全等三角形的的性质与判定难题50道(含详细答案)(DOC 77页).docx
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1、全等三角形的的性质与判定难题50道1边长为的等边三角形,记为第1个等边三角形,取其各边的三等分点,顺次连接得到一个正六边形,记为第1个正六边形,取这个正六边形不相邻的三边中点,顺次连接又得到一个等边三角形,记为第2个等边三角形,取其各边的三等分点,顺次连接又得到一个正六边形,记为第2个正六边形(如图),按此方式依次操作,则第6个正六边形的边长为ABCD2如图,在等边中,点,分别在边,上,且,过点作,交的延长线于点,(1)求的度数;(2)若,求的长3数学课上,李老师出示了如下的题目:“在等边三角形中,点在上,点在的延长线上,且,如图,试确定线段与的大小关系,并说明理由”小敏与同桌小聪讨论后,进行
2、了如下解答:(1)特殊情况,探索结论当点为的中点时,如图1,确定线段与的大小关系,请你直接写出结论: (填“”,“ ”或“” (2)特例启发,解答题目解:题目中,与的大小关系是: (填“”,“ ”或“” 理由如下:如图2,过点作,交于点(请你完成以下解答过程)(3)拓展结论,设计新题在等边三角形中,点在直线上,点在直线上,且若的边长为1,求的长(请你直接写出结果)4如图,过等边的边上一点,作于,为延长线上一点,且,连交边于(1)求证:;(2)若的边长为1,求的长5如图所示,已知等边的边长为,是内一点,点、分别在、上,猜想: ,并证明你的猜想6如图,已知和均为等边三角形,且点、在同一条直线上,连
3、接、,交和分别于、点,连接(1)请说出的理由;(2)试说出的理由;(3)试猜想:是什么特殊的三角形,并加以说明7如图,已知是边长为的等边三角形,动点,同时从、两点出发,分别沿、方向匀速运动,其中点运动的速度是,点运动的速度是,当点运动到点时,都停止运动(1)出发后运动时,试判断的形状,并说明理由;那么此时和的位置关系呢?请说明理由;(2)设运动时间为,的面积为,请用的表达式表示8已知:在等边中,点、分别为边、的中点,点为直线上一动点,当点在延长线上时,有结论“在直线上存在一点,使得是等边三角形”成立(如图,且当点与点、重合时,该结论也一定成立问题:当点在直线的其它位置时,该结论是否仍然成立?请
4、你在下面的备用图中,画出相应图形并证明相关结论9已知点为线段上一点,分别以、为边在线段同侧作和,且,直线与交于点,(1)如图1,若,则 ;如图2,若,则 ;如图3,若,则 ;(2)如图4,若,则 (用含的式子表示);(3)将图4中的绕点顺时针旋转任意角度(交点至少在、中的一条线段上),变成如图5所示的情形,若,则与的有何数量关系?并给予证明10如图1,为等边三角形,面积为、分别是三边上的点,且,连接、,可得是等边三角形,此时的面积,的面积(1)当、分别是等边三边上的点,且时如图2,求证:是等边三角形;若用表示的面积,则 ;若用表示的面积,则 (2)按照上述思路探索下去,并填空:当、分别是等边三
5、边上的点,时,为正整数)是 三角形;若用表示的面积,则 ;若用表示的面积,则 11如图,在等边的三边上分别取点、,使(1)试说明是等边三角形;(2)连接、,两两相交于点、,则为何种三角形?试说明理由12如图所示,一个六边形的六个内角都是,其中连续四边的长依次是1、9、9、5求这个六边形的周长13如图,已知是的边上的一点,是的中线(1)若,求的值;(2)求证:是的平分线14如图,为等边三角形,平分交于点,交于点(1)求证:是等边三角形(2)求证:15如图在等边中,与的平分线相交于点,且,(1)试判定的形状,并说明你的理由;(2)线段、三者有什么关系?写出你的判断过程16如图,是等边三角形,求证:
6、是等边三角形17用三根火柴棒可以搭成一个等边三角形,你能用9根火柴搭出5个等边三角形吗?18如图,是等边三角形,是高,并且恰好是的垂直平分线求证:是等边三角形19如图,平分,为角平分线上一点,过点作,垂足为,交于点,交于点(1)判断的形状,并说明理由;(2)若,求的长20如图,在中,、分别为、的中点,且,点、在上,求线段的长(提示:需要添加辅助线)21已知,如图,是正三角形,分别是各边上的一点,且请你说明是正三角形22如图所示,是等边三角形,且,试问:是等边三角形吗?请说明理由23如图,为等边三角形,平分,(1)求证:是等边三角形;(2)求证:24如图是等边三角形(1)如图,分别交、于点、求证
