第一篇第四章-膜系设计图示法课件.ppt

1、薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础第四章第四章 膜系设计图示法膜系设计图示法曹建章曹建章薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础 第三章讨论了对于任意多层膜反射和透第三章讨论了对于任意多层膜反射和透射特性计算的矩阵方法，这种方法是设计各种射特性计算的矩阵方法，这种方法是设计各种类型膜系的基础，也是目前最为实用的方法，类型膜系的基础，也是目前最为实用的方法，因而在应用中广泛使用，并依此编写成专门的因而在应用中广泛使用，并依此编写成专门的薄膜光学设计软件。除此之外，膜系设计还用薄膜光学设计软件。除此之外，膜系设计还用到矢量近似法和导纳图解法。对于层数比较少到矢量近似法和导纳图解法。对

2、于层数比较少的增透膜计算和设计，作为辅助手段矢量法很的增透膜计算和设计，作为辅助手段矢量法很有效。导纳图解法又称斯密斯圆图方法，该方有效。导纳图解法又称斯密斯圆图方法，该方法最早（法最早（1939年）是用于电路中求解传输线问年）是用于电路中求解传输线问题，在满足工程需要的前提条件下，简单易行，题，在满足工程需要的前提条件下，简单易行，避免了复杂的复数运算。现在，电路中的传输避免了复杂的复数运算。现在，电路中的传输薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础线计算问题，计算机在精度和速度两方面都线计算问题，计算机在精度和速度两方面都可以满足需要，所以该方法已经很少使用。可以满足需要，所以该方法已

3、经很少使用。但在薄膜光学中，导纳图解法是一种很直观但在薄膜光学中，导纳图解法是一种很直观的方法，在膜系设计中非常有用。另外，有的方法，在膜系设计中非常有用。另外，有文献仍利用该方法设计诱导滤光片，并得到文献仍利用该方法设计诱导滤光片，并得到好的结果。好的结果。4.1 4.1 矢量法矢量法 假设两个复数假设两个复数 和和 ，其，其指数形式为指数形式为（4-1）薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础用矢量表示如图用矢量表示如图4-1所示，其中所示，其中 和和 表示两表示两矢量的模，而矢量的模，而 和和 分别表示两矢量的分别表示两矢量的幅角。两复数的和（即矢量和）为幅角。两复数的和（即矢量和）

4、为这就是膜系设计矢量法的基本思想。这就是膜系设计矢量法的基本思想。矢量法有三个近似条件：膜层没有吸收；矢量法有三个近似条件：膜层没有吸收；在多层膜计算中仅考虑入射光在各个界面的在多层膜计算中仅考虑入射光在各个界面的一次反射；各个界面的振幅反射系数的模取一次反射；各个界面的振幅反射系数的模取垂直入射时的反射系数，并不是取模，这样膜垂直入射时的反射系数，并不是取模，这样膜层间由于折射率大小反射系数可出现负号。由层间由于折射率大小反射系数可出现负号。由（4-2）薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础此可见，矢量法明显存在误差。此可见，矢量法明显存在误差。现假设四层膜系如图现假设四层膜系如图4-

5、2（a）所示，入射）所示，入射介质折射率为介质折射率为 ，基底介质折射率为，基底介质折射率为 ，膜层，膜层折射率分别为折射率分别为 、和和 ，膜层几何厚，膜层几何厚薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础度分别为度分别为 、和和 。由此可写出各个界由此可写出各个界面垂直入射时的反射系数和层间相位厚度为面垂直入射时的反射系数和层间相位厚度为2322222232,cosnnrn dnn（4-3）（4-4）（4-5）（4-6）（4-7）薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础将各个界面反射系数矢量相加得到膜系振幅将各个界面反射系数矢量相加得到膜系振幅反射系数矢量为反射系数矢量为如果膜层折射率

6、大小满足如果膜层折射率大小满足那么，有那么，有如果振幅反射系数矢量大小为负，矢量指向如果振幅反射系数矢量大小为负，矢量指向原点；如果振幅反射系数矢量大小为正，矢原点；如果振幅反射系数矢量大小为正，矢量指向由原点向外。振幅反射系数矢量的相量指向由原点向外。振幅反射系数矢量的相(4-8)(4-9)(4-10)薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础位厚度取位厚度取“+”号，由式（号，由式（4-1）知，矢量图）知，矢量图矢量方位逆时针方向旋转；如果振幅反射系矢量方位逆时针方向旋转；如果振幅反射系数矢量的相位厚度取数矢量的相位厚度取“-”号，矢量图矢量方号，矢量图矢量方位顺时针方向旋转。由此可画出

