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类型旋转综合题及答案(DOC 32页).doc

  • 上传人(卖家):2023DOC
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    旋转综合题及答案DOC 32页 旋转 综合 答案 DOC 32
    资源描述:

    1、旋转综合题一解答题(共14小题)1阅读与理解:图1是边长分别为a和b(ab)的两个等边三角形纸片ABC和CDE叠放在一起(C与C重合)的图形操作与证明:(1)操作:固定ABC,将CDE绕点C按顺时针方向旋转30,连接AD,BE,如图2;在图2中,线段BE与AD之间具有怎样的大小关系?证明你的结论;(2)操作:若将图1中的CDE,绕点C按顺时针方向任意旋转一个角度,连接AD,BE,如图3;在图3中,线段BE与AD之间具有怎样的大小关系?证明你的结论;猜想与发现:根据上面的操作过程,请你猜想当为多少度时,线段AD的长度最大是多少?当为多少度时,线段AD的长度最小是多少?2如图1、2是两个相似比为1

    2、:的等腰直角三角形,将两个三角形如图3放置,小直角三角形的斜边与大直角三角形的一直角边重合(1)在图3中,绕点D旋转小直角三角形,使两直角边分别与AC、BC交于点E,F,如图4求证:AE2+BF2=EF2;(2)若在图3中,绕点C旋转小直角三角形,使它的斜边和CD延长线分别与AB交于点E、F,如图5,此时结论AE2+BF2=EF2是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由(3)如图6,在正方形ABCD中,E、F分别是边BC、CD上的点,满足CEF的周长等于正方形ABCD的周长的一半,AE、AF分别与对角线BD交于M、N,试问线段BM、MN、DN能否构成三角形的三边长?若能,指出三角

    3、形的形状,并给出证明;若不能,请说明理由3某校九年级学习小组在探究学习过程中,用两块完全相同的且含60角的直角三角板ABC与AFE按如图(1)所示位置放置放置,现将RtAEF绕A点按逆时针方向旋转角(090),如图(2),AE与BC交于点M,AC与EF交于点N,BC与EF交于点P(1)求证:AM=AN;(2)当旋转角=30时,四边形ABPF是什么样的特殊四边形?并说明理由4如图1,在ABC中,A=36,AB=AC,ABC的平分线BE交AC于E(1)求证:AE=BC;(2)如图(2),过点E作EFBC交AB于F,将AEF绕点A逆时针旋转角(0144)得到AEF,连结CE,BF,求证:CE=BF;

    4、(3)在(2)的旋转过程中是否存在CEAB?若存在,求出相应的旋转角;若不存在,请说明理由5在RtABC中,C=90,AC=1,BC=,点O为RtABC内一点,连接A0、BO、CO,且AOC=COB=BOA=120,按下列要求画图(保留画图痕迹):以点B为旋转中心,将AOB绕点B顺时针方向旋转60,得到AOB(得到A、O的对应点分别为点A、O),并回答下列问题:ABC= ,ABC= ,OA+OB+OC= 6在ABC中,BA=BC,BAC=,M是AC的中点,P是线段BM上的动点,将线段PA绕点P顺时针旋转2得到线段PQ(1)若=60且点P与点M重合(如图1),线段CQ的延长线交射线BM于点D,请

    5、补全图形,并写出CDB的度数;(2)在图2中,点P不与点B,M重合,线段CQ的延长线于射线BM交于点D,猜想CDB的大小(用含的代数式表示),并加以证明;(3)对于适当大小的,当点P在线段BM上运动到某一位置(不与点B,M重合)时,能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D,且PQ=QD,请直接写出的范围7已知,在ABC中,AB=AC过A点的直线a从与边AC重合的位置开始绕点A按顺时针方向旋转角,直线a交BC边于点P(点P不与点B、点C重合),BMN的边MN始终在直线a上(点M在点N的上方),且BM=BN,连接CN(1)当BAC=MBN=90时,如图a,当=45时,ANC的度数为 ;如图b,当4

