第3章-频域中的离散时间信号课件.ppt

1、第第3 3章章 频域中的离散时间信号频域中的离散时间信号n连续和离散时间傅里叶变换连续和离散时间傅里叶变换n离散时间傅里叶变换定理离散时间傅里叶变换定理n连续时间信号的数字处理连续时间信号的数字处理傅立叶傅立叶 1768-1830(Fourier,Jean Baptiste Joseph)法国数学家、物理学家法国数学家、物理学家最早使用定积分符号最早使用定积分符号改进符号法则、根数判别方法改进符号法则、根数判别方法傅立叶级数创始人傅立叶级数创始人 1807 热的传播热的传播推导热传导方程中发现解函数可以由三推导热传导方程中发现解函数可以由三角函数级数构成的级数形式表示角函数级数构成的级数形式表

2、示 1822 热的分析理论热的分析理论傅立叶级数、分析等理论傅立叶级数、分析等理论1 1、连续和离散时间傅里叶变换、连续和离散时间傅里叶变换傅立叶分析方法的历史傅立叶分析方法的历史l古巴比伦人古巴比伦人 “三角函数和三角函数和”描述周期性过程、预测天体运描述周期性过程、预测天体运动动l 1748年年 欧拉欧拉 振动振动弦的形状弦的形状是振荡是振荡模的线性组合模的线性组合l1753年年 D伯努利伯努利 弦的实际运动弦的实际运动可用标准振荡可用标准振荡模的线性组合模的线性组合来表示来表示l17591759年年 拉格朗日拉格朗日 不能不能用用三角级数三角级数来表示具来表示具有间断点的函数有间断点的函

3、数 l 1822年年 傅立叶傅立叶“热的分析理论热的分析理论”中提出并证明中提出并证明周期函数的正弦级周期函数的正弦级数展开数展开原理，奠定了傅立叶级数的理论基础原理，奠定了傅立叶级数的理论基础l 1829年年 P.L狄里赫利狄里赫利周期信号周期信号傅立叶级数表示的若干傅立叶级数表示的若干精确条件精确条件l 19-20世纪世纪两种傅立叶分析方法两种傅立叶分析方法-连续连续与与离散离散l 1965年年 Cooley&Tukey(IBM)发明发明FFT 算法算法引例引例时域时域和弦和弦 中音中音CEG频域频域如何分解出如何分解出CEG分量？分量？傅立叶变换的导出傅立叶变换的导出滤波滤波相乘相乘中音

4、中音C每个频率分量？每个频率分量？频域频域滤波器滤波器时域时域卷积卷积频率频率为为 分量分量幅度幅度频率频率通带通带变窄变窄()j th tex(t)x(t)()h t()()*jtxtx te滤波器滤波器频域频域频率频率幅度幅度时域时域单位冲击响应单位冲击响应()()jj txtxede与与 t无关无关常数常数()()*()*(cossin)jtxtx tex ttjt()()()cos()sin()()cos()sin()()jtxtxtjtdxtjt dxed =()()j tX jx t edt x(t)x(t)()j th te四种常用的傅立叶四种常用的傅立叶变换变换时域时域频域频域

5、离散离散连续连续离散时间傅立叶变换离散时间傅立叶变换连续连续连续连续连续时间傅立叶变换连续时间傅立叶变换 离散离散离散离散 离散傅立叶变换离散傅立叶变换连续连续离散离散连续时间傅立叶级数连续时间傅立叶级数连续时间连续时间傅立叶傅立叶变换变换(FT)x(t)X(j)正变换正变换 反变换反变换()()j tX jx t edt 正变换正变换 分解分解 (提取提取)1()()2j tx tX jed反变换反变换 合成合成 (还原还原)()()j tX jx t edtx t dt 条件条件 有限个不连续点有限个不连续点 绝对可积绝对可积非周期连续非周期连续时间信号时间信号非周期连续非周期连续频率函数

6、频率函数常见信号频谱常见信号频谱连续时间连续时间傅立叶级数傅立叶级数(FS)周期周期022fT()()j tX jx t edt 正变换正变换 000()()TjktkX jkx t edta1()()2j tx tX jed反变换反变换001()()jktx tX jkeT收敛性收敛性抽样定理抽样定理周期连续周期连续时间信号时间信号非周期离散非周期离散频谱函数频谱函数常见信号频谱常见信号频谱离散时间离散时间傅里叶变换傅里叶变换(DTFT)T()()j tX jx t edt 正变换正变换 ()()jj nnX ex n e1()()2j tx tX jed反变换反变换201()()2jj t