7、各个界面振位顺时针方向旋转。由此可画出各个界面振幅反射系数矢量如图幅反射系数矢量如图4-2（b）所示，图）所示，图4-2（c）为振幅反射系数合成矢量。为振幅反射系数合成矢量。根据式（根据式（4-8），可得膜系反射率为），可得膜系反射率为 1.1.低折射率基底增透膜设计低折射率基底增透膜设计 例一例一 单层增透膜。单层增透膜。（4-11）薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础 假设单层膜系入射介质折射率为假设单层膜系入射介质折射率为 ，基，基底介质折射率为底介质折射率为 ，膜层折射率为，膜层折射率为 ，膜层，膜层几何厚度为几何厚度为 ，如图，如图4-3（a）所示，由此根）所示，由此根据式（

8、据式（4-3）和式（）和式（4-4），可写出两个界面垂），可写出两个界面垂直入射时的反射系数和相位厚度为直入射时的反射系数和相位厚度为 薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础由于是增透膜，由于是增透膜，两振幅反射系，两振幅反射系数矢量见图数矢量见图4-3（b），振幅反射系数合成矢量），振幅反射系数合成矢量见图见图4-3（c）。显然，当相位厚度变化时，合）。显然，当相位厚度变化时，合成矢量的轨迹为一个圆。成矢量的轨迹为一个圆。在垂直入射的情况下，如果膜层光学厚度在垂直入射的情况下，如果膜层光学厚度取四分之一波长，那么相位厚度为取四分之一波长，那么相位厚度为薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄

9、膜技术基础（4-12）在中心波长在中心波长 处，有处，有由此可知两振幅反射系数矢量方向相反（见由此可知两振幅反射系数矢量方向相反（见图图4-3（c）虚线矢量），合成矢量取最小值。）虚线矢量），合成矢量取最小值。如果两矢量大小相等，则在中心波长处反射如果两矢量大小相等，则在中心波长处反射率为零。根据式（率为零。根据式（4-3）和式（）和式（4-4）知，零反）知，零反射条件为射条件为（4-13）（4-14）薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础求解可得求解可得式（式（4-15）与式（）与式（3-51）完全相同。因此，当）完全相同。因此，当入射介质和基底介质折射率给定之后，利用入射介质和基底介

10、质折射率给定之后，利用矢量法可简单确定零反射膜层折射率和相位矢量法可简单确定零反射膜层折射率和相位厚度。厚度。例二例二 两层增透膜两层增透膜。如图如图4-4（a）所示为两层增透膜结构，假）所示为两层增透膜结构，假设入射介质折射率为设入射介质折射率为 ，基底介质折射率为，基底介质折射率为 ，膜层折射率分别为膜层折射率分别为 和和 ，且，且 ，膜层几何厚度分别为膜层几何厚度分别为 和和 。根据式（。根据式（4-3）、）、（4-15）薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础式（式（4-4）和式（）和式（4-5），可写出三个界面垂直），可写出三个界面垂直

11、入射时的反射系数和垂直入射时的相位厚度分入射时的反射系数和垂直入射时的相位厚度分别为别为由此可画出三个振幅反射系数矢量图由此可画出三个振幅反射系数矢量图4-4（b）和图和图4-4（c），三个矢量合成都可以得到封闭），三个矢量合成都可以得到封闭薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础三角形，即零反射。但由于矢量图三角形，即零反射。但由于矢量图4-4（b）的相位厚度取值大，所以选择图的相位厚度取值大，所以选择图4-4（c）为好，）为好，其合成矢量见图其合成矢量见图4-4（d）。相位厚度小也具）。相位厚度小也具有对入射光波长的敏感度低和增透波段较宽有对入射光波长的敏感度低和增透波段较宽的优点。的

12、优点。假设入射介质为空气假设入射介质为空气 ，基底介质为，基底介质为玻璃玻璃 ，两介质膜层折射率分别为，两介质膜层折射率分别为 （氟化镁（氟化镁）和）和 （二氧化铈（二氧化铈），中心波长），中心波长取取 。由此可求得。由此可求得薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础22.2 1.50.1892.2 1.5r根据余弦定理，由图根据余弦定理，由图4-4（d）可得）可得数值代入得到两层膜的相位变化为数值代入得到两层膜的相位变化为在垂直入射情况下，两层膜光学厚度为在垂直入射情况下，两层膜光学厚度为薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础根据式（根据式（4-8），有），有膜系反射率为膜系反射率

