第2章-解析式与不等式课件.ppt

1、第一章 解析式与不等式这章的内容主要包括数与式、不等式与方程、函数等,它们都是研究数量关系和变化规律的数学模型,可以帮助人们从数量关系的角度更准确、清晰地认识、了解、描述和把握现实世界要求读者能对具体情境或符号演算过程中的数字与符号信息作出合理的解释和推断,能用代数式、解析式、方程和不等式、符号语言模式等刻画和抽象概括事物间的相互联系,以便能发展合情推理和演绎推理能力.对于79年级的学生来说,代数对于解析式的研究,是由浅入深、逐步展开的.它的教学内容主要是:整式的加减、整式的乘除、因式分解、分式和二次根式(包括指数概念).进一步运用习得的运算求解能力、抽象概括、数据处理能力、初步的逻辑思维能力

2、来学习各种方程(组)理论和方程(组)的各种解法.对于1012年级的学生来说,解条件不等式和证明绝对不等式成为培养学生运算求解能力、推理论证能力、以及抽象概括能力发展和形成的主要途径和重要知识点.在这个环节中,不等式、方程和函数、解析几何等内容往往是交融在一起,以便培养和形成1012年级学生的综合数学能力和数学素养.鉴于此,又考虑到师范生的数学知识基础和能力状况和结合数学课程标准的理念和特征,我们将重要内容放在解析式的发展过程和特点,而对于各种解析式的变形、转换和化简等做淡化处理.重点内容放在方程的同解理论、不等式的求解和证明、不等式与方程的联系.第一节第一节 解析式解析式一、数学符号发展简史一

3、、数学符号发展简史人类是怎样一步一步学会计数的?这是一个漫长的渐进的过程,大约可分为四个阶段:对应阶段;基数与序数阶段;语言阶段;文字记号阶段.在此基础上逐渐形成简单的数学语言乃至于用某种方法记录数值的记号数字.数字系统的产生标志人类抽象的数学思想又提高到一个新的层次,人们已经摆脱了与之对应的实物而赋予数字一种形式上的意义,这是符号思想的萌芽.因此,数字系统为数与数之间的运算提供了条件,数和数字系统形成以后,围绕它们而产生的数学思想集中在数的运算和数的性质的研究上,因而产生了初等代数学.初等代数的特征之一是符号的引入及由此形成的符号代数.符号的引入大致经历三个阶段:第一阶段是文词代数,即采用普

4、通的文句来叙述数学问题和解答.15世纪之前大多数著作都属于文词代数.第二阶段是简词代数或半符号代数,其特点是在代数中把某些量采用减缩的字母或记号.丢番图及中世纪的印度人都曾部分地采用简字代数.中国九章算术通过适当地排列算筹来表示方程(相当于矩阵表示法),宋朝的天元术和四元数则是一种相当成熟的半符号代数.第三阶段是符号代数,其特点是系统地引入字母和符号来表示数、式子、基本概念、运算以及关系.这项工作从15世纪开始,到16世纪中叶才基本形成现在的通用记号.法国数学家韦达一生最大的贡献在于推进代数的进展,他是第一个有意识而系统地引入符号的数学家,他写的分析术引论是数学史上第一部符号代数著作。因此,他

5、被称为代数学之父.在他的工作基础上,笛卡尔、莱布尼兹、欧拉等人对符号的改进和完善及发展也作出了重要的贡献.相对于数值运算,符号运算是数学发展的一个飞跃.实际上,代数运算施行于事物的类或形式,而算术运算施行于具体的数,即符号是对数的抽象和概括.符号代数的引入使代数学成为研究一般类型的形式和方程(模式)的学问,因而广泛应用.同时有效的符号系统,可以使数学书写更加方便,运算过程更加清晰,推演思路更加精炼.鉴于符号的引入对代数的发展所起的重要作用,数学的其他分支也都相应地采用.当今数学中,符号思想已经成为数学的一般思想方法.二、解析式二、解析式1.解析式的含义解析式是数的概念的发展，也是研究函数、方程

6、和不等式的基础。正确地理解解析式的概念和性质，熟练地掌握解析式的变形规律，对于提高中学数学教学的理论水平、运算能力和推理能力，都是必不可少的.我们通常把依据数学概念、法则、原理、规律等而形成的形式符号的序列称为数学式。是代数式 ，三个变换相乘 等等，也可以看成是一种数学式.kxb,ABCPQR 123T T T由于研究方程、函数等的需要,对于那些用运算符号、函数符号、括号,作用于数字和字母之上形成的数学式称为解析式.例如 ，等等都是解析式.其中的 是不定元,解析式可以看作是不定元通过运算符号连接起来的符号串.不定元的个数,称为解析式的“元”数.前后用加减隔开的那一部分称为解析式的“项”.432