    6、5时,中的结论是否发生变化?说明理由;(2)如图c,当BAC=MBN90时,请直接写出ANC与BAC之间的数量关系,不必证明8如图,四边形ABCD是边长为3的正方形,长方形AEFG的宽AE=,长EF=将长方形AEFG绕点A顺时针旋转15得到长方形AMNH(如图),这时BD与MN相交于点O(1)求DOM的度数;(2)在图中,求D、N两点间的距离;(3)若把长方形AMNH绕点A再顺时针旋转15得到长方形ARTZ,请问此时点B在矩形ARTZ的内部、外部、还是边上?并说明理由9某数学兴趣小组开展了一次活动,过程如下:如图1,在等腰直角ABC中,AB=AC,BAC=90,小敏将一块三角板中含45角的顶点

    7、放在A上,从AB边开始绕点A逆时针旋转一个角,其中三角板斜边所在的直线交直线BC于点D,直角边所在的直线交直线BC于点E(1)小敏在线段BC上取一点M,连接AM,旋转中发现:若AD平分BAM,则AE也平分MAC请你证明小敏发现的结论;(2)当045时,小敏在旋转中还发现线段BD、CE、DE之间存在如下等量关系:BD2+CE2=DE2同组的小颖和小亮随后想出了两种不同的方法进行解决;小颖的想法:将ABD沿AD所在的直线对折得到ADF,连接EF(如图2)小亮的想法:将ABD绕点A逆时针旋转90得到ACG,连接EG(如图3);请你从中任选一种方法进行证明;(3)小敏继续旋转三角板,在探究中得出当45

    8、135且90时,等量关系BD2+CE2=DE2仍然成立,先请你继续研究:当135180时(如图4)等量关系BD2+CE2=DE2是否仍然成立?若成立,给出证明;若不成立,说明理由10如图,将边长为a的正方形OABC绕顶点O按顺时针方向旋转角(045),得到正方形OA1B1C1设边B1C1与OC的延长线交于点M,边B1A1与OB交于点N,边B1A1与OA的延长线交于点E,连接MN(1)求证:OC1MOA1E;(2)试说明:OMN的边MN上的高为定值;(3)MNB1的周长p是否发生变化?若发生变化,试说明理由;若不发生变化,请给予证明,并求出p的值11在正方形ABCD的边AB上任取一点E,作EFA

    9、B交BD于点F,取FD的中点G,连接EG、CG,如图(1),易证 EG=CG且EGCG(1)将BEF绕点B逆时针旋转90,如图(2),则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系?请直接写出你的猜想(2)将BEF绕点B逆时针旋转180,如图(3),则线段EG和CG又有怎样的数量关系和位置关系?请写出你的猜想,并加以证明12己知:正方形ABCD(1)如图1,点E、点F分别在边AB和AD上,且AE=AF此时,线段BE、DF的数量关系和位置关系分别是什么?请直接写出结论(2)如图2,等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转,当090时,连接BE、DF,此时(1)中的结论是否成立,如果成立,请证明;如

    10、果不成立,请说明理由(3)如图3,等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转,当a=90时,连接BE、DF,猜想沟AE与AD满足什么数量关系时,直线DF垂直平分BE请直接写出结论(4)如图4,等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转,当90180时,连接BD、DE、EF、FB得到四边形BDEF,则顺次连接四边形BDEF各边中点所组成的四边形是什么特殊四边形?请直接写出结论13如图,点O是等边ABC内一点,AOB=,BOC=将BOC绕点C按顺时针方向旋转60得ADC,连接OD(1)当=110,=150时,试判断AOD的形状,并说明理由(2)探究:若=110,那么为多少度,AOD是等腰三角形?(

    11、只要写出探究结果)= (3)请写出AOD是等边三角形时、的度数= 度; = 度14已知正方形ABCD中,E为对角线BD上一点,过E点作EFBD交BC于F,连接DF,G为DF中点,连接EG,CG(1)求证:EG=CG;(2)将图中BEF绕B点逆时针旋转45,如图所示,取DF中点G,连接EG,CG问(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由;(3)将图中BEF绕B点旋转任意角度,如图所示,再连接相应的线段,问(1)中的结论是否仍然成立?通过观察你还能得出什么结论(均不要求证明)旋转综合题参考答案与试题解析一解答题(共14小题)1(2017连云港四模)阅读与理解:图1是边长