13、为数值代入，得到中心波长处的反射率为数值代入，得到中心波长处的反射率为薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础图图4-5是两层增透膜系是两层增透膜系的反射率矢量法理论的反射率矢量法理论计算曲线。计算曲线。2.2.高折射率基底三层增透膜设计高折射率基底三层增透膜设计 例三例三 设三层增透膜系为设三层增透膜系为薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础入射介质为空气入射介质为空气 ,基底介质为锗基底介质为锗 ，三层介质膜折射率分别记为三层介质膜折射率分别记为 ，和和 ，且满，且满足足三层介质膜光学厚度均为三层介质膜光学厚度均为 ，其膜系构成如，其膜系构成如图图4-6（a）所示。根据式（）所示

14、。根据式（4-3）至式（）至式（4-7）可知，反射系数可知，反射系数 、和和 均取负值，四均取负值，四个矢量均指向原点。在垂直入射的情况下，当个矢量均指向原点。在垂直入射的情况下，当膜层光学厚度膜层光学厚度薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础时，相位厚度为时，相位厚度为或或如果入射光波长如果入射光波长 ，即，即 ，则有，则有四个矢量均指向原点，相位相差四个矢量均指向原点，相位相差 ，如图，如图4-6（b）所示。如果四个矢量大小相等，就可）所示。如果四个矢量大小相等，就可构成如图构成如图4-6（c）所示的封闭四边形，合成矢）所示的封闭四边形，合成矢0123242g薄膜光学与薄膜技术基础薄

15、膜光学与薄膜技术基础量为零，即在波长量为零，即在波长 处出现零反射处出现零反射 。薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础 如果入射光波长为中心波长如果入射光波长为中心波长 ,即即 ,则有则有四个矢量彼此平行并指向原点，如图四个矢量彼此平行并指向原点，如图4-6（d）所示。如果四个矢量大小相等，就构成如图所示。如果四个矢量大小相等，就构成如图4-6（e）所示的平行矢量，其合成矢量为零，）所示的平行矢量，其合成矢量为零，即在即在 处出现零反射处出现零反射 。如果入射光波长为如果入射光波长为 ，即，即 ，则，则有有薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础四个矢量方向指向原点，相位相差四个矢

16、量方向指向原点，相位相差 ，如图，如图4-6（f）所示。如果四个矢量大小相等，合成）所示。如果四个矢量大小相等，合成矢量就构成如图矢量就构成如图4-6（g）所示的封闭四边形，）所示的封闭四边形，矢量和为零，即在矢量和为零，即在 出现零反射出现零反射 。如果入射光波长取如果入射光波长取 ，即，即 ，则有，则有四个矢量相位相差四个矢量相位相差 并指向原点，如图并指向原点，如图4-6（h）所示。四个矢量同向，合成矢量取最大）所示。四个矢量同向，合成矢量取最大值，反射率不为零。如果取值，反射率不为零。如果取 ，合成矢量，合成矢量也取最大值，反射率与也取最大值，反射率与 的反射率相同。的反射率相同。综上

17、所述，可画出三层增透膜设计反射率曲线综上所述，可画出三层增透膜设计反射率曲线薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础如图如图4-7所示。设计过程中如果假定反射系数所示。设计过程中如果假定反射系数的大小相等的大小相等，即，即根据合分比定理，有根据合分比定理，有求解可得求解可得薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础将将 和和 代入，得到代入，得到这就是制备三层增透膜所需材料的折射率。这就是制备三层增透膜所需材料的折射率。但由于可供选择的材料有限，一种近似选择但由于可供选择的材料有限，一种近似选择方案是方案是该增透膜的实测透射率曲线如图该增透膜的实测透射率曲线如图4-8所示，其所示，其中心

18、波长选择中心波长选择 .(4-16)薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础 矢量法简单易行，不难推广到四层、五矢量法简单易行，不难推广到四层、五层和更多层增透膜设计中去，以得到更宽的层和更多层增透膜设计中去，以得到更宽的低反射区域。低反射区域。4.2 4.2 导纳图解法导纳图解法 光学等效导纳光学等效导纳 可以是单一基底介质的有可以是单一基底介质的有薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础效导纳，也可以是多层介质膜系的等效导纳，效导纳，也可以是多层介质膜系的等效导纳，整个膜系多界面的反射和透射问题转化为由整个膜系多界面的反射和透射问题转化为由 和和 表达的单一等效界面的反射和透射，因