7、3(127),axby axbxcx!,sin2,sinnn xxxdx,x y z在初等数学里所说的运算是初等运算.初等运算可分为代数运算和初等超越运算。有限次的加、减、乘、除、正整数次乘方、开方(或有理数次乘方)运算称为代数运算.其中加、减、乘、除运算称为算术运算或四则运算.无理数次乘方运算、对数运算、三角运算和反三角运算通称为初等超越运算.2.解析式的分类只含有加、减、乘、除四则运算和有理数次的乘方开方运算的解析式叫代数式.代数式中不含开方运算称为有理式,否则称为无理式.有理式中又以分母上是否含有字母分为整式和分式.解析式中如果除了代数运算之外,还有超越运算,如(为无理数)等等,我们称之

8、为超越式.综上所述,我们可以做以下的分类对于整式,我们可以谈它的变元数和次数.如果整式中有 个不定元,各个不定元出现的次数中的最高次数为 ,我们称之为 元 次的整式.例如,分别是一元 次式,二元一次式,三元四次式.knkn,27,mxxy43252xyzm3.解析式的关系研究数学式本身不是最终目的.用数学式（主要是解析式）构成的等式和不等式才是我们研究的主要对象.解析式中一般含有不定元,它可以取某些数值（中学里主要是在实数范围内进行考察）.因此,解析式最终代表数值,因而具有大小和相等关系.（1）解析式的相等关系我们把两个解析式 用等号连接起来的式子称为等式:.等式可以分为恒等式和条件等式.当不

9、定元取一切有意义的数值时,等号两边的解析式都取相同的值,我们称之为恒等式,也称为绝对等式.当一个等式,只在不定元取某些特殊的数值时才成立,我们称之为条件等式.(,.,),(,.,)A x yz B x yz(,.,)(,.,)A x yzB x yz方程就是一种条件等式.习惯上把“含有未知数的等式叫做方程”,其实并不完全.我们习惯上不会把含有未知数的恒等式叫做方程.例如 这样的等式,都不属于方程的研究范围.不定元所取的满足方程(条件等式)的特殊值,就是方程的根.根的数目可以有限,也可以无限.220,00,sincos1,xxxxx不失一般性,方程可以写成 对于整式方程 (为多项式时),我们将各

10、个不定元出现的最高次数,作为方程的次数.我们熟知的一元 次方程的一般表示式:代数基本定理告诉我们,一元 次方程必有且只有 个复根.方程的根的数目可以是无限的.例如 的根集合对应平面上点集合组成的一个圆.(,.)0,p x yz(,.)p x yzn1110.0,nnnna xaxa xann222xy（2）解析式的不等关系类似地,两个解析式 用不等号连接起来称为不等式:.和等式情形一样,不等式也有绝对不等式和条件不等式之分.当不定元取一切有意义的数值时,不等式恒成立,我们称之为恒不等式,也称为绝对不等式.绝对不等式需要证明.当一个不等式,只当不定元取某些特殊的数值时才成立,我们称之为条件不等式

11、.求出使不等式成立的那些特殊值,称为解不等式.(,.,),(,.,)A x yz B x yz(,.,)(,.,)A x yzB x yz在现实生活中,两个量一般情形下可能相等,也可能不相等,而相等只是一种特殊情形.数学的任务是找出那些相等的数量关系,例如,列出的各种方程,比例关系,函数的表示,以及几何中勾股定理等等都是等式.等式的变换是数学学习的基本技能.从合并同类项、配方、因式分解,到方程的同解变形,函数的运算变换,三角函数的恒等变换等,贯穿整个中学数学学习的始终.中学里学习不等式具有特别重要的意义.首先,不等式可以表示一种界限和范围,本身就是一种刻画现实世界数量和空间形式的规律.例如,三

12、角形两边之和大于第三边,等等.其次,研究不等式可以导致等式.例如,几何平均值小于等于算术平均值,等是依靠不等式.最后,不等式在几何上可以表示一个区域,例如用方程表示圆的内部和外部.线性规划是研究怎样在一个由线性不等式围成的凸域中取得目标函数的最大值.1,sinx 223xx近来,不等式的应用范围在扩大,但运作时需要较多的数学知识和技巧,学习起来不太容易.所以,不等式的内容主要列入高中(10-12年级)的数学课程.高中阶段接触的基本不等式,主要有:平均值不等式 其他几类重要不等式(比如伯努利不等式和柯西不等式等)也列入了高中数学教学要求(见选修系列4)；绝对值不等式 另外解绝对值不等式内容也列入

13、高中数学内容（见选修系列4）.22(),2abab,abab第二节第二节 绝对值不等式的证明绝对值不等式的证明证明绝对不等式,就是根据不等式的性质,证明对于字母中所允许取的数值,这个不等式恒成立.绝对不等式的证明与恒等式相仿,证明方法灵活多变,富有极强的技巧性,通常没有固定的程序可循,要提高证明绝对不等式的能力,必须熟练掌握不等式的基本性质和基本不等式,并能灵活运用不等式证明的各种常用方法.证明不等式的方法很多,常用的有分析法、综合法、比较法、配方法、判别法、反证法、数学归纳法、利用已知不等式法、利用已知函数的增减性、换元法、放缩法、调整法、构造法、积分法等.前面的一些方法,在中学数学教材里多

