第5章存在和唯一界定课件.ppt
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1、第5章存在和唯一性定理 第第5章存在和唯一性定理章存在和唯一性定理5.1 皮卡存在和唯一性定理皮卡存在和唯一性定理 5.2 佩亚诺存在定理佩亚诺存在定理 5.3 解的延伸解的延伸 5.4 比较定理及其应用比较定理及其应用 第5章存在和唯一性定理 5.1皮卡存在和唯一性定理皮卡存在和唯一性定理本节将利用皮卡的逐次迭代法,来证明微分方程初值问题解的存在和唯一性定理.为此,我们首先介绍一个条件.设函数f(x,y)在区域D内满足不等式:2121),(),(yyLyxfyxf其中常数L0,则称函数f(x,y)在区域D内对y满足李卜西兹条件(或简称李氏条件).第5章存在和唯一性定理 易知,若函数f(x,y
2、)在凸形区域D内对y有连续的偏微商(这正是柯西当年建立微分方程初值问题解的存在和唯一性定理时所假设的一个条件),则f(x,y)在区域D内对y满足李氏条件;反之,结论不一定正确.例如,f(x,y)=|y|(对y)满足李氏条件,但当y=0时它对y没有微商.第5章存在和唯一性定理 定理定理5.1设初值问题:00d(,),(),dyf x yy xyx其中f(x,y)在矩形区域 byyaxxR00,:内连续,而且对y满足李氏条件.则初值问题式(5.1)在区间I=x0-h,x0+h上有且只有一个解,其中常数).,(max,min),(yxfMMbahRyx第5章存在和唯一性定理 注注5.1从定理5.1看
3、出,解的存在区间I与三个正数a、b、M的相对大小有关:当M相对于b(以及a)较小时,“解”的导数的绝对值较小,从而积分曲线从(x0,y0)向左右延伸的走向较平缓,它有可能在R内达到左右边界(即h=a);反之,当M相对于b(以及a)较大时,积分曲线从(x0,y0)向左右延伸的走向较陡峭,有可能在R内首先达到上下边界(即h0是r0的连续函数,而且瑕积分 10d()rrF r(r10为常数)则称f(x,y)在G内对y满足Osgood条件.注意,李氏条件是Osgood条件的特例,这是因为F(r)=Lr满足上述要求.现在,我们把最先由美国数学家Osgood证明的有关解的一个唯一性定理叙述如下.第5章存在
4、和唯一性定理 定理定理5.2设f(x,y)在区域G内对y满足Osgood条件,则微分方程(5.10)在G内经过每一点的解都是唯一的.证明证明假设在G内可以找到一点(x0,y0)使得方程(5.10)有两个解y=y1(x)和y=y2(x)都经过(x0,y0),而且至少存在一个值x1x0,使得y1(x1)y2(x1).不妨设x1x0,且y1(x1)y2(x1).令 0)()(def)(21xyxyxr)()(:sup21,10 xyxyxxxxx显然有 10 xxx,而且)(1xxx第5章存在和唯一性定理 和0)(xr.因此,我们有)(,()(,()()()(2121xyxfxyxfxyxyxr)(
5、)()(21xrFxyxyF亦即1d()()()r xdxxxxF r x从x到1x积分上式,得到 110d()rrxxF r其中0)(11xrr.但这不等式的左端是,而右端是一个有限的数.因此,这是一个矛盾,它证明了定理 5.2.第5章存在和唯一性定理 例例5.1设初值问题:d(,),(0)0dyF x yyx(5.11)其中函数.,10,2;0,10,42;0,10,2;,0,0),(22yxxxxyxxyxyxxyxyxF当当当当容易验证,函数F(x,y)在条形区域 yxS,10:内是连续的,可是对y不满足李氏条件.第5章存在和唯一性定理 对于上述初值问题式(5.11),我们有皮卡序列1