19、表达的单一等效界面的反射和透射，因此此光学等效导纳光学等效导纳 的变化反映了膜系的反射的变化反映了膜系的反射和透射以及相位变化特性，其轨迹可直观描和透射以及相位变化特性，其轨迹可直观描述薄膜系统的特性述薄膜系统的特性，给膜系设计带来了很大，给膜系设计带来了很大方便。方便。4.2.1 4.2.1 单一等效界面等反射率导纳圆图和等单一等效界面等反射率导纳圆图和等相位导纳圆图相位导纳圆图 在垂直入射情况下，由式（在垂直入射情况下，由式（3-63）可知，）可知，对于对于S-波偏振和波偏振和P-波偏振光学有效导纳均为波偏振光学有效导纳均为薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础(4-17)表示介质膜

20、层的折射率表示介质膜层的折射率。现假设入射介质折现假设入射介质折射率为射率为 ，透射介质的光学等效导纳为透射介质的光学等效导纳为其中其中 为介质的等效折射率，为介质的等效折射率，构成光学等构成光学等效导纳复平面，效导纳复平面，对应上半复平面，对应上半复平面，对应下半复平面。需要注意的是，此处对应下半复平面。需要注意的是，此处 为光为光学等效导纳的虚部，与吸收介质的消光系数学等效导纳的虚部，与吸收介质的消光系数 不同，为了形式上的统一此处选取虚部为不同，为了形式上的统一此处选取虚部为 。根据式（根据式（3-65）可写出界面反射率为）可写出界面反射率为(4-18)薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄

21、膜技术基础(4-19)展开并整理，可得展开并整理，可得记记则有则有显然这是在复平面显然这是在复平面 上关于上关于 和和 的圆方的圆方(4-20)（4-21）（4-22）薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础程，也称程，也称导纳轨迹方程导纳轨迹方程，圆心，圆心 位于复平位于复平面实轴面实轴 ，圆半径为，圆半径为 。如果给定反射率。如果给定反射率 ，和和 就是定就是定值，导纳轨迹方程值，导纳轨迹方程就是就是等反射率圆等反射率圆，如图如图4-9所示。当所示。当 ，等反射率，等反射率圆缩为在实轴上的圆缩为在实轴上的一点一点 。又根据式（又根据式（3-65），将界面反射），将界面反射薄膜光学与薄膜

22、技术基础薄膜光学与薄膜技术基础系数写成三角函数形式，有系数写成三角函数形式，有令式（令式（4-23）中的实部和虚步分别相等，得到）中的实部和虚步分别相等，得到两式中消去两式中消去 ，得到，得到(4-23)(4-24)(4-25)薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础令令则有则有这也是在复平面这也是在复平面 上关于上关于 和和 的圆方程，的圆方程，圆心圆心 位于复平面虚轴位于复平面虚轴 ，圆半径为，圆半径为 。如果给定相位如果给定相位 ，和和 就是定值，导纳轨就是定值，导纳轨迹方程就是迹方程就是等相位圆等相位圆，如图，如图4-9所示。所示。由式（由式（4-25）和式（）和式（4-26）可知

23、，等相位）可知，等相位圆具有如下特点：圆具有如下特点：（4-26）（4-27）薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础1.当当 ，圆心，圆心 位位于复平面虚轴上正向无穷远处，等相位圆半于复平面虚轴上正向无穷远处，等相位圆半径径 ，导纳轨迹对应于实轴。，导纳轨迹对应于实轴。2.当当 ，圆心，圆心 位于复平面虚轴上负向无穷远处，等相位圆位于复平面虚轴上负向无穷远处，等相位圆半径半径 ，导纳轨迹也对应于实轴。，导纳轨迹也对应于实轴。3.当当 ，圆心，圆心 位于坐位于坐标原点，等相位圆半径标原点，等相位圆半径 ，即等相位圆过，即等相位圆过点点 。4.令式（令式（4-25）中）中 ，得到，得到(4-

24、28)薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础表明不管表明不管 取何值等相位圆必过点取何值等相位圆必过点 ，即，即等相位圆均相交于实轴等相位圆均相交于实轴 处。处。5.幅角幅角 、和和 对应的对应的等相位圆将复平面化为四个象限。等相位圆将复平面化为四个象限。等反射率导纳圆图和等相位导纳圆图作等反射率导纳圆图和等相位导纳圆图作为光学等效导纳为光学等效导纳Y的函数，的函数，包含了膜系层间厚包含了膜系层间厚度和膜层折射率的全部信息，也反映出相同度和膜层折射率的全部信息，也反映出相同大小的反射率可通过不同的膜系来实现。大小的反射率可通过不同的膜系来实现。换换句话说，就是句话说，就是满足圆方程的点满

