,为为 f(z)中中 z 的正幂项的正幂项.nnnf za z ()()()nnnf za ()()定理定理3.20 是是 f(z)的的可去奇点可去奇点、极点极点、本性本性奇点的充要条件是奇点的充要条件是 f(z)在去心邻域在去心邻域 内的洛朗展开分别内的洛朗展开分别不含不含、含、含有限个有限个、无穷个无穷个正幂正幂项项.或者或者 值分别为为值分别为为有限有限、无穷无穷、不定不定.z D Rz :lim()zf z2.有无穷多个极点有无穷多个极点 .四.整函数和亚纯函数的概念在复平面上处处解析的函数称为在复平面上处处解析的函数称为

28、整函数整函数,又称为又称为纯函数纯函数.无穷远点是整函数的唯一无穷远点是整函数的唯一奇点奇点.(整函数为常数除外整函数为常数除外)在复平面上除了极点和可去奇点外在复平面上除了极点和可去奇点外,别无其他类别无其他类型奇点的解析函数型奇点的解析函数,称为称为亚纯函数亚纯函数或或半纯函数半纯函数.例：例：1.有理分式函数有理分式函数,有限个奇点有限个奇点.1()sin zf z ()zkk 第三章第三章 解析函数的级数展开解析函数的级数展开1.幂级数及其收敛半径和收敛圆幂级数及其收敛半径和收敛圆2.泰勒展开定理泰勒展开定理3.解析开拓的意义和方法解析开拓的意义和方法4.洛朗展开定理洛朗展开定理5.孤

29、立奇点的类型：孤立奇点的类型：A.有限远点有限远点 B.无穷远点不作要求！无穷远点不作要求！a.可去奇点可去奇点b.极点极点 c.本性奇点本性奇点 知识点：知识点：基本方法：基本方法：1.计算幂级数收敛半径的计算幂级数收敛半径的比值法比值法和和根值法根值法.2.将复变函数在将复变函数在解析圆盘解析圆盘展开为展开为泰勒级数泰勒级数.在在解析环域解析环域展开为展开为洛朗级数洛朗级数.a.常用展开公式常用展开公式:nznzezn 0,|!01,|11nnzzz b.逐项微分逐项微分/逐项求导逐项求导3.有限远孤立奇点的判定有限远孤立奇点的判定 极点的阶数、极点与零点的关系极点的阶数、极点与零点的关系222111/211()(1)(1)1/2iiizizzi 10021/2(/2)11/2(1/2)nnninnziziii 收敛区域为收敛区域为5|1|222iiz 解：解：