6、00()(,()d()0)xnnyxF x yxxy x),2,1,0;10;0)(0nxxy而且容易推出),2,1;10()1()(21nxxxynn由此可见,初值问题式(5.11)的皮卡序列是不收敛的.另外,可以验证)10(312xxy是初值问题式(5.11)的解;第5章存在和唯一性定理 5.2佩亚诺存在定理佩亚诺存在定理 1.欧拉折线欧拉折线早在18世纪,欧拉就依据微分方程的几何解释,提出用简单的折线来近似地描绘所要寻求的积分曲线,后人称这种方法为欧拉折线法.它是微分方程近似计算方法的开端.设微分方程:d(,)dyf x yx(5.12)和相关的初值问题:00d(,),()dyf x y
7、y xyx(5.13)第5章存在和唯一性定理 其中f(x,y)是在矩形区域byyaxxR00,:内给定的连续函数.令正数M为|f(x,y)|在R上的一个上界,则微分方程(5.12)在R内各点P的线素l(P)的斜率介于-M和M之间.由此不难推出:若y=y(x)是初值问题式(5.13)的一个解,则它满足不等式:00)(xxMyxy因此,为了保证初值问题式(5.13)的积分曲线y=y(x)在矩形R内,我们只需作下面的限制:bxxM0第5章存在和唯一性定理 亦即Mbxx0因此,只要令 Mbah,min则在区间|x-x0|h上初值问题式(5.13)的积分曲线:y=y(x)停留在R内.事实上,它停留在R内
8、的一个角形区)(:000hxxxxMyyh之中(见图5.1).第5章存在和唯一性定理 图5.1 第5章存在和唯一性定理 现在,把区间|x-x0|h分成2n等份,则每等份的长度为hn=h/n,而2n+1个分点为),1,0(0nkkhxxnk注意,nx和nx为区间,00hxhx的两个端点.第5章存在和唯一性定理 其次,从初值点),(000yxP出发先向右作折线如下:延长在0P的线素)(0Pl,使它与垂线1xx 交于点),(111yxP.则由线素的定义可知).)(,(010001xxyxfyy取直线段,10PP作为折线的第一段,易知它停留在角形区h内;再在1P点延长线素)(1Pl,使它与垂线2xx
9、交于点).,(222yxP则有).)(,(121112xxyxfyy第5章存在和唯一性定理 取直线段,21PP作为折线的第二段,易知它停留在角形区h内;如此类推,我们在0P点的右侧作出一条折线 hnPPPP,210它的节点依次为nPPPP,210.用相同的方法,再从0P点出发可以向左作出一条折线 hnPPPP,012然后,在h内得到一条连续的折线,101nkknnPPPPPPP第5章存在和唯一性定理 其中节点Pk的坐标为(xk,yk),且);)(,(1111kkkkkkxxyxfyy而P-k的坐标为(x-k,y-k),且),2,1()(,(1111nkxxyxfyykkkkkk称n为初值问题式
10、(5.13)的欧拉折线.令欧拉折线n的表达式为)()(0hxxxyn(5.14)当x0 xx0+h时,有整数s,使得)10(1nsxxxss第5章存在和唯一性定理 由此不难推出欧拉折线的计算公式:).)(,()(),()(1100ssskkskkknxxyxfxxyxfyx(5.15)同理,当x0-hx0,使得不等式)()(IxKxfn对一切n=1,2,都成立,则称函数序列(5.17)在区间I上是一致有界的.如果对任意的正数,存在正数=(),只要x1、x2I和|x1-x2|,有),2,1()()(21nxfxfnn就称函数序列(5.17)在区间I上是等度连续的.第5章存在和唯一性定理 例如,函
