第7章-参数估计(小结与典型例题选讲)课件.ppt

1、第七章第七章 参数估计参数估计小结与例题选讲小结与例题选讲一、重点与难点一、重点与难点三、典型例题三、典型例题二、主要内容二、主要内容一、重点与难点一、重点与难点1.重点重点最大似然估计最大似然估计.两个正态总体参数的区间估计两个正态总体参数的区间估计.2.难点难点置信度置信度1-与置信区间与置信区间.矩估计量矩估计量估计量的评选估计量的评选二、主要内容二、主要内容最大似然估最大似然估计量计量似然函数似然函数无偏性无偏性正态总正态总体均值体均值方差的方差的置信区置信区间间有效性有效性置信区间和上下限置信区间和上下限求置信区间的求置信区间的步骤步骤一致性一致性矩估计量矩估计量 用样本矩来估计总体

2、矩用样本矩来估计总体矩,用样本矩的连续用样本矩的连续函数来估计总体矩的连续函数函数来估计总体矩的连续函数,这种估计法称这种估计法称为为矩估计法矩估计法.矩估计法的具体做法矩估计法的具体做法:,1,2,llME Xlk令,21的方程组的方程组个未知参数个未知参数这是一个包含这是一个包含kk .,21k 解出其中解出其中.,2121量量这个估计量称为矩估计这个估计量称为矩估计估计量估计量的的分别作为分别作为用方程组的解用方程组的解kk 最大似然估计量最大似然估计量)(,21 Lxxxn选取使似然函数选取使似然函数时时得到样本值得到样本值,的估计值的估计值作为未知参数作为未知参数取得最大值的取得最大

3、值的 ).;,(max);,(2121 nnxxxLxxxL 即即)(可能的取值范围可能的取值范围是是其中其中 ),(,2121nnxxxxxx 记为记为有关有关与样本值与样本值这样得到的这样得到的),(21nXXX,的最大似然估计值的最大似然估计值参数参数.的最大似然估计量的最大似然估计量参数参数 似然函数似然函数属离散型属离散型设总体设总体 X.1 ),;();,()(121niinxpxxxLL.)(称为样本似然函数称为样本似然函数 L属连续型属连续型设总体设总体 X.2),;();,()(121 niinxfxxxLL.)(称为样本的似然函数称为样本的似然函数 L正态总体均值方差的置信

4、区间与上下限正态总体均值方差的置信区间与上下限 .1的置信区间的置信区间均值均值 单个正态总体单个正态总体 ,)1(2为已知为已知 1 的置信区间的置信区间的一个置信水平为的一个置信水平为 1/2.Xun ,)2(2为未知为未知 1 的置信区间的置信区间的置信水平为的置信水平为 1/2(1).1nSXtnn 12的置信区间的置信区间的置信水平为的置信水平为方差方差 220011221/2/2()(),.()()nniiiiXXnn .22的置信区间的置信区间方差方差 0(1)=,已知 1的置信区间的置信区间的一个置信水平为的一个置信水平为标准差标准差 220011221/2/2()(),.()

5、()nniiiiXXnn 12的置信区间的置信区间的置信水平为的置信水平为方差方差 22221/2/2,.(1)(1)nnnSnSnn(2),未知 1的置信区间的置信区间的一个置信水平为的一个置信水平为标准差标准差 221/2/2,.(1)(1)nnnSnSnn .121的置信区间的置信区间两个总体均值差两个总体均值差 ,)1(2221均为已知均为已知和和 1 21的置信区间的置信区间的一个置信水平为的一个置信水平为 22121/212.XYunn两个正态总体两个正态总体 ,)2(2221均为未知均为未知和和 1 21的近似置信区间的近似置信区间的一个置信水平为的一个置信水平为 22121/2

6、12.SSXYunn ,)3(222221为未知为未知但但 1 21的置信区间的置信区间的一个置信水平为的一个置信水平为 1/2121211(2).wXYtnnSnn2222112212,.2wwwn Sn SSSSnn其中 .22221的置信区间的置信区间两个总体方差比两个总体方差比 12,.(1)总体均值为已知的情况 12221的置信区间的置信区间的一个置信水平为的一个置信水平为 221111221/2/22211()()11,.(,)(,)()()mmiiiinnjjjjnXnXFm nFm nmYmY12,.(2)总体均值为未知的情况 12221的置信区间的置信区间的一个置信水平为的一

7、个置信水平为 *2*211*2*221/22/211,.(1,1)(1,1)mmnnSSSFmnSFmn无偏性无偏性的一个样本，的一个样本，为总体为总体若若XXXXn,21 ,的分布中的待估参数的分布中的待估参数是包含在总体是包含在总体 X )(的取值范围的取值范围是是 12(,)(),.nXXXEE若估计量的数学期望存在 且对于任意有则称是 的无偏估计量有效性有效性.,212121有效有效较较则认为则认为更密集更密集的附近较的附近较的观察值在真值的观察值在真值相同的情况下相同的情况下在样本容量在样本容量如果如果和和的两个无偏估计量的两个无偏估计量比较参数比较参数 n 由于方差是随机变量取值与

8、其数学期望的由于方差是随机变量取值与其数学期望的偏离程度偏离程度,所以无偏估计以方差小者为好所以无偏估计以方差小者为好.111222121212(,)(,),Var,.nnXXXXXXVar设与都是 的无偏估计量若有则称较有效相合性相合性(一致性或渐近一致性一致性或渐近一致性).,),(,),(2121的相合估计量的相合估计量为为则称则称依概率收敛于依概率收敛于时时当当若对于任意若对于任意的估计量的估计量为参数为参数若若 nnXXXnXXX 置信区间和置信上限、置信下限置信区间和置信上限、置信下限,1),(),(),(),(,1),(0 ,);(2121212121 nnnnnXXXXXXPX