7、:是等边三角形;(2)如图,仍是等边三角形,点在的延长线上,连接,判断的度数及线段、之间的数量关系,并说明理由25如图,是的平分线上一点,、是垂足,连接交于点,若(1)求证:是等边三角形;(2)若,求线段的长26如图,中,点、分别在、上,、相交于点,于点,求证:27如图,在中,、是内两点,平分,若,则 28如图,已知为等边三角形,为延长线上的一点,平分,求证:为等边三角形29如图,为等边三角形,为边上一点,以为边作,与的外角平分线交于点,连接,且求证:是等边三角形30如图,在中,是三角形外一点,且,求证:31如图,在等边中,与的平分线相交于点,且,(1)求证:是等边三角形(2)线段、 三者有什
8、么数量关系?写出你的判断过程(3)数学学习不但要能解决问题,还要善于提出问题结合本题,在现有的图形上,请提出两个与“直角三角形”有关的问题(只要提出问题,不需要解答)32已知:如图,在中,是中线,延长至点,使求证:33如图,和均是边长为2的等边三角形,、分别是、上的两个动点,且满足(1)求证:;(2)判断的形状,并说明理由34已知:如图,四边形中,为上的点不与、重合),若有一角等于(1)当为中点时,则的面积为 (结果用含的式子表示);(2)求证:为等边三角形;(3)设的面积为,求出的取值范围(结果用含的式子表示)35如图,点是等边内一点,将绕点按顺时针方向旋转得,连接(1)是什么三角形?说明理
9、由;(2)若,为大于1的整数),求的度数;(3)当为多少度时,是等腰三角形?36已知:如图,、都是等边三角形,、相交于点,点、分别是线段、的中点(1)求证:;(2)求的度数;(3)求证:是等边三角形37已知:在和中,(1)如图,若,求证:(2)如图,若,则与间的等量关系式为 ,的大小为 (直接写出结果,不证明)38如图,是等边三角形,是上一点,试判断形状,并证明你的结论39等边边长为6,为上一点,含、的直角三角板角的顶点落在点上,使三角板绕点旋转(1)如图1,当为的三等分点,且时,判断的形状;(2)在(1)问的条件下,、的延长线交于点,如图2,求的面积;(3)在三角板旋转过程中,若,如图3,求
10、的长40为了使同学们更好地解答本题,我们提供了思路点拨,你可以依照这个思路填空,并完成本题解答的全过程,当然你也可以不填空,只需按照解答的一般要求,进行解答即可如图,已知,延长,使,连接,求证:思路点拨:(1)由已知条件,可知:是 三角形;(2)同理由已知条件得到 ,且,可知 ;(3)要证,可将问题转化为两条线段相等,即 ;(4)要证(3)中所填写的两条线段相等,可以先证明请你完成证明过程:41已知是等边三角形,点是上一点,于点,交于点,在的延长线上截取,交于点,(1)如图1,若,则 , ;(2)如图2,若,试求和的值;(3)如图3,若点在边的延长线上,且,其他条件不变,则 (只写答案不写过程
11、)42如图为等边三角形,直线,为直线上任一动点,将一角的顶点置于点处,它的一边始终经过点,另一边与直线交于点(1)若恰好在的中点上(如图求证:是等边三角形;(2)若为直线上任一点(如图,其他条件不变,上述(1)的结论是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由43如图,在等边中,点从点出发沿边向点点以的速度移动,点点从点出发沿边向点以速度移动、两点同时出发,它们移动的时间为秒钟(1)你能用表示和的长度吗?请你表示出来(2)请问几秒钟后,为等边三角形?(3)若、两点分别从、两点同时出发,并且都按顺时针方向沿三边运动,请问经过几秒钟后点与点第一次在的哪条边上相遇?44如图:在中,与相交于点,
12、于求证:;45如图1,点是线段上一点,和分别是等边三角形,连接和(1)求证:;(2)如图2,点、分别是、的中点,试判断的形状,并证明46如图:已知是等边三角形,、分别是、边的中点,是直线上的任意一点,在射线上截取,使,连接、(1)如图,当点在点左侧时,请你按已知要求补全图形,并判断是怎样的特殊三角形(不要求证明);(2)请借助图解答:当点在线段上(与点、不重合),其它条件不变时,(1)中的结论是否依然成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由;(3)请借助图解答:当点在射线上(与点不重合),其它条件不变时,(1)中的结论是否仍然成立?不要求证明47如图,是等边三角形,点、分别是线段、上的点,(