7、x nX eed非周期离散非周期离散信号信号周期连续周期连续频率函数频率函数常见信号频谱常见信号频谱()()jjjX eX ee 2()()()jjjX eX eX e：傅立叶频谱：幅度函数 或 幅度谱：相位函数 或 相位谱：能量密度谱例：例：00DTFTj nIDTFTnne 0022DTFTjnIDTFTkek DTFT频谱频谱 的性质：的性质：)(jeX 222cossintanjjrejjimjjjreimjimjreXeX eXeX eX eXeXeXeXe 1.模与幅角模与幅角 2.对于实序列对于实序列()jj nnX ex n e()cos()()jjrerenXex nnXe为

8、 的偶函数()sin()()jjimimnXex nnXe 为 的奇函数222jjjreimX eXeXe tanjimjreXeXe()jX e为 的偶函数()为 的奇函数3jX e、为周期2 的连续函数(2)(2)()()jj nnjk nnjkX ex n ex n eX e证明：证明：复序列的离散时间傅立叶变换的对称关系复序列的离散时间傅立叶变换的对称关系 序列序列 离散时间傅立叶变换离散时间傅立叶变换()jX e x nxn*xn()jX e*()jXe Re x n*1()()()2jjjcsXeX eX eIm jx n*1()()()2jjjcaX eX eX e csxn()

9、jreXe caxn()jimjXe对称关系对称关系实序列的离散时间傅立叶变换的对称关系实序列的离散时间傅立叶变换的对称关系 序列序列 离散时间傅立叶变换离散时间傅立叶变换 对称关系对称关系 x n()()()jjjreimX eXejXe evxn()jreXe odxn()jimjXe*()()jjX eXe()()jjrereXeXe()()jjimimXeXe()|()|jjX eX earg()arg()jjX eX e 注注:和和 分别代表着分别代表着 的偶部和奇部的偶部和奇部 evxn odxn x n nnnjjjKnjKjKKKnnjjKnxenxeXDTFTnxeXnxeX

10、eXenxeXeconvergencuniform存在的一致收敛，即，则如果，一致收敛的定义为令）、一致收敛（0lim1DTFT的收敛条件（的收敛条件（convergence)()jX ex n收敛绝对可和?如果如果xn的的DTFT在种意义上收敛，则称在种意义上收敛，则称xn的傅立叶变换存在的傅立叶变换存在例：低通滤波器例：低通滤波器100cjLPcHe sincLPnhnn 2cLPnhn能量有限，但不绝对可和能量有限，但不绝对可和2lim0jjKKX eXed nAnxnAnxnnnuDTFT指数序列：正弦序列：阶跃序列：和信号的、非绝对可和或平方可0cos000132、均方收敛、均方收敛

11、 jDTFTnkDTFTnjkjDTFTkDTFTDTFTenukekenuknDTFT 11122211221100，对：常用周期冲激串周期冲激串 periodic impulse train2、DTFT的性质的性质()jG eg n()jh nH e 1.线性线性 g nh n)(jjG eH e 2.时间反转时间反转()jG egn()jj nnY egn e证明：证明：j mmg m em=-njG e3.时移时移00()j njeG eg nn证明证明0()jj nnY eg nn e0()jm nmg m e0j njeG em=n-n0幅度幅度(功率功率)谱不变谱不变仅影响相位谱

12、仅影响相位谱0101()()jjjjd V ed eV epp e0101 1 1d v nd v npnpn.v n利用傅立叶变换性质，不解差分方程求序列解：解：0101()jjjpp eV edd e傅立叶反变换傅立叶反变换vn4.频移频移00()()jnjg nG ee 证明：证明：0()jnjj nnY eeg n e0()jnng n e 0()jG e 调频广播、频率调制调频广播、频率调制5.频域微分频域微分()jdG en g njd j njj nnndg n edG ejng n edd 证明：证明：6.卷积卷积 ()()jjg nh nG eH e证明：证明：()jj nn