    12、分别为a和b(ab)的两个等边三角形纸片ABC和CDE叠放在一起(C与C重合)的图形操作与证明:(1)操作:固定ABC,将CDE绕点C按顺时针方向旋转30,连接AD,BE,如图2;在图2中,线段BE与AD之间具有怎样的大小关系?证明你的结论;(2)操作:若将图1中的CDE,绕点C按顺时针方向任意旋转一个角度,连接AD,BE,如图3;在图3中,线段BE与AD之间具有怎样的大小关系?证明你的结论;猜想与发现:根据上面的操作过程,请你猜想当为多少度时,线段AD的长度最大是多少?当为多少度时,线段AD的长度最小是多少?【解答】解:操作与证明:(1)BE=ADCDE绕点C按顺时针方向旋转30,BCE=A

    13、CD=30度,ABC与CDE是等边三角形,CA=CB,CE=CD,BCEACD,BE=AD(2)BE=ADCDE绕点C按顺时针方向旋转的角度为,BCE=ACD=,ABC与CDE是等边三角形,CA=CB,CE=CD,BCEACD,BE=AD猜想与发现:当为180时,线段AD的长度最大,等于a+b;当为0(或360)时,线段AD的长度最小,等于ab2(2014长沙校级自主招生)如图1、2是两个相似比为1:的等腰直角三角形,将两个三角形如图3放置,小直角三角形的斜边与大直角三角形的一直角边重合(1)在图3中,绕点D旋转小直角三角形,使两直角边分别与AC、BC交于点E,F,如图4求证:AE2+BF2=

    14、EF2;(2)若在图3中,绕点C旋转小直角三角形,使它的斜边和CD延长线分别与AB交于点E、F,如图5,此时结论AE2+BF2=EF2是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由(3)如图6,在正方形ABCD中,E、F分别是边BC、CD上的点,满足CEF的周长等于正方形ABCD的周长的一半,AE、AF分别与对角线BD交于M、N,试问线段BM、MN、DN能否构成三角形的三边长?若能,指出三角形的形状,并给出证明;若不能,请说明理由【解答】证明:(1)连CD,如图4,两个等腰直角三角形的相似比为1:,而小直角三角形的斜边等于大直角三角形的直角边,点D为AB的中点,CD=AD,4=A=45

    15、,又1+2=2+3=90,3=1,CDFADE,CF=AE,同理可得CEDBFD,CE=BF,而CE2+CF2=EF2,AE2+BF2=EF2;(2)结论AE2+BF2=EF2仍然成立理由如下:把CFB绕点C顺时针旋转90,得到CGA,如图5CF=CG,AG=BF,4=1,B=GAC=45,GAE=90,而3=45,2+4=9045=45,1+2=45,CGECFE,GE=EF,在RtAGE中,AE2+AG2=GE2,AE2+BF2=EF2;(3)线段BM、MN、DN能构成直角三角形的三边长理由如下:把ADF绕点A顺时针旋转90得到ABP,点N的对应点为Q,如图4=2,1+3+4=90,BP=

    16、DF,BQ=DN,AF=AP,CEF的周长等于正方形ABCD的周长的一半,EF=BE+DF,EF=EP,AEFAEP,1=3+4,而AQ=AN,AMQAMN,MN=QM,而ADN=QBA=45,ABD=45,QBN=90,BQ2+BM2=QM2,BM2+DN2=MN23(2013娄底)某校九年级学习小组在探究学习过程中,用两块完全相同的且含60角的直角三角板ABC与AFE按如图(1)所示位置放置放置,现将RtAEF绕A点按逆时针方向旋转角(090),如图(2),AE与BC交于点M,AC与EF交于点N,BC与EF交于点P(1)求证:AM=AN;(2)当旋转角=30时,四边形ABPF是什么样的特殊