25、足圆方程的点 都可以得都可以得到相同的反射率到相同的反射率，这样就给选择镀膜参数提，这样就给选择镀膜参数提供了方便。供了方便。薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础4.2.2 4.2.2 单层膜系等折射率导纳圆图和等相位单层膜系等折射率导纳圆图和等相位导纳圆图导纳圆图 对于如图对于如图4-10（a）所示的单层膜系，假）所示的单层膜系，假设入射介质折射率为设入射介质折射率为 ，膜层折射率为，膜层折射率为 ，膜层厚度为膜层厚度为 ，基底介质折射率为，基底介质折射率为 ，则此，则此单层膜系可等效为如图单层膜系可等效为如图4-10（b）所示的单界）所示的单界薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技

26、术基础面膜系。面膜系。根据式（根据式（3-61），在垂直入射情况下可写），在垂直入射情况下可写出单层膜系组合特征向量为出单层膜系组合特征向量为式中式中由此可得单层膜系光学等效导纳为由此可得单层膜系光学等效导纳为(4-29)(4-30)(4-31)薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础令式（令式（4-31）中的实部和虚步分别相等，得到）中的实部和虚步分别相等，得到两式中消去两式中消去 ，简化得到，简化得到令令(4-32)(4-33)(4-34)薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础则有则有此式是在复平面此式是在复平面 上关于上关于 和和 的圆方程，圆的圆方程，圆心心 位于复平位于复平

27、面实轴面实轴 ，圆，圆半径为半径为 。如果。如果(4-35)给定膜层折射率给定膜层折射率 和和 ，和和 就是定值，导就是定值，导纳轨迹方程就是等折射率圆，如图纳轨迹方程就是等折射率圆，如图4-11所示。所示。薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础 在式（在式（4-32）中消去）中消去 ，得到，得到令令则有则有此式也是在复平面此式也是在复平面 上关于上关于 和和 的圆方的圆方(4-36)（4-37）（4-38）薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础程，圆心程，圆心 位于复平面虚轴位于复平面虚轴 ，圆半，圆半径为径为 。如果给定相位。如果给定相位 ，和和 就是定值，就是定值，导纳轨迹方

28、程就是等相位圆，如图导纳轨迹方程就是等相位圆，如图4-11所示。所示。下面就等折射率圆方程（下面就等折射率圆方程（4-35）和等相位）和等相位圆方程（圆方程（4-38）作简单讨论。）作简单讨论。1.由式（由式（4-35），取），取 ，得到等折射率，得到等折射率圆与复平面实轴的交点为圆与复平面实轴的交点为A点对应未镀膜基底介质的折射率，点对应未镀膜基底介质的折射率，C点对应点对应膜层光学厚度膜层光学厚度 时的等效折射率，见时的等效折射率，见（4-39）薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础式（式（3-50）。在膜层折射率）。在膜层折射率 给定的情况下，给定的情况下，且且 ，式（，式（4-3

29、5）的圆曲线反映了光学等）的圆曲线反映了光学等效导纳效导纳Y随膜层厚度随膜层厚度 的变化，如图的变化，如图4-12（a）所示。当膜层光学厚度继续增大所示。当膜层光学厚度继续增大,至至 ，圆曲线又从点圆曲线又从点C又回到点又回到点A，这就是第三章讨，这就是第三章讨论过的论过的“无效无效”层，因此，在光学等效导纳复层，因此，在光学等效导纳复平面上，平面上，圆代表圆代表“无效无效”层。层。2.当当 时，光学等效导纳时，光学等效导纳Y随膜层厚度随膜层厚度 的变化，如图的变化，如图4-12（b）所示，同样）所示，同样A点对应点对应于未镀膜基底介质的折射率，而于未镀膜基底介质的折射率，而C点对应于膜点对应

30、于膜层光学厚度层光学厚度 时的等效折射率。时的等效折射率。薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础 3.由式（由式（4-26）可以看出，对于给定的反射）可以看出，对于给定的反射率率R，等相位导纳圆的圆心，等相位导纳圆的圆心 随着幅角随着幅角 的变化从虚轴正向向负向移动，而根据式（的变化从虚轴正向向负向移动，而根据式（4-薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础-37），对于给定的折射率），对于给定的折射率 ，单层膜的等相，单层膜的等相位导纳圆的圆心位导纳圆的圆心 随相位厚度的变化从虚随相位厚度的变化从虚轴负向向正向移动，两者正好相反，如图轴负向向正向移动，两者正好相反，如图4-11所示