11、数序列).,2,1()1()(nxxfnnn(5.18)在区间21x上是一致有界和等度连续的;在区间1x上是一致有界但不是等度连续的;而在区间2x上既不是一致有界又不是等度连续的.第5章存在和唯一性定理 Ascoli引理引理设函数序列(5.17)在有界闭区间I上是一致有界和等度连续的,则可以选取它的一个子序列,),(,),(),(21xfxfxfknnn使它在区间I上是一致收敛的.第5章存在和唯一性定理 3.佩亚诺存在定理佩亚诺存在定理我们先证明两个引理.引理引理5.1欧拉序列(5.14)在区间|x-x0|h上至少有一个一致收敛的子序列.证明证明在前面我们已经指出,所有欧拉折线n都停留在矩形区
12、域R内,即),2,1;()(00nhxxbyxn也就是说,欧拉序列(5.14)是一致有界的.第5章存在和唯一性定理 其次,注意折线n的各个直线段的斜率介于-M和M之间,其中M为|f(x,y)|在R内的一个上界.因此,容易证明折线n的任何割线的斜率也介于-M和M之间,亦即),2,1()()(ntsMtsnn其中s和t是区间x0-h,x0+h内的任意两点.由此可见,序列(5.14)也是等度连续的.第5章存在和唯一性定理 引理引理5.2欧拉折线y=n(x)在区间|x-x0|h上满足关系式:00()(,()d()xnnnxxyf xxxx(5.19)其中函数n(x)趋于零,即)(0)(lim0hxxx
13、nn(5.20)证明证明我们只考虑右侧的情形:x0 xx0+h.对于左侧的情形可作类似的讨论.利用恒等式 11(,)()(,)diixiiiiiixf x yxxf x yx就可得到11(,)()(,()d()iixiiiinnxf x yxxf xxxd i第5章存在和唯一性定理 其中1()(,)(,()d(0,1,1)iixniinxd if x yf xxxis同样,对于xsN,就有)()(,(),(1iiniixxxhxxfyxf这样以来,只要nN,就有 11()(,)(,()diiiixxniinxxd if x yf xxxdxhn同样,由于xsN,就有 ndn由此推出,只要nN,
14、就有nnsxn)(这就证明了式(5.20)成立,从而引理5.2得证.第5章存在和唯一性定理 定理定理5.3设函数f(x,y)在矩形区域R内连续,则初值问题:00d(,),()dyf x yy xyx在区间|x-x0|h上至少有一个解y=y(x),这里矩形区域R和正数h的定义同定理5.1.证明利用引理5.1,我们可以选取欧拉折线序列(5.14)的一个子序列,),(,),(),(21xxxknnn使它在区间|x-x0|h上一致收敛,则极限函数)(lim)(xxknk第5章存在和唯一性定理 在区间|x-x0|h上是连续的.再利用引理5.2,由式(5.19)可知 00()(,()d()kkkxnnnx
15、xyf xxxx000()(,()d().xxxyf xxxxxh令k,则由nk(x)的一致收敛性和式(5.20),以及f(x,y)的连续性,我们推出 这就证明了y=(x)在区间|x-x0|h上是初值问题式(5.13)的一个解,从而定理5.3得证.第5章存在和唯一性定理 注注5.2由上述佩亚诺定理的证明可知,初值问题式(5.13)的欧拉序列的任何一致收敛子序列都趋于初值问题式(5.13)的某个解.因此,如果初值问题式(5.13)的解是唯一的,那么它的欧拉序列就一致收敛到那个唯一的解.另外,我们从例5.1(Mller之例)看到,对于初值问题式(5.13)的皮卡序列就不具有欧拉序列的上述性质.从这
16、个意义上讲,欧拉序列似乎比皮卡序列合理.第5章存在和唯一性定理 注注5.3佩亚诺定理在相当广泛的条件(即只要求函数f(x,y)的连续性)下保证了初值问题解的存在性,而不保证唯一性.1925年前苏联数学家拉甫仑捷夫曾在矩形区域R内构造了一个连续函数F(x,y),使得对应的微分方程 d(,)dyF x yx在R内经过每一点至少有两条不同的积分曲线.人们称这种复杂的现象为拉甫仑捷夫现象.如果微分方程在区域G内每一点都满足解的存在和唯一性条件,那么积分曲线族在局部范围内的结构是非常简单的:局部等价于一族平行直线.这一点在几何上很容易想象,而严格的分析证明在以后给出.第5章存在和唯一性定理 注注5.4一