    17、四边形?并说明理由【解答】(1)证明:用两块完全相同的且含60角的直角三角板ABC与AFE按如图(1)所示位置放置放置,现将RtAEF绕A点按逆时针方向旋转角(090),AB=AF,BAM=FAN,在ABM和AFN中,ABMAFN(ASA),AM=AN;(2)解:当旋转角=30时,四边形ABPF是菱形理由:连接AP,=30,FAN=30,FAB=120,B=60,B+FAB=180,AFBP,F=FPC=60,FPC=B=60,ABFP,四边形ABPF是平行四边形,AB=AF,平行四边形ABPF是菱形4(2013益阳)如图1,在ABC中,A=36,AB=AC,ABC的平分线BE交AC于E(1)

    18、求证:AE=BC;(2)如图(2),过点E作EFBC交AB于F,将AEF绕点A逆时针旋转角(0144)得到AEF,连结CE,BF,求证:CE=BF;(3)在(2)的旋转过程中是否存在CEAB?若存在,求出相应的旋转角;若不存在,请说明理由【解答】(1)证明:AB=BC,A=36,ABC=C=72,又BE平分ABC,ABE=CBE=36,BEC=180CCBE=72,ABE=A,BEC=C,AE=BE,BE=BC,AE=BC(2)证明:AC=AB且EFBC,AE=AF;由旋转的性质可知:EAC=FAB,AE=AF,在CAE和BAF中,CAEBAF,CE=BF(3)存在CEAB,理由:由(1)可知

    19、AE=BC,所以,在AEF绕点A逆时针旋转过程中,E点经过的路径(圆弧)与过点C且与AB平行的直线l交于M、N两点,如图:当点E的像E与点M重合时,则四边形ABCM为等腰梯形,BAM=ABC=72,又BAC=36,=CAM=36 当点E的像E与点N重合时,由ABl得,AMN=BAM=72,AM=AN,ANM=AMN=72,MAN=180272=36,=CAN=CAM+MAN=72所以,当旋转角为36或72时,CEAB5(2013常州)在RtABC中,C=90,AC=1,BC=,点O为RtABC内一点,连接A0、BO、CO,且AOC=COB=BOA=120,按下列要求画图(保留画图痕迹):以点B

    20、为旋转中心,将AOB绕点B顺时针方向旋转60,得到AOB(得到A、O的对应点分别为点A、O),并回答下列问题:ABC=30,ABC=90,OA+OB+OC=【解答】解:C=90,AC=1,BC=,tanABC=,ABC=30,AOB绕点B顺时针方向旋转60,AOB如图所示;ABC=ABC+60=30+60=90,C=90,AC=1,ABC=30,AB=2AC=2,AOB绕点B顺时针方向旋转60,得到AOB,AB=AB=2,BO=BO,AO=AO,BOO是等边三角形,BO=OO,BOO=BOO=60,AOC=COB=BOA=120,COB+BOO=BOA+BOO=120+60=180,C、O、A

    21、、O四点共线,在RtABC中,AC=,OA+OB+OC=AO+OO+OC=AC=故答案为:30;90;6(2012北京)在ABC中,BA=BC,BAC=,M是AC的中点,P是线段BM上的动点,将线段PA绕点P顺时针旋转2得到线段PQ(1)若=60且点P与点M重合(如图1),线段CQ的延长线交射线BM于点D,请补全图形,并写出CDB的度数;(2)在图2中,点P不与点B,M重合,线段CQ的延长线于射线BM交于点D,猜想CDB的大小(用含的代数式表示),并加以证明;(3)对于适当大小的,当点P在线段BM上运动到某一位置(不与点B,M重合)时,能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D,且PQ=QD,请

    22、直接写出的范围【解答】解:(1)BA=BC,BAC=60,M是AC的中点,BMAC,AM=MC,将线段PA绕点P顺时针旋转2得到线段PQ,AM=MQ,AMQ=120,CM=MQ,CMQ=60,CMQ是等边三角形,ACQ=60,CDB=30;(2)如图2,连接PC,AD,AB=BC,M是AC的中点,BMAC,即BD为AC的垂直平分线,AD=CD,AP=PC,PD=PD,在APD与CPD中,APDCPD(SSS),ADB=CDB,PAD=PCD,又PQ=PA,PQ=PC,ADC=21,4=PCQ=PAD,PAD+PQD=4+PQD=180,APQ+ADC=360(PAD+PQD)=180,ADC=