31、。所示。4.取取 ，代入式（，代入式（4-38），得到），得到表明等相位圆必过点表明等相位圆必过点 ，即等相位导纳圆，即等相位导纳圆均相交于实轴均相交于实轴 处。处。5.半圆半圆 代表相位厚度代表相位厚度 ，即光学厚，即光学厚度度 ,B点对应的等相位厚度为点对应的等相位厚度为 ，所以所以 和和 代表的光学厚度均为代表的光学厚度均为 ，和和(4-40)薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础 亦是如此。亦是如此。6.在图在图4-12等折射率导纳圆图上每一点都代等折射率导纳圆图上每一点都代表整个膜系的光学等效导纳表整个膜系的光学等效导纳Y,任取一点任取一点 ,图图4-9等反射率导纳圆图上可找到

32、相对应的点等反射率导纳圆图上可找到相对应的点 ，如果反射率，如果反射率R满足设计要求，图满足设计要求，图4-12中中点点 相相对应对应的的 就可作为相位厚度的值，就可作为相位厚度的值，由此也可得到膜层厚度由此也可得到膜层厚度 。4.2.3 4.2.3 多层膜系等折射率导纳圆图多层膜系等折射率导纳圆图 图图4-13（a）是两层膜系构成，入射介质）是两层膜系构成，入射介质折射率为折射率为 ,两膜层折射率分别为两膜层折射率分别为 和和 ，记低折射率膜，记低折射率膜，记高折射率膜，膜层厚度记高折射率膜，膜层厚度薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础分别为分别为 和和 ，膜层光学厚度均为，膜层光学

33、厚度均为 ，基，基底介质折射率底介质折射率 。两层膜系等效为单一界面。两层膜系等效为单一界面膜系可采用自下而上的逐次等效法，即膜系可采用自下而上的逐次等效法，即 ，如图，如图4-13（b）和）和4-13（c）所示。）所示。1GnY 根据式（根据式（3-61），在垂直入射情况下可写），在垂直入射情况下可写出两层膜系组合特征向量为出两层膜系组合特征向量为薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础(4-41)式中式中由式（由式（4-41），第一次等效为），第一次等效为由此得到由此得到(4-42)(4-43)(4-44)薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础令式（令式（4-44）中的实部和虚步

34、分别相等，得到）中的实部和虚步分别相等，得到两式中消去两式中消去 ，简化得到，简化得到令令(4-45)(4-46)（4-47）薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础则有则有此式就是折射率此式就是折射率 所对应的等折射率所对应的等折射率导纳圆。由式（导纳圆。由式（4-39）可知，在复平面上可知，在复平面上等折射率导纳圆与等折射率导纳圆与实轴的交点为实轴的交点为（4-48）（4-49）薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础如图如图4-14所示，其中所示，其中B点对应膜层点对应膜层2光学厚度光学厚度为为 。根据式（根据式（4-41），第二次等效可表达为），第二次等效可表达为由此得到由此得

35、到由于膜层厚度为由于膜层厚度为 ，B点为衔接点，其光学点为衔接点，其光学等效导纳取实数等效导纳取实数（4-50）（4-51）薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础（4-52）代入式（代入式（4-51），并令式（），并令式（4-51）中的实部和）中的实部和虚步分别相等，有虚步分别相等，有两式中消去两式中消去 ，简化得到，简化得到（4-53）（4-54）薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础令令则有则有此式就是折射率此式就是折射率 所对应的等折射率导纳圆。所对应的等折射率导纳圆。令令 ，并将式（，并将式（4-52）代入，由圆方程）代入，由圆方程（4-56）得到在复平面上等折射率圆与实轴

36、的）得到在复平面上等折射率圆与实轴的交点为交点为（4-55）（4-56）（4-57）薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础其中其中C点对应膜层点对应膜层1光学厚度为光学厚度为 ，如图，如图4-14所示。所示。如果膜层如果膜层2的光学厚度任意取值，等效衔的光学厚度任意取值，等效衔接点就不在接点就不在实轴上实轴上，等折射率导纳圆上相对，等折射率导纳圆上相对应的光学等效导纳应的光学等效导纳 取复取复值值.设设光学等效导纳光学等效导纳为为式中式中 和和 由式（由式（4-44）求解得到）求解得到（4-58）（4-59）薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础将将 代入式（代入式（4-51），并

37、令式中实部和虚步），并令式中实部和虚步分别相等，有分别相等，有两式中消去两式中消去 ，简化得到简化得到令令（4-60）（4-61）薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础（4-62）式（式（4-61）就变为与式（）就变为与式（4-56）形式完全相同）形式完全相同的圆方程，表明膜系光学厚度任意取值，等折的圆方程，表明膜系光学厚度任意取值，等折射率导纳圆图的形式不变，仅改变圆心位置和射率导纳圆图的形式不变，仅改变圆心位置和半径。半径。例四例四 如图如图4-13(a)所示所示,设膜系参数为设膜系参数为 ,，试，试求膜系光学等效导纳求膜系光学等效导纳Y。解解 由式（由式（4-57）可知，膜系光学等