14、有介绍,这里先考虑绝对不等式证明，再重点考察后面几种方法.利用已知不等式的问题,我们在下节还要作进一步的研究.一、分析法与综合法一、分析法与综合法分析法是证明不等式的一种重要的方法,用分析法论证,“若则”这个命题的格式是:欲证的真,只需证的真,从而又,只需证命题为真.现在已知真,故真.可见分析法是执果索因,步步寻求上一步成立的充分条件,写出简要的形式为:12.nB BBBA 证明绝对不等式的综合法,是从题目的条件或已知成立的不等式出发,利用不等式的基本性质进行推导变形,进而得出所要求证的不等式,利用综合法的关键是一些常用的不等式,通过变形,将未知的不等式归结为常用不等式.在实际的问题解决过程中

15、,综合法和分析法往往是交织使用的,利用分析法试误证明思路和方法,用综合法整理或形成证明过程.有些时候,采用“两边凑”的办法解决绝对不等式的证明问题.这样的话,分析法和综合法也就可包括换元法、放缩法、构造法等构建证明过程的特殊技巧和策略.二、数学归纳法二、数学归纳法数学归纳法是一种用于判断一个命题是否对所有自然数成立的演绎推理方法,它常用如下形式表述:条件1：成立,即当时成立.条件2：对任意自然数,若成立(即当时,成立)则(即当时成立).也可将条件2换成它的等价命题,即下面条件:条件:对任意自然数,若对所有成立,则成立(即若对小于的每个自然数都成立,则对于成立).数学归纳法是由皮亚诺公理的第五公

16、理(设是的子集,若(1)且对任何蕴含则即就是本身)推导出来的.一般来说,与正整数有关的不等式问题可采用数学归纳法.三、微积分法三、微积分法微积分的知识和方法在中学数学的许多问题上,能起到以简驭繁的作用,尤其是在证明不等式、恒等式及恒等变形;求极值;研究函数的变化形态及作图;求弧长、面积、体积等方面,不仅可使解法简化,并能使问题的研究更为深入、全面.利用微积分的知识和方法,例如微分中值定理、函数的增减性、极值判别法、定积分的性质等,可简化不等式的证明过程,降低技巧性.四、其它方法四、其它方法（一）反证法（一）反证法 当证明论题时,不去直接证明它,而是把作为前提,加进原论题的前提,并根据已知真命题

17、和推理规则推出与另一已知真命题或原论题的前提相矛盾的结论,或者导出自相矛盾的结论,从而确立命题的正确性,这种证明命题的方法叫反证法.它包括了分析法综合法和其他证明思路和策略.此式与(2)式相矛盾,这说明假设不成立,故原命题成立.反证法在解决数学问题有着广泛的应用,尤其在处理存在性问题、否定性命题、唯一性命题时，反证法更有特殊的优越性.（二）放缩法（二）放缩法 根据不等式的传递性,把原不等式中的和式（或积式）的某些项(或某些因式),换以较大或较小的数,从而证明不等式成立.这种证明方法,通常称为放缩法,又称传递法或不等量代换.其他证明过程和策略也包括分析综合法或数学归纳法等方法.（三）调整法（三）

18、调整法 调整法常用于处理有多个变量的不等式问题.它的具体做法是:先暂时固定某些变量,而考查个别变量的变化结果,然后再确定整个问题的结果.调整好不等式后,就可利用前面的方法求证.第三节第三节 条件不等式的求解条件不等式的求解解条件不等式，就是在其允许值集中,求出适合这个不等式的未知元的一切值.这一切值构成此不等式的解集.条件不等式的解集简称条件不等式的解.一、解条件不等式的相关定理一、解条件不等式的相关定理解条件不等式,通常要进行不等式的变形，但变形后的不等式必须与原不等式的解集相等,即变形前后的不等式同解.根据不等式的性质,可以证明一元条件不等式有如下的同解定理.二、实系数的一元有理式二、实系

19、数的一元有理式(包括整式和分包括整式和分式式)不等式不等式但当不等式的因式项过多时,这种方法就显得比较繁琐.所以我们来看另一种简便办法.三、一元无理不等式三、一元无理不等式求解无理不等式时,关键在于根据不等式的同解定理6,将其转化为有理不等式.在乘方无理不等式时,要仔细考虑原不等式的定义域,以及不等式两边的等号.四、绝对值不等式四、绝对值不等式求解绝对值不等式,关键在于去掉绝对值符号,将其转化为普通不等式,常用的方法有三种:(1)根据绝对值的定义及有关的同解定理;(2)两边平方;(3)零点区分法.第四节第四节 重要的不等式重要的不等式用已知成立的不等式来证明不等式,往往可以收到事倍功半的效果.因此,熟悉一些重要的不等式,是十分必要的.本节介绍几个最常用的重要的不等式.一、平均不等式一、平均不等式二、柯西（二、柯西（Cauchy）不等式）不等式三、伯努利三、伯努利(Bernoulli)不等式不等式四、琴森四、琴森(Jonson)不等式不等式五、排序不等式五、排序不等式