    23、180APQ=1802,2CDB=1802,CDB=90;(3)如图1,延长BM,CQ交于点D,连接AD,CDB=90,且PQ=QD,PAD=PCQ=PQC=2CDB=1802,点P不与点B,M重合,BADPADMAD,点P在线段BM上运动,PAD最大为2,PAD最小等于,21802,45607(2012本溪)已知,在ABC中,AB=AC过A点的直线a从与边AC重合的位置开始绕点A按顺时针方向旋转角,直线a交BC边于点P(点P不与点B、点C重合),BMN的边MN始终在直线a上(点M在点N的上方),且BM=BN,连接CN(1)当BAC=MBN=90时,如图a,当=45时,ANC的度数为45;如图

    24、b,当45时,中的结论是否发生变化?说明理由;(2)如图c,当BAC=MBN90时,请直接写出ANC与BAC之间的数量关系,不必证明【解答】解:(1)BAC=90,=45,APBC,BP=CP(等腰三角形三线合一),AP=BP(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半),又MBN=90,BM=BN,AP=PN(等腰三角形三线合一),AP=PN=BP=PC,且ANBC,四边形ABNC是正方形,ANC=45;连接CN,当45时,中的结论不发生变化理由如下:BAC=MBN=90,AB=AC,BM=BN,ABC=ACB=BNP=45,又BPN=APC,BNPACP,=,又APB=CPN,ABPCNP,AN

    25、C=ABC=45;(2)ANC=90BAC理由如下:BAC=MBN90,AB=AC,BM=BN,ABC=ACB=BNP=(180BAC),又BPN=APC,BNPACP,=,又APB=CPN,ABPCNP,ANC=ABC,在ABC中,ABC=(180BAC)=90BAC8(2012怀化)如图,四边形ABCD是边长为3的正方形,长方形AEFG的宽AE=,长EF=将长方形AEFG绕点A顺时针旋转15得到长方形AMNH(如图),这时BD与MN相交于点O(1)求DOM的度数;(2)在图中,求D、N两点间的距离;(3)若把长方形AMNH绕点A再顺时针旋转15得到长方形ARTZ,请问此时点B在矩形ARTZ

    26、的内部、外部、还是边上?并说明理由【解答】解:(1)根据题意得:BAM=15,四边形AMNH是矩形,M=90,AKM=90BAM=75,BKO=AKM=75,四边形ABCD是正方形,ABD=45,DOM=BKO+ABD=75+45=120;(2)连接AN,交BD于I,连接DN,NH=,AH=,H=90,tanHAN=,HAN=30,AN=2NH=7,由旋转的性质:DAH=15,DAN=45,DAC=45,A,C,N共线,四边形ABCD是正方形,BDAC,AD=CD=3,DI=AI=AC=3,NI=ANAI=73=4,在RtDIN中,DN=5;(3)点B在矩形ARTZ的外部理由:如图,根据题意得

    27、:BAR=15+15=30,R=90,AR=,AK=,AB=3,点B在矩形ARTZ的外部9(2012宁德)某数学兴趣小组开展了一次活动,过程如下:如图1,在等腰直角ABC中,AB=AC,BAC=90,小敏将一块三角板中含45角的顶点放在A上,从AB边开始绕点A逆时针旋转一个角,其中三角板斜边所在的直线交直线BC于点D,直角边所在的直线交直线BC于点E(1)小敏在线段BC上取一点M,连接AM,旋转中发现:若AD平分BAM,则AE也平分MAC请你证明小敏发现的结论;(2)当045时,小敏在旋转中还发现线段BD、CE、DE之间存在如下等量关系:BD2+CE2=DE2同组的小颖和小亮随后想出了两种不同

