空间点、平面、直线的关系课件.ppt
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- 空间 平面 直线 关系 课件
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1、2.3 空间点、平面、直线的关系空间点、平面、直线的关系(Relationships of points、planes and straight lines in space)2.3.1 点与平面的位置关系点与平面的位置关系 2.3.2 点与直线的位置关系点与直线的位置关系 2.3.3 两平面的位置关系两平面的位置关系 2.3.4 空间两直线的相关位置空间两直线的相关位置 2.3.5 直线与平面的相关位置直线与平面的相关位置2.3.1 点与平面的位置关系点与平面的位置关系(Mutual position of points and planes)1)点与平面的位置关系点与平面的位置关系 点与平
2、面的位置关系点与平面的位置关系,有有2种情形种情形,就是就是点在平面上点在平面上和和点不点不在平面上在平面上.前者的条件是点的坐标满足平面方程前者的条件是点的坐标满足平面方程.点不在平面上点不在平面上时时,一般要求点到平面的距离一般要求点到平面的距离,并用离差反映点在曲面的哪一侧并用离差反映点在曲面的哪一侧.2)点到平面的距离点到平面的距离 定义定义1 自点自点P0向平面向平面 引垂线引垂线,垂足为垂足为P1.向量向量 在平面在平面 的单位法向量的单位法向量n0上的射影称为上的射影称为P0与平面与平面 之间的之间的离差离差,记作记作 (2.3-1)当当 与与n0同向时同向时,离差离差 0;当;
3、当 与与n0反向时反向时,离差离差 0;而对于平面另一侧的点而对于平面另一侧的点,则有则有AxByCzD 0,在平面在平面 上的点有上的点有AxByCzD=0.例例2 判别点判别点M(2,-1,1)和和N(1,2,-3)在由平面在由平面与与 所构成的同一个二面角内,还是分别在相邻所构成的同一个二面角内,还是分别在相邻二面角内,或是在对顶的二面角内?二面角内,或是在对顶的二面角内?解解:记:记将点将点M(2,-1,1)代入上式,得代入上式,得 0,同理,对于点,同理,对于点N(1,2,-3)得得 0.故点故点M和和N在由平面在由平面 1与与 2所构成的相邻二面角内所构成的相邻二面角内.2.3.2
4、 点与直线的位置关系点与直线的位置关系(Mutual position of points and straight lines)1)点与直线的位置关系点与直线的位置关系 任给一条直线任给一条直线L的方程和一点的方程和一点P0,则则L和和P0的位置关系只有的位置关系只有2种:种:点在直线上点在直线上和和点不在直线上点不在直线上.从代数上从代数上,这两种情况对应这两种情况对应点的坐标满足直线方程和点的坐标不满足直线方程点的坐标满足直线方程和点的坐标不满足直线方程.2)点到直线的距离点到直线的距离 设空间中有一点设空间中有一点P0(x0,y0,z0)和一条直线和一条直线 此处此处P1(x1,y1,
5、z1)是是L上的一点上的一点,v=(X,Y,Z)是是L的方向向量的方向向量.以以v和和 为邻边作一平行四边形为邻边作一平行四边形,则其面积为则其面积为 ,点点P0到直线到直线L的距的距离离d就是此平行四边形的对应于底就是此平行四边形的对应于底|v|的高的高,所以有所以有 (2.3-4)在实际计算中在实际计算中,记忆上式的第二个等号后面的部分是没有记忆上式的第二个等号后面的部分是没有实际意义的实际意义的.只需根据公式的前半部分计算即可只需根据公式的前半部分计算即可.也可以先求出过点也可以先求出过点P0且与直线且与直线L垂直的平面垂直的平面 ,再求出再求出L与与 的交点的交点P0,由由两点间距离公
6、式两点间距离公式求出点到直线的距离求出点到直线的距离.例例3 求点求点(5,4,2)到直线到直线 的距离的距离d.解解 P0(5,4,2),取取P1(-1,3,1),v=(2,3,-1)则则 则则 ,所以,所以2.3.3 两平面的位置关系两平面的位置关系(Mutual position of two planes)1)两平面的位置关系两平面的位置关系 空间两平面的相关位置有空间两平面的相关位置有3 3种情形种情形,即即相交相交、平行平行和和重合重合.设两平面设两平面 1与与 2的方程分别是的方程分别是 1:A1x+B1y+C1z+D1=0,2:A2x+B2y+C2z+D2=0.则两平面则两平面