13、kY eg k h nke()jn kj kkng kh nk ee j kj mkmg k eh m ejjG eH em=n-kdeHeGnhngjj)()(21)(7.调制定理调制定理(也称为加窗定理也称为加窗定理)()jj nnY eg n h n e1()2j njj nnh n eG eed()1()2jjnnG eh n ed()1()()2jjG eH ed 证明证明高频高频例：幅度调制例：幅度调制 x n0cosn y n0 cosy nx nn0011()()222jjY eX ed 001()()2jjX eX e 低频低频0-幅度幅度频率频率幅度幅度0-oo频率频率低通

14、低通滤波滤波 y n r n x n0cosn解调解调20001 cos(1cos2)211 cos2 22r nx nnn x nx nnx n低频低频高频高频例：加窗例：加窗 x n w n y n y nx n w n()1()()2jjjY eX eW ed 无限长序列无限长序列窗函数窗函数加窗后频谱产生失真加窗后频谱产生失真测不准原理：时域分辨率测不准原理：时域分辨率*频域分辨率频域分辨率常数常数加窗实例加窗实例 x n w n y n频谱频谱频谱频谱加窗后频谱产生失真加窗后频谱产生失真正正弦弦序序列列 8.帕斯瓦尔公式帕斯瓦尔公式*1 ()()2jjng n h nG eHed*1

15、()()2jjG eHed*1()2jj nnHeg n ed*ng n h n证明：证明：*1()2jj nng nHeed时域的能量等于频域的能量时域的能量等于频域的能量2()jX e 称为能量谱密度称为能量谱密度特例：特例：g nh nx n221()()2jnEx nX ed*1 ()()2jjng n h nG eHed 采样采样 量化量化 A/DA/D与与D/A D/A 转换转换3、连续时间信号的数字处理连续时间信号的数字处理抗混叠抗混叠滤波器滤波器A/D变换器变换器数字信号数字信号处理器处理器D/A变换器变换器抗镜像抗镜像滤波器滤波器模拟模拟模拟模拟)()(tynyn xtxrc

16、 理想抽样器离散时间信号处理器理想内插器2.1 采样（采样（Sampling 抽样）抽样）采样导致信号丢失采样导致信号丢失能否从采样点中找回丢失？能否从采样点中找回丢失？能否无失真恢复原始连续信号？能否无失真恢复原始连续信号？两点采样即可代表直线两点采样即可代表直线三点采样即可代表圆三点采样即可代表圆外心外心=圆心圆心n+1个点可以无失真恢复个点可以无失真恢复n次多项式的曲线次多项式的曲线如果加以限制如果加以限制可以用有限、离散的点代表全部信号可以用有限、离散的点代表全部信号对信号的什么加以限制，对信号的什么加以限制，可以无失真的采样？可以无失真的采样？频率范围是信频率范围是信号重要特征号重要

17、特征实际信号一般都是带宽受限信号实际信号一般都是带宽受限信号音乐：音乐：20Hz22kHz，CD采样频率采样频率44.1KHz：中音：中音1的的1万倍万倍1个个高八度高八度倍频倍频电话声音：电话声音：300Hz-3400Hz，电话采样频率为电话采样频率为8KHz特例：特例：白噪声，白噪声，带宽无限带宽无限随机信号，整体性能随机信号，整体性能 采样的参数采样的参数TS：采样周期：采样周期sampling periodfS：采样频率：采样频率sampling frequency()()aat nTx nx tx nT 采样定理采样定理(sampling theorem)：带宽带宽为为 W Hz 的

18、信号，至少要以每秒的信号，至少要以每秒2W次次的采样频率进行采样，才可能由采样值恢的采样频率进行采样，才可能由采样值恢复原来的信号复原来的信号 最小采样频率称为最小采样频率称为奈奎斯特采样率奈奎斯特采样率(Nyquist sampling rate)l采样的时域表达：采样的时域表达：)()()()()()()()()(p nanaapnnTtnTxnTttxtptxtxnTttT:采样周期采样周期.FT=1/T:采样频率采样频率XImpulse to sequence)()()(tpnx t xtxpa理想采样：理想采样：p 模拟输入模拟输入*脉冲串脉冲串p 连续时间信号连续时间信号 离散时间