    28、的方法进行解决;小颖的想法:将ABD沿AD所在的直线对折得到ADF,连接EF(如图2)小亮的想法:将ABD绕点A逆时针旋转90得到ACG,连接EG(如图3);请你从中任选一种方法进行证明;(3)小敏继续旋转三角板,在探究中得出当45135且90时,等量关系BD2+CE2=DE2仍然成立,先请你继续研究:当135180时(如图4)等量关系BD2+CE2=DE2是否仍然成立?若成立,给出证明;若不成立,说明理由【解答】 (1)证明:如图1,BAC=90,BAD+DAM+MAE+EAC=90DAE=45,BAD+EAC=45BAD=DAM,BAD+EAC=DAM+EAC=45,DAM+MAE=DAM

    29、+EAC,MAE=EAC,即AE平分MAC;(2)选择小颖的方法证明:如图2,连接EF由折叠可知,BAD=FAD,AB=AF,BD=DF,BAD=FAD,由(1)可知,CAE=FAE在AEF和AEC中,AEFAEC(SAS),CE=FE,AFE=C=45DFE=AFD+AFE=90在RtDFE中,DF2+FE2=DE2,BD2+CE2=DE2 (3)当135180时,等量关系BD2+CE2=DE2仍然成立证明如下: 如图4,按小颖的方法作图,设AB与EF相交于点G将ABD沿AD所在的直线对折得到ADF,AF=AB,AFD=ABD=135,BAD=FAD又AC=AB,AF=AC又CAE=90BA

    30、E=90(45BAD)=45+BAD=45+FAD=FAECAE=FAE在AEF和AEC中,AEFAEC(SAS),CE=FE,AFE=C=45DFE=AFDAFE=135C=13545=90DFE=90在RtDFE中,DF2+FE2=DE2,BD2+CE2=DE210(2012高淳县一模)如图,将边长为a的正方形OABC绕顶点O按顺时针方向旋转角(045),得到正方形OA1B1C1设边B1C1与OC的延长线交于点M,边B1A1与OB交于点N,边B1A1与OA的延长线交于点E,连接MN(1)求证:OC1MOA1E;(2)试说明:OMN的边MN上的高为定值;(3)MNB1的周长p是否发生变化?若

    31、发生变化,试说明理由;若不发生变化,请给予证明,并求出p的值【解答】(1)证明:正方形OABC,A1OE+A1OM=C1OM+A1OM=90,A1OE=C1OM,在OC1M和OA1E中,OC1MOA1E(ASA);(2)解:OC1MOA1E(已证),OE=OM,在EON和MON中,EONMON(SAS),EN=MN,OMN的边MN上的高等于OEN边EN上的高,即OA1的长a,为定值;(3)p不会发生变化,是定值2a理由如下:根据(1)(2),OC1MOA1E,EONMON,MN=EN,A1E=C1M,MNB1的周长p=MN+NB1+MB1,=EN+NB1+MB1,=EB1+MB1,=A1E+A

    32、1B1+MB1,=C1M+A1B1+MB1,=A1B1+B1C1,正方形OABC的边长为a,A1B1=B1C1=a,p=2a,是定值11(2011齐齐哈尔)在正方形ABCD的边AB上任取一点E,作EFAB交BD于点F,取FD的中点G,连接EG、CG,如图(1),易证 EG=CG且EGCG(1)将BEF绕点B逆时针旋转90,如图(2),则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系?请直接写出你的猜想(2)将BEF绕点B逆时针旋转180,如图(3),则线段EG和CG又有怎样的数量关系和位置关系?请写出你的猜想,并加以证明【解答】解:(1)EG=CG,EGCG(2)EG=CG,EGCG 证明:延长FE

    33、交DC延长线于M,连MGAEM=90,EBC=90,BCM=90,四边形BEMC是矩形BE=CM,EMC=90,由图(3)可知,BD平分ABC,ABC=90,EBF=45,又EFAB,BEF为等腰直角三角形BE=EF,F=45EF=CMEMC=90,FG=DG,MG=FD=FGBC=EM,BC=CD,EM=CDEF=CM,FM=DM,又FG=DG,CMG=EMC=45,F=GMC在GFE与GMC中,GFEGMC(SAS)EG=CG,FGE=MGC FMC=90,MF=MD,FG=DG,MGFD,FGE+EGM=90,MGC+EGM=90,即EGC=90,EGCG12(2011丹东)己知:正方形