7、 1与与 2相交、平行或是重合相交、平行或是重合,就决定于由两方程就决定于由两方程构成的方程组是有解还是无解构成的方程组是有解还是无解,或无数个解或无数个解,它们与两平面的法它们与两平面的法向量向量n1,n2,即方程的系数有密切关系即方程的系数有密切关系,从而可得下面的定理从而可得下面的定理.定理定理1 1 空间两平面相关位置空间两平面相关位置,有下面的充要条件有下面的充要条件(1)相交相交:(2.3-5)(2)平行平行:(2.3-6)(3)重合重合:(2.3-7)由于两平面由于两平面 1与与 2的法向量分别为的法向量分别为n1=(A1,B1,C1),n2=(A2,B2,C2),当且仅当当且仅
8、当n1不平行于不平行于n2时时 1与与 2相交相交,当且仅当且仅当当n1n2时时 1与与 2平行或重合平行或重合,由此我们同样能得到上面由此我们同样能得到上面3 3个个条件条件.2)两平面间的夹角两平面间的夹角 设两平面的夹角为设两平面的夹角为,规定规定为锐角为锐角,那么显然有那么显然有(如图如图):和两平面法向量和两平面法向量n1与与n2的夹角相等即的夹角相等即 ,或者与两或者与两平面法向量平面法向量n1与与n2的夹角互补的夹角互补,即即 .根据两向量的夹角公式可得根据两向量的夹角公式可得 (2.3-8)公式公式(2.3-8)称为称为两平面的夹角公式两平面的夹角公式.由由(2.3-8)可得:
9、可得:两平面垂直的充要条件两平面垂直的充要条件是是 A1A2+B1B2+C1C2=0 (2.3-9)例例4 求两平面求两平面 1:2x-3y+6z-12=0和和 2:x+2y+2z-7=0的夹角的夹角.解解:,代入公式代入公式(2.3-8)得得故所求两平面之间的夹角为故所求两平面之间的夹角为 例例5 一平面过两点一平面过两点P1 1(1,1,1)(1,1,1)和和P2 2(0,1,-1)(0,1,-1)且垂直于平面且垂直于平面xyz=0,求它的方程求它的方程.解解:设所求平面的法向量为设所求平面的法向量为 ,由于由于在所求平面上在所求平面上,有有 ,即,即 .又又n垂直于平面垂直于平面xyz=
10、0的法向量的法向量n1=(1,1,1),故有故有 .从而得从而得 代入平面的点法式代入平面的点法式,得平面方程为:得平面方程为:2(x-1)-(y-1)-(z-1)=0,即即2xyz=0.2)1,0,(21PPnPP210 0nPP2101nn).1,1,2()1,1,1()2,0,1(121nnPP 例例6 求过点求过点A(1,1,-1)且与且与x-y+z-7=0,3x+2y-12z+5=0都垂直都垂直的平面的平面.解解 设所求平面的法向量为设所求平面的法向量为n=(A,B,C),n1=(1,-1,1),n2=(3,2,-12),由于由于 ,故故 ,所以可取,所以可取因为因为则取则取 n=(
11、2,3,1),代入平面的点法式方程得所求平面方程为代入平面的点法式方程得所求平面方程为 2(x-1)+3(y-1)+(z+1)=0,即即 2x+3y+z-4=0.12,nnnn12/nnn12kn=nn12111(10,15,5)5(2,3,1)3212ijknn3)平面束平面束 作为两平面关系的更广泛情形,下面讨论平面束作为两平面关系的更广泛情形,下面讨论平面束.定义定义2 通过一条定直线的所有平面的全体,称为一个通过一条定直线的所有平面的全体,称为一个有轴有轴平面束平面束,定直线称为平面束的,定直线称为平面束的轴轴。平行于一个定平面的所有平。平行于一个定平面的所有平面的全体,称为一个面的全
12、体,称为一个平行平面束平行平面束。定理定理2 以二相交平面以二相交平面 1:A1x+B1y+C1z+D1=0,2:A2x+B2y+C2z+D2=0.的交线的交线L为轴的为轴的有轴平面束有轴平面束的方程是的方程是 (2.3-10)这里这里,是不同时为零的任意实数是不同时为零的任意实数,称为参数称为参数.证证 先证明对于任意一组不同时为零的参数值先证明对于任意一组不同时为零的参数值,方程方程(2.3-10)表示一个平面表示一个平面.,0)()(22221111DzCyBxADzCyBxA将方程将方程(2.3-10)改写为改写为而上式中而上式中x,y,z的系数不同时为零的系数不同时为零,否则否则 设