17、般说来,如果不要求f(x,y)的连续性,则初值问题式(5.13)可能是无解的.例如,设函数.0,0);,2,1(111,)1(;1,1),(*yxnnyxnyxyxfn当当当则用反证法易证初值问题:d(,),(0)0dyfx yyx(5.21)没有(连续的)解.第5章存在和唯一性定理 5.3解解 的的 延延 伸伸在前面几节中我们只满足于在局部范围内讨论初值问题解的存在性,本节将把这种讨论扩大到整体.设微分方程 d(,),dyf x yx(5.22)其中函数f(x,y)在区域G内连续.因此,我们可以利用5.2节的佩亚诺存在定理推出:对于区域G内任何一点P0(x0,y0),微分方程(5.22)至少
18、有一个解y=(x)满足初值条件:00)(yxy(5.23)第5章存在和唯一性定理 其中y=(x)的存在区间为|x-x0|h,而正数h与初值点P0的邻域R有关.因此,我们只知道上面的解在局部范围内是存在的.现在,我们要讨论该解在大范围内的存在性.主要的结果为解的延伸定理.第5章存在和唯一性定理 定理定理5.4设P0为区域G内任一点,并设为微分方程(5.22)经过P0点的任一条积分曲线,则积分曲线将在区域G内延伸到边界(换句话说,对于任何有界闭区域 ,积分曲线将延伸到G1之外).证明证明设微分方程(5.22)经过P0的解有如下表达式:)(101GGPG)()(:Jxxy其中,J表示的最大存在区间.
19、先讨论积分曲线在P0点右侧的延伸情况.令J+为在P0点右侧的最大存在区间,即J+=Jx0,).如果J+=x0,),那么积分曲线在G内就延伸到无限远,从而延伸到区域G的边界.否则,我们就有下面两种可能:第5章存在和唯一性定理 (1)J是有限闭区间.令,10 xxJ,其中常数01xx.注意,当 Jx时,积 分 曲 线停 留 在 区 域G内.令)(11xy,则Gyx),(11.因为区域G是一个开集,所以存在矩形区域 11111,:byyaxxR使得GR 1.在矩形区域1R内我们可以利用定理 5.3 推出,微分方程(5.22)至少有一个解)()(111hxxxy第5章存在和唯一性定理 满足初值条件1(
20、x1)=y1,其中h1是某个正数.然后,令.,)(;,)()(111110hxxxxxxxxxy当当则)(xyy 是连续可微的,而且它在区间,110hxx上满足微分方程(5.22).因此,它是积分曲线在区间,110hxx上的表达式.由于已设积分曲线的最大右侧存在区间为,10 xxJ,所以J必需包含区间,110hxx.这是一个矛盾.因此,J不可能是有限闭区间.第5章存在和唯一性定理(2)J+是有限半开区间.令J+=x0,x1),其中常数x1x0.注意,当xJ+时,积分曲线停留在区域G内,即 JxGxx,)(,(我们要证:对于任何有限闭区域 ,不可能使 GG 1JxGxx,)(,(1成立.否则,设
21、G1是G内一个有限闭区域,使得式(5.24)成立.则有(x0)=y0和)(,)(xxfx)(Jx(5.25)第5章存在和唯一性定理 它等价于 0001()(,()d()xxxyf xxxxxx(5.26)因为f(x,y)在G1上是连续的,而且G1是一个有限的闭区域,所以|f(x,y)|在G1上有上界K,且K0.因此,由式(5.24)和式(5.26)可见,在J+上|(x)|有上界K,从而由拉格朗日中值公式推出不等式 JxxxxKxx212121,)()(由此不难证明:当xx1时,(x)的极限存在.然后,令)(lim11xyxx(5.27)第5章存在和唯一性定理 再定义函数 显然,)(xy是连续的
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