    34、ABCD(1)如图1,点E、点F分别在边AB和AD上,且AE=AF此时,线段BE、DF的数量关系和位置关系分别是什么?请直接写出结论(2)如图2,等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转,当090时,连接BE、DF,此时(1)中的结论是否成立,如果成立,请证明;如果不成立,请说明理由(3)如图3,等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转,当a=90时,连接BE、DF,猜想沟AE与AD满足什么数量关系时,直线DF垂直平分BE请直接写出结论(4)如图4,等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转,当90180时,连接BD、DE、EF、FB得到四边形BDEF,则顺次连接四边形BDEF各边中点所组

    35、成的四边形是什么特殊四边形?请直接写出结论【解答】解:(1)BE=DF且BEDF;(2)在DFA和BEA中,DAF=90FAB,BAE=90FAB,DAF=BAE,又AB=AD,AE=AF,DFABEA,BE=DF;ADF=ABE,BEDF;(3)AE=(1)AD;(4)正方形13(2011郑州校级一模)如图,点O是等边ABC内一点,AOB=,BOC=将BOC绕点C按顺时针方向旋转60得ADC,连接OD(1)当=110,=150时,试判断AOD的形状,并说明理由(2)探究:若=110,那么为多少度,AOD是等腰三角形?(只要写出探究结果)=125或110或140(3)请写出AOD是等边三角形时

    36、、的度数=120度; =120度【解答】解:(1)AOD是直角三角形,理由如下:将BOC绕点C按顺时针方向旋转190=60得ADCBOCADC,DCO=190=60CO=CD,ADC=BOC=150COD是等边三角形CDO=190=60ADO=ADCCDO=15060=90AOD是直角三角形,(2)当=125或110或140,AOD是等腰三角形,(3)当=120且=120,AOD是等边三角形故答案为125或110或140,120,12014(2009莱芜)已知正方形ABCD中,E为对角线BD上一点,过E点作EFBD交BC于F,连接DF,G为DF中点,连接EG,CG(1)求证:EG=CG;(2)

    37、将图中BEF绕B点逆时针旋转45,如图所示,取DF中点G,连接EG,CG问(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由;(3)将图中BEF绕B点旋转任意角度,如图所示,再连接相应的线段,问(1)中的结论是否仍然成立?通过观察你还能得出什么结论(均不要求证明)【解答】(1)证明:四边形ABCD是正方形,DCF=90,在RtFCD中,G为DF的中点,CG=FD,同理,在RtDEF中,EG=FD,CG=EG(2)解:(1)中结论仍然成立,即EG=CG证法一:连接AG,过G点作MNAD于M,与EF的延长线交于N点在DAG与DCG中,AD=CD,ADG=CDG,DG=DG,DAG

    38、DCG(SAS),AG=CG;在DMG与FNG中,DGM=FGN,FG=DG,MDG=NFG,DMGFNG(ASA),MG=NG;EAM=AEN=AMN=90,四边形AENM是矩形,在矩形AENM中,AM=EN,在AMG与ENG中,AM=EN,AMG=ENG,MG=NG,AMGENG(SAS),AG=EG,EG=CG证法二:延长CG至M,使MG=CG,连接MF,ME,EC,在DCG与FMG中,FG=DG,MGF=CGD,MG=CG,DCGFMGMF=CD,FMG=DCG,MFCDAB,EFMF在RtMFE与RtCBE中,MF=CB,MFE=EBC,EF=BE,MFECBEMEF=CEBMEC=MEF+FEC=CEB+CEF=90,MEC为直角三角形MG=CG,EG=MC,EG=CG(3)解:(1)中的结论仍然成立理由如下:过F作CD的平行线并延长CG交于M点,连接EM、EC,过F作FN垂直于AB于N由于G为FD中点,易证CDGMFG,得到CD=FM,又因为BE=EF,易证EFM=EBC,则EFMEBC,FEM=BEC,EM=ECFEC+BEC=90,FEC+FEM=90,即MEC=90,MEC是等腰直角三角形,G为CM中点,EG=CG,EGCG36 / 36

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