13、设 ,则有则有 而这与题设而这与题设 1,2相交矛盾相交矛盾,所以所以(2.3-10)确是三元一次方程确是三元一次方程,表表示平面示平面.再证对于任意一组不同时为零的参数值再证对于任意一组不同时为零的参数值,方程方程(2.3-10)表示的平面过表示的平面过 1与与 2 的交线的交线L.因为因为 1,2 交线交线L上任一点的坐标必满足上任一点的坐标必满足 1及及 2的方程的方程,因而也必满足因而也必满足(2.3-10),从而从而L必在方程必在方程(2.3-10)所表示的平面上所表示的平面上.,0)()()()(21212121DDzCCyBBxAA,0,0,0212121CCBBAA0,2121
14、21CCBBAA 最后证明通过交线最后证明通过交线L的任一平面的任一平面,都可以通过选取适当的都可以通过选取适当的,值值,用方程用方程(2.3-10)表示表示.设在平面设在平面 上上,但不在交线但不在交线L上任取一点上任取一点P(,),因为因为P不在不在L上上,所以所以 与与 不能同不能同时为零时为零.如果如果 ,可取可取把满足这个关系的一组把满足这个关系的一组,值代入方程值代入方程(2.3-10)得:得:显然这个方程既通过了显然这个方程既通过了L,又通过了又通过了P点点,即为平面即为平面 的方程的方程.1111DCBA2222DCBA02222DCBA,22221111DCBADCBA)(1
15、1112222DzCyBxADCBA0)(22221111DzCyBxADCBA 特别地,当特别地,当 =1时,可以选取时,可以选取 ;当;当 =2时时,可以选取可以选取 .注:注:为了计算方便为了计算方便,有时也把上述平面束的方程写成有时也把上述平面束的方程写成 (2.3-11)它只含有一个参数它只含有一个参数,所以计算方便所以计算方便.但要注意但要注意,不管不管取何值取何值,方方程程(2.3-11)都不能表示平面都不能表示平面即即(2.3-11)决定的平面的全体比决定的平面的全体比(2.3-10)决定的平面束少了一决定的平面束少了一个平面个平面 2.下面讨论下面讨论平行平面束平行平面束,已
16、给定平面已给定平面 的方程为的方程为 由于平行于由于平行于 的平面可看成与的平面可看成与 具有相同的法向具有相同的法向,因而因而平行平行平面束平面束的方程可写成的方程可写成 (2.3-12)其中其中为参数为参数.1,00,1.0)()(22221111DzCyBxADzCyBxA,02222DzCyBxA.0DCzByAx,0CzByAx 例例7 求过直线求过直线 且与且与x y面垂直的平面面垂直的平面.解解 过二平面过二平面2x-y+2z=0,x+2y-2z-6=0的交线的平面方程可看的交线的平面方程可看成有轴平面束成有轴平面束,设为设为即即该平面的法向量该平面的法向量 .由题设该平由题设该
17、平面与面与x y面垂直面垂直,得得 ,即即 .解得解得 取取 则则由此可得所求平面方程由此可得所求平面方程 3x-y-6=0.0622022zyxzyx,0)622()22(zyxzyx.06)22()2()2(zyx)22(),2(),2(n0kn022.,11 例例8 求与平面求与平面3x+y-z+4=0平行且在平行且在z轴上截距等于轴上截距等于-2的平的平面方程面方程.解解 可设所求平面方程为可设所求平面方程为因该平面在因该平面在z轴上的截距为轴上的截距为-2,所以该平面通过点所以该平面通过点(0,0,-2),由此得由此得所以所以因此所求平面方程为:因此所求平面方程为:,03zyx,02
18、,2.023zyx2.3.4 空间两直线的相关位置空间两直线的相关位置(Mutual position of two lines in space)1)空间两直线的位置关系空间两直线的位置关系 空间两直线的相关位置有空间两直线的相关位置有异面异面与与共面共面,共面时又有共面时又有相交相交、平平行行和和重合重合3种情形种情形.设二直线的方程为设二直线的方程为 i=1,2.直线直线L1上定点上定点P1(x1,y1,z1)和方向向量和方向向量v1=(X1,Y1,Z1),而直线而直线L2上定点上定点P2(x2,y2,z2)和方向向量和方向向量v2=(X2,Y2,Z2).由图容易看出由图容易看出,两直线
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