考研数学二微分中值定理课件.ppt

1、 与中值相关的证明题是历年考研试题中的与中值相关的证明题是历年考研试题中的重难点，得分率不高，考生对具体定理的重难点，得分率不高，考生对具体定理的条件结论看得明白，但是做题的时候，不条件结论看得明白，但是做题的时候，不知道如何使用。其主要原因是不能把具体知道如何使用。其主要原因是不能把具体的知识点和考题结合起来，不会归纳其中的知识点和考题结合起来，不会归纳其中的常考题型，这里我重点介绍与中值相关的常考题型，这里我重点介绍与中值相关的证明题的处理手法。（注意：微分中值的证明题的处理手法。（注意：微分中值定理的三大定理中，罗尔定理、拉格朗日定理的三大定理中，罗尔定理、拉格朗日定理考查频繁，而柯西中

2、值定理考查较少）定理考查频繁，而柯西中值定理考查较少）（1）研究函数或导数的性态 （2）证明方程根的存在性 （3）证明恒等式或不等式 （4）证明有关中值问题的结论 （5）判断函数与导函数之间的关系（eg1996/2002）利用逆向思维，设辅助函数，一般解题思路：利用逆向思维，设辅助函数，一般解题思路：（1）证明含一个中值的等式或根的存在）证明含一个中值的等式或根的存在,多用罗多用罗尔定理，可用原函数法做辅助函数。尔定理，可用原函数法做辅助函数。（2）若结论中涉及到两个不同的函数，可考虑）若结论中涉及到两个不同的函数，可考虑用柯西中值定理。（注：有时需要用到拉格朗日用柯西中值定理。（注：有时需要

3、用到拉格朗日定理）定理）（3)若已知条件中含有高阶导数时，多考虑有泰若已知条件中含有高阶导数时，多考虑有泰勒公式，有时也考虑双导数中值定理。勒公式，有时也考虑双导数中值定理。(4)若结论中含有两个以上的中值，则需要多次若结论中含有两个以上的中值，则需要多次应用中值定理。应用中值定理。常见证明题的辅导函数技巧：)()(),(1ffba 使使）证）证（xxfxF)()(0)()(),(2 ffba使使）证）证（)()(xfexFx 0)()()(xfexfexFxx若若0)()(xfxf0)()(),(3 ffba使使）证）证（)()(xfexFx 0)()()()()()()()(),(4 fg

4、gfgfgfba即即使使）证）证（)()()()()(xgxfxgxfxF )()()()()()()()()(xgxfxgxfxgxfxgxfxF ,)(,)(内可导，在，上连续在设babaxf且且,0ba 试证存在试证存在).(2)(fbaf使,),(,ba证证 欲证欲证,2)()(fbaf因因 f(x)在在a,b上满足拉氏中值定理条件上满足拉氏中值定理条件,故有故有),(,)()()(baabfafbf,)(2上满足柯西定理条件在及又因baxxf),(,2)()()(22bafabafbf将将代入代入,化简得化简得故有故有),(2)(fbaf),(,ba即要证即要证.2)()(22fab

5、abf例例问方程问方程)0(ln aaxx有几个实根有几个实根解解)0(ln)(xaxxxf记记axxf 1)(axxf10)(得得令令时时当当ax1 0)(xf时时当当ax1 0)(xf11ln)1(max aaff同时也是最大值同时也是最大值分三种情况讨论分三种情况讨论011ln)1(aafea1 由于由于)(limxfx )(lim0 xfx方程有两个实根，分别位于方程有两个实根，分别位于),1(),1,0(aa011ln)1(aafea1 方程仅有一个实根，即方程仅有一个实根，即ax1 011ln)1(aaf方程无实根方程无实根例例).0(,11)11ln(xxx证证 法一法一 用单调

6、性用单调性设设xxxf 11)11ln()(即即xxxxf 11ln)1ln()(由由 2)1(1111)(xxxxf2)1(1xx ,0,0时时当当 x)(xf证明不等式证明不等式 xxxfxx1111lnlim)(lim0 11(0,)xx,0时时当当 x可知可知,0)(xf即即).0(,11)11ln(xxx法二法二 用用Lagrange定理定理).0(,11)11ln(xxx证明证明设设,ln)(xxg 1,xxLagrange定理定理 xxln)1ln(1 xx),1(1xx ,111x 由由得得).0(,11)11ln(xxx即即 xxln)1ln(x 11 1 预测基本依据：分析历年真题里面的常考题型与核心题型。2 特别重视“拉格朗日中值定理”的应用与各种变形形式（据历年真题的不完全统计，考试核心一般是围绕着“拉格朗日定理”展开考察，同时兼顾着其他两大定理，其中：“罗尔定理”多为铺垫。）3大部分的考点里面兼顾着“原函数”解析式的寻找，这就对积分的知识有了更高的要求。4考试题型不外乎以上三大类，兼顾其他知识点将会是将来考察的重要方式。