38、效导纳为）可知，膜系光学等效导纳为薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础(4-63)数值代入得到数值代入得到利用式（利用式（4-19），求得），求得 。通常的做法。通常的做法是在等反射率圆图上找到与是在等反射率圆图上找到与Y相对应的点，该相对应的点，该点对应的反射率值点对应的反射率值R和相位和相位 就是膜系中心波就是膜系中心波长长 处的反射率和相位。除此之外，由式（处的反射率和相位。除此之外，由式（4-19）可知，如果膜系光学等效导纳）可知，如果膜系光学等效导纳Y与入射介与入射介质折射率质折射率 越接近，反射率越接近，反射率R值越小，所以当值越小，所以当(4-64)薄膜光学与薄膜技术基础

39、薄膜光学与薄膜技术基础入射介质折射率入射介质折射率 给定之后，也可以由等折射给定之后，也可以由等折射率导纳圆图直接对膜系在中心波长率导纳圆图直接对膜系在中心波长 处的反射处的反射率率R做出判断，如果做出判断，如果 ，反射率，反射率 ，就，就近似是零反射。近似是零反射。例五例五 四层膜系构成如图四层膜系构成如图4-15（a）所示，膜）所示，膜层光学厚度均为层光学厚度均为 ，试画出该膜系等折射，试画出该膜系等折射率导纳圆图。率导纳圆图。解解 采用逐次等效法。根据式（采用逐次等效法。根据式（4-46），第），第一次等效可得圆方程一次等效可得圆方程薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础由此求得与

40、导纳图实轴交点为由此求得与导纳图实轴交点为薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础交点交点B光学厚度为光学厚度为 ，该点光学等效导纳，该点光学等效导纳 取实数，有取实数，有由于由于 ，等折射率导纳圆对应于，等折射率导纳圆对应于 。根据式（根据式（4-54）知，第二次等效可得圆方）知，第二次等效可得圆方程为程为该圆与导纳图实轴交点为该圆与导纳图实轴交点为薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础C点对应光学厚度点对应光学厚度 ，该点光学等效导纳，该点光学等效导纳 取实数，有取实数，有由于由于 ，等折射率导纳圆对应于，等折射率导纳圆对应于 。又根据式（又根据式（4-54）知，第三次等效可得圆

41、）知，第三次等效可得圆方程为方程为该圆与导纳图实轴交点为该圆与导纳图实轴交点为薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础D点对应光学厚度点对应光学厚度 ，该点光学等效导纳，该点光学等效导纳 取值为取值为由于由于 ，等折射率导纳圆对应于，等折射率导纳圆对应于 。第四次等效，同理可得等折射率导纳圆第四次等效，同理可得等折射率导纳圆与实轴交点为与实轴交点为光学等效导纳光学等效导纳 取值为取值为薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础由于由于 ，等折射率导纳圆对应于，等折射率导纳圆对应于 。取取 ，计，计算可得算可得由此可画出膜系等折射率导纳圆图如图由此可画出膜系等折射率导纳圆图如图4-15（b

42、）所示。）所示。4.3 4.3 金属膜导纳圆图金属膜导纳圆图 金属膜存在吸收损耗，折射率金属膜存在吸收损耗，折射率 取复数取复数薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础形式（形式（1-10）。在垂直入射的情况下，由式）。在垂直入射的情况下，由式（3-70）可知，对于）可知，对于S-波偏振和波偏振和P-波偏振金属波偏振金属膜的光学有效导纳为膜的光学有效导纳为式中式中 为金属膜的折射率，为金属膜的折射率，为消光系数。为消光系数。假设单层膜系构成入射介质折射率为假设单层膜系构成入射介质折射率为 ，金，金属膜复折射率属膜复折射率 ，基底介质折射率，基底介质折射率为为 。根据式（。根据式（3-69）

43、可写出金属膜相位厚）可写出金属膜相位厚度为度为(4-67)(4-68)薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础显然，与无吸收介质的情况不同，金属膜相位显然，与无吸收介质的情况不同，金属膜相位厚度为复数，不能采用厚度为复数，不能采用4.2节的方法进行处节的方法进行处理。理。为了得到金属膜导纳圆图，首先假定式为了得到金属膜导纳圆图，首先假定式（4-68）中）中 （4.2已经讨论）。已经讨论）。为简单起见，记为简单起见，记由于由于(4-69)（4-70）薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础代入可得代入可得根据式（根据式（3-68），可写出膜系特征向量为），可写出膜系特征向量为由此得到膜系