19、信号离散时间信号 xa(t)p(t)xp(t)xn napnTtnTxtx)()()(t t频谱频谱?t t t t原始信号采样信号mfmf-mf-mfmf-mfmfmf-sf-sf理想采样在频域的表示：理想采样在频域的表示：周期性延拓周期性延拓 ()()()2()()()()jtaaatsnkxtXjxt edtp ttnTP jjjkT f tttf tf tdf t 注：注：1 ()()()()()()212 ()papaakxtx t s tXjXjP jXjjkTT 2/sT 抽样角频率抽样角频率(弧度弧度/秒秒)WWWW -NN)(jXa 0 -)(2 ssjP/T)2()(Naj

20、XWWWWWWWWLL采样信号的恢复采样信号的恢复 （抗镜像滤波抗镜像滤波低通滤波低通滤波）简单的简单的DSP系统系统抗混叠抗混叠滤波器滤波器A/D变换器变换器数字信号数字信号处理器处理器D/A变换器变换器抗镜像抗镜像滤波器滤波器模拟模拟xa(t)模拟模拟ya(t)x(n)y(n)采样采样量化量化转换为模拟电平转换为模拟电平零阶保持零阶保持ADCDACDSP带宽信号的频谱延拓带宽信号的频谱延拓声音声音1：采样频率：采样频率22.05KHz，数字化，数字化16Bit，双声道录音。，双声道录音。离散信号的信息与采样频率的关系（示例）离散信号的信息与采样频率的关系（示例）声音声音1：采样频率：采样频

21、率1.38KHz，数字化，数字化16Bit，双声道录音。，双声道录音。声音声音1：采样频率：采样频率689Hz，数字化，数字化16Bit，双声道录音。，双声道录音。l窄带信号的采样窄带信号的采样不混叠的条件不混叠的条件（包含临界点包含临界点）(1)lslfnffhshfnff221hlsfffnn2()shlfff定义信号带宽定义信号带宽hlBff，若，若hfmB，m为整数，为整数，则当则当mn时，时，sf取最小值取最小值 22hsffBm当采样率取当采样率取22hsffBm采样后的带通信号就可以被无失真的恢复采样后的带通信号就可以被无失真的恢复 221hlhshlffffnnnffl窄带信号

22、处理过程窄带信号处理过程 限制信号带宽，可以无失真恢复原信号限制信号带宽，可以无失真恢复原信号 对于低频信号，采样率必须是信号最大对于低频信号，采样率必须是信号最大频率的频率的2 2倍倍 对于窄带信号，采样率取大于信号带宽对于窄带信号，采样率取大于信号带宽的的2 2倍即可倍即可采样小结：采样小结：例：例：汽车开动时发现轮胎反向转动，此时车速汽车开动时发现轮胎反向转动，此时车速至少多少？至少多少？（车轮外直径（车轮外直径0.5米，视觉停留时间米，视觉停留时间0.1秒）秒）解：解：车轮转一个周期行使车轮转一个周期行使3.14*0.5米，当一周期眼睛米，当一周期眼睛采样两次达临界状态（采样两次达临界

23、状态（2*0.1秒），此时车速：秒），此时车速：3.14*0.5/（2*0.1）=7.85 米米/秒秒 =28.26 公里公里/小时小时 量化量化(12.1节节)电平表示的模拟信号电平表示的模拟信号:0 2v,0 5v,0 15v 二进制表示的数字量二进制表示的数字量:2比特比特(bit):00,01,10,11 8比特比特(bit):00000000,000001,.,11111111 2Nxyl 关键问题关键问题如何使量化失真最小如何使量化失真最小量化区间划分量化区间划分每个区间的量化取值每个区间的量化取值 标量量化标量量化 线性量化线性量化(Linear)采用等距离的间隔空间；采用等距离

24、的间隔空间；非线性量化非线性量化(Nonlinear)采用不同的间隔空间，如采用不同的间隔空间，如“对数量化法对数量化法”单极量化单极量化(Unipolar)被量化的信号只有正极性被量化的信号只有正极性 双极量化双极量化(Bipolar)被量化的信号有正负极性被量化的信号有正负极性 矢量量化矢量量化量化分类量化分类单极线性量化单极线性量化(去尾去尾)双极线性量化双极线性量化(四舍五入四舍五入)非均匀量化非均匀量化 量化步长量化步长(quantization step)N比特量化，比特量化，2N个编码电平个编码电平 各电平之间的间距称为量化步长各电平之间的间距称为量化步长 R 最大标定模拟范围最