13、1)若,问是等边三角形吗?试证明你的结论;(2)若是等边三角形,问成立吗?试证明你的结论48如图,已知为等边三角形,延长到,延长到,并且使,连接,求证:49如图,已知与都是边长为2的等边三角形,如图有一个角的三角板绕着点旋转分别交、于点、两点(不与端点重合)(1)试说明:是等边三角形;(2)求四边形的面积;(3)填空:当 时,最小50如图,、三点在同一直线上,和是正三角形,是中点,是中点求证:是正三角形全等三角形的的性质与判定难题50道参考答案与试题解析一选择题(共1小题)1边长为的等边三角形,记为第1个等边三角形,取其各边的三等分点,顺次连接得到一个正六边形,记为第1个正六边形,取这个正六边
14、形不相邻的三边中点,顺次连接又得到一个等边三角形,记为第2个等边三角形,取其各边的三等分点,顺次连接又得到一个正六边形,记为第2个正六边形(如图),按此方式依次操作,则第6个正六边形的边长为ABCD【解答】解:连接、六边形是正六边形,在和中,、分别为、中点,六边形是正六边形,是等边三角形,同理,即,等边三角形的边长是,第一个正六边形的边长是,即等边三角形的边长的,过作于,过作于,则,四边形是平行四边形,(已证),同理,即第二个等边三角形的边长是,与上面求出的第一个正六边形的边长的方法类似,可求出第二个正六边形的边长是;同理第第三个等边三角形的边长是,与上面求出的第一个正六边形的边长的方法类似,
15、可求出第三个正六边形的边长是;同理第四个等边三角形的边长是,第四个正六边形的边长是;第五个等边三角形的边长是,第五个正六边形的边长是;第六个等边三角形的边长是,第六个正六边形的边长是,即第六个正六边形的边长是,故选:二解答题(共49小题)2如图,在等边中,点,分别在边,上,且,过点作,交的延长线于点,(1)求的度数;(2)若,求的长【解答】解:(1)是等边三角形,;(2),是等边三角形,3数学课上,李老师出示了如下的题目:“在等边三角形中,点在上,点在的延长线上,且,如图,试确定线段与的大小关系,并说明理由”小敏与同桌小聪讨论后,进行了如下解答:(1)特殊情况,探索结论当点为的中点时,如图1,
16、确定线段与的大小关系,请你直接写出结论:(填“”,“ ”或“” (2)特例启发,解答题目解:题目中,与的大小关系是: (填“”,“ ”或“” 理由如下:如图2,过点作,交于点(请你完成以下解答过程)(3)拓展结论,设计新题在等边三角形中,点在直线上,点在直线上,且若的边长为1,求的长(请你直接写出结果)【解答】解:(1)故答案为:(2)过作交于,等边三角形,即,是等边三角形,在和中,即,故答案为:(3)解:或3,理由是:分为两种情况:如图1过作于,过作于,则,是等边三角形,;如图2,作于,过作于,则,是等边三角形,即或14如图,过等边的边上一点,作于,为延长线上一点,且,连交边于(1)求证:;
17、(2)若的边长为1,求的长【解答】(1)证明:如图,过做交于点,为等边三角形,是等边三角形;,(2)是等边三角形,5如图所示,已知等边的边长为,是内一点,点、分别在、上,猜想:,并证明你的猜想【解答】解:理由如下:如图,延长交于,延长交于,是等边三角形,是等边三角形,同理可得是等边三角形,又,四边形是平行四边形,故答案为6如图,已知和均为等边三角形,且点、在同一条直线上,连接、,交和分别于、点,连接(1)请说出的理由;(2)试说出的理由;(3)试猜想:是什么特殊的三角形,并加以说明【解答】解:(1)和均为等边三角形,;(2),点、在同一条直线上又;(3)是等边三角形,理由如下:(全等三角形的对
18、应边相等)又是等边三角形(有一内角为60度的等腰三角形为等边三角形);7如图,已知是边长为的等边三角形,动点,同时从、两点出发,分别沿、方向匀速运动,其中点运动的速度是,点运动的速度是,当点运动到点时,都停止运动(1)出发后运动时,试判断的形状,并说明理由;那么此时和的位置关系呢?请说明理由;(2)设运动时间为,的面积为,请用的表达式表示【解答】解:(1)是等边三角形,(2分)运动至时,(4分)又是边长为的等边三角形是等边三角形(6分)(2)过作于,(10分) (12分)8已知:在等边中,点、分别为边、的中点,点为直线上一动点,当点在延长线上时,有结论“在直线上存在一点,使得是等边三角形”成立
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