44、等效导纳由此得到膜系等效导纳（4-71）（4-72）薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础（4-73）令式（令式（4-73）中的实部和虚部分别相等，有）中的实部和虚部分别相等，有两式中消去两式中消去，简化得到，简化得到（4-74）（4-75）薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础令令则有则有这就是消光系数为这就是消光系数为 的金属膜导纳圆图方程，的金属膜导纳圆图方程，圆心为圆心为 ，圆半径为，圆半径为 。当。当 ，求解可，求解可得实轴上两交点为得实轴上两交点为而当而当 ，得到虚轴两交点为，得到虚轴两交点为（4-76）（4-77）（4-78）薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基

45、础（4-79）式（式（4-78）和式（）和式（4-79）表明，金属膜导纳圆）表明，金属膜导纳圆在导纳图实轴上在导纳图实轴上 仅有交点仅有交点 ，而在，而在虚轴上存在两个交点虚轴上存在两个交点 和和 ，并且不，并且不管管 为何值，虚轴上交点不变。消光系数为为何值，虚轴上交点不变。消光系数为 的金属膜导纳圆如图的金属膜导纳圆如图 4-16（a）所示（实）所示（实线）。线）。在式（在式（4-74）中消去）中消去，得到，得到（4-80）薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础令令（4-81）薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础得到金属膜等相位圆方程为得到金属膜等相位圆方程为圆心为圆心为 ，

46、圆半径为，圆半径为 。消光系数为。消光系数为 的金属膜等相位导纳圆如图的金属膜等相位导纳圆如图4-16（a）所示）所示（虚线）。（虚线）。上述讨论假定上述讨论假定 ，但实际上金属膜的，但实际上金属膜的折射率并不为零。比如可见光波段，金属铂、折射率并不为零。比如可见光波段，金属铂、金、银和铝在波长金、银和铝在波长 的复折射率分别的复折射率分别为为 铂（铂（Pt）：）：（4-82）薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础 金（金（Au）：）：银（银（Ag）：）：铝（铝（Al）:对于金和银，比值对于金和银，比值 约为约为 和和 ，铂和，铂和铝约为铝约为 和和 。如果比值。如果比值 比较大，则比较

47、大，则金属膜的导纳图与金属膜的导纳图与 的情况很接近，仅需的情况很接近，仅需要将图要将图4-16（a）依）依 的大小逆时针方向旋转的大小逆时针方向旋转一个小的角度，银膜的导纳圆图如图一个小的角度，银膜的导纳圆图如图4-16（b）所示，导纳圆均相交于点所示，导纳圆均相交于点 和和 点点。如果金属膜如果金属膜 比值比较小，其导纳圆图与比值比较小，其导纳圆图与 的情况相差比较大，其导纳圆图是沿螺的情况相差比较大，其导纳圆图是沿螺薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础旋线终止于点旋线终止于点 。4.4 4.4 膜系层间电场分布膜系层间电场分布 导纳图的另外一种用途是对于给定膜系的导纳图的另外一种

48、用途是对于给定膜系的反射率反射率R可画出膜系内的电场分布，这对于分可画出膜系内的电场分布，这对于分析薄膜抗激光损伤的能力很有帮助。析薄膜抗激光损伤的能力很有帮助。假设膜系入射介质折射率为假设膜系入射介质折射率为 ，透射介质，透射介质光学等效导纳为光学等效导纳为 ，对于各向同性无，对于各向同性无损耗介质膜系，根据式（损耗介质膜系，根据式（2-223），在界面两），在界面两侧入射波、反射波和透射波满足能量守恒侧入射波、反射波和透射波满足能量守恒（4-83）薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础移项，并利用定义式（移项，并利用定义式（2-218）和式（）和式（2-220），），得到得到假设入射

49、光光强为假设入射光光强为 ，根据光强的定义式，根据光强的定义式（1-55），有），有（4-84）（4-85）薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础由于由于 ，代入得到，代入得到在垂直入射的情况下，并假定入射光强在垂直入射的情况下，并假定入射光强 ，而而 ，代入得到，代入得到该式表明，当膜系反射率该式表明，当膜系反射率R不变时，膜系内任不变时，膜系内任一点透射电场强度的大小一点透射电场强度的大小 与等效折射率与等效折射率（4-86）（4-87）薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础的平方根成反的平方根成反比。图比。图4-17所示所示为入射光强为入射光强 时，电场强度时，电场强度在导纳图中随在导纳图中随等效折射率等效折射率 的变化。显然，的变化。显然，电场强度等值电场强度等值线平行于导纳线平行于导纳图虚轴。图虚轴。薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础薄膜光学与薄膜技术基础