25、大标定模拟范围2NRQ l量化误差量化误差=量化值实际值量化值实际值l量化噪声量化噪声(quantization noise)量化比特数量化比特数N越大越大量化步长量化步长Q越小越小 量化误差、量化噪声越小量化误差、量化噪声越小例例:已知最大可容许量化误差电平时，已知最大可容许量化误差电平时，求量化比特数。求量化比特数。QRN2log解解:量化比特数为量化比特数为l信噪比信噪比(signal-to-noise ratio,SNR)用来判断信号与噪声区分的难易程度用来判断信号与噪声区分的难易程度单位：单位：dBSNR越大，信号越强越大，信号越强噪声功率信号功率log10SNR噪声振幅信号振幅lo

26、g20SNR例：例：已知已知R=03V,N=3bit,求单极量化结果。求单极量化结果。解：解：步长步长 量化表量化表 数字代码数字代码 量化电平（量化电平（V）相应的模拟电压范围（相应的模拟电压范围（V）000 0.0 0.0 x0.1875 001 0.375 0.1875 x0.5625 010 0.75 0.5625 x0.9375 011 1.125 0.9375 x1.3125 100 1.5 1.3125 x 1.6875 101 1.875 1.6875 x2.0625 110 2.25 2.0625 x 2.4375 111 2.625 2.4375 x 3.000330 37

27、22.5(V)NRQ 矢量量化矢量量化标量量化标量量化一维一维矢量量化矢量量化多维多维率率畸变理论表明，矢量量化总优于标量畸变理论表明，矢量量化总优于标量量化量化 相关性相关性 空间填补空间填补 形状形状 标量量化标量量化 矢量量化矢量量化采样与量化的工程实现采样与量化的工程实现模数转换模数转换低通滤波器低通滤波器采样采样量化量化l采样前引入低通滤波器采样前引入低通滤波器（抗混叠滤抗混叠滤波器波器 antialiasing filter），确保滤除），确保滤除2W以上的频率分量，并帮助去除信号以上的频率分量，并帮助去除信号中包含的噪声或其他次要的高频分量中包含的噪声或其他次要的高频分量 比特率

28、比特率(bit rate)：度量比特数产生的：度量比特数产生的速度，通常用来度量速度，通常用来度量A/D转换器的性能转换器的性能比特率比特率Nfs 其中其中N为每个采样值的比特数，为每个采样值的比特数，fs是每秒的采样点是每秒的采样点数，单位为数，单位为b/s例：例：模拟信号模拟信号01V，采样频率，采样频率5000次次/秒，秒，3bit量化，求单极量化电平和比特率。量化，求单极量化电平和比特率。比特率比特率 3bit/采样值采样值5k个采样值个采样值/秒秒15kb/s解：解：内插的工程实现数模转换内插的工程实现数模转换低通滤波器低通滤波器l内插内插模拟信号的恢复模拟信号的恢复s -2 fsN

29、Nss -2 ffffff()sXfs(2)Nff低通滤波器低通滤波器()rHfT1T()()(),()0,.rrpcrXfHf XfTffHf式中，其它c cfff()rHfTsin()rtTh ttT低通滤波器低通滤波器sin()()()rntnTTx tx ntnTT 低通滤波器（抗镜像滤波器）的作用低通滤波器（抗镜像滤波器）的作用 滤除零阶保持信号中的寄生高频分量滤除零阶保持信号中的寄生高频分量频域：有效滤除了采样过程中产生的频谱镜像频域：有效滤除了采样过程中产生的频谱镜像时域：使阶梯状的零阶保持信号的陡缘边平滑时域：使阶梯状的零阶保持信号的陡缘边平滑采样保持信号和原信号采样保持信号和

30、原信号零阶保持信号和采样信号零阶保持信号和采样信号还原信号和零阶保持信号还原信号和零阶保持信号原信号和还原信号原信号和还原信号原信号原信号与还原与还原信号之信号之间有何间有何差别？差别？什么引什么引起的？起的？小结小结 当从模拟信号采样时，应满足当从模拟信号采样时，应满足 fs 2W 采样频率满足条件时，可无失真恢复原信号采样频率满足条件时，可无失真恢复原信号 使用低通滤波器进行内插，可以从采样信号使用低通滤波器进行内插，可以从采样信号恢复原信号恢复原信号 A/D转换器是采样量化的工程实现转换器是采样量化的工程实现 D/A 转换器是内插的工程实现转换器是内插的工程实现练习练习：3.33,3.53,3.54,3.66