9、XXXXXXXXxFX满足满足和和确定的两个统计量确定的两个统计量若由样本若由样本对于给定值对于给定值数数含有一个未知参含有一个未知参的分布函数的分布函数设总体设总体.1 ,1,1),(为置信水平为置信水平上限上限区间的置信下限和置信区间的置信下限和置信的双侧置信的双侧置信分别称为置信水平为分别称为置信水平为和和区间区间的置信的置信的置信水平为的置信水平为是是则称随机区间则称随机区间 求置信区间的一般步骤求置信区间的一般步骤.)(,);,(:,)1(2121 包括包括数数且不依赖于任何未知参且不依赖于任何未知参的分布已知的分布已知并且并且其中仅包含待估参数其中仅包含待估参数的函数的函数寻求一个

10、样本寻求一个样本ZXXXZZXXXnn.1);,(,1 )2(21 bXXXZaPban使使定出两个常数定出两个常数对于给定的置信水平对于给定的置信水平.1),(,),(,),(,);,()3(212121的置信区间的置信区间的一个置信水平为的一个置信水平为就是就是那么那么都是统计量都是统计量其中其中的不等式的不等式得到等价得到等价若能从若能从 nnnXXXXXXbXXXZa三、典型例题三、典型例题解解.,)10(,21的无偏估计量的无偏估计量并验证它是达到方差界并验证它是达到方差界的最大似然估计量的最大似然估计量求参数求参数分布的一个样本分布的一个样本的的是来自参数为是来自参数为设设pppX

11、XXn,1,0,)1();(1 xpppxfxx);()(1pxfpLnii ,)1(11 niiniixnxpp)(lnpL),1ln(ln11pxnpxniinii 例例1 ppLd)(lnd,111pxnpxniinii ,0d)(lnd ppL由由,)1(11 niiniixnpxp得得 的最大似然估计值为的最大似然估计值为故参数故参数 p,11 niixnp 的最大似然估计量为的最大似然估计量为参数参数 p,11XXnpnii E pE X11niiEXn11,niiE Xpn.的无偏估计量的无偏估计量是是所以所以pp,1,0,)1();(1 xpppxfxx又因为又因为),1ln(

12、)1(ln);(lnpxpxpxf ppxf);(ln,11pxpx 2ln(;)f x pEp 1,012)1(11xxxpppxpxpppp 221)1()1(1,)1(1pp 都满足不等式都满足不等式的任何一个无偏估计量的任何一个无偏估计量的参数的参数因为因为),();(21nXXXpppxf2(1),ln(;)nppVar pnf x pEp 的无偏估计量的无偏估计量对于参数对于参数 p,11 niiXnXp11 niiVar pVarXn211niiVar Xn)1(12ppnn ),1(1ppn .偏估计量偏估计量的无的无的达到方差界的达到方差界是总体分布参数是总体分布参数故故pX

13、p 解解?)05.0(,0025.0,7.12,16,0.01,),(22 问此仪器工作是否稳定问此仪器工作是否稳定算得算得个点个点今抽测今抽测超过超过按仪器规定其方差不得按仪器规定其方差不得现对该区进行磁测现对该区进行磁测从正态分布从正态分布设某异常区磁场强度服设某异常区磁场强度服sxN,05.0,16 n20.975(15)27.5,置信区间为置信区间为的的 1 2 20.025(15)6.26,22221/2/2,(1)(1)nnnSnSnn),00599.0,00136.0(.,0.012故此仪器工作稳定故此仪器工作稳定不超过不超过由于方差由于方差 例例2例例3 3 设设 X U(a,

14、b),x1,x2,xn 是是 X的一个样本值的一个样本值,求求 a,b 的极大似然估计值与极大似然估计量的极大似然估计值与极大似然估计量.解解X的密度函数为的密度函数为其它,0,1),;(bxaabbaxf似然函数为似然函数为其它,0,2,1,)(1),;,(21nibxaabbaxxxLinn似然函数只有当似然函数只有当 a xi b,i=1,2,n 时才能获得最大值时才能获得最大值,且且 a 越大越大,b 越小越小,L 越大越大.令xmin=min x1,x2,xnxmax=max x1,x2,xn取maxmin,xbxa则对满足bxxamaxmin的一切 a b,nnxxab)(1)(1

15、minmax都有故故minmax,axbx是是 a,b 的极大似然估计值的极大似然估计值.11212()()m mi in n,m ma ax x,nnnXXXXXXXX LL分别是分别是 a,b 的极大似然估计量的极大似然估计量.例例4 4 设总体 X的密度函数为10,(;)00 xexf xx0为常数为常数12(,)(,)nXXXL为X的一个样本证明X与12min,min,nnXXXL都是的无偏估计量证证 11(参参数数为为 的的指指数数分分布布)XEE X 故故 E XE X 是是 的无偏估计量的无偏估计量.X12m mi in n,nZXXX L令00()0nzZzfznez即 nZE

16、E Zn0010nzzez E nZ故 n Z 是 的无偏估计量.121()()()nP Xz P XzP Xz L111()niiP Xz 1211()()()(,)ZnF zP ZzP ZzP Xz XzXz L所以,比更有效.是 的无偏估计量,问哪个估计量更有效？由例4可知,与 都10,(;)00 xexfxx0为常数例例5 5 设总体 的密度函数为212 m mi in n,nVar nX XX L2 Var Xn 解解 ，X12min,min,nnXXXLX12min,min,nnXXXL例例6 61000,(;)xexXf xx 0为常数则 是 的无偏、有效、一致估计量.证证 由例5 知 是 的无偏、有效估计量.l li im m nVar X 2lim0nn所以 是 的一致估计量,证毕.XXX