最短路径教学设计.doc

1、13.4 最短路径问题教案设计湖北省襄阳市第七中学 李 伶【内容】 人教版八年级上册第十三章第四节课题学习最短路径问题第1课时.【教材分析】 (一)教材所处的地位和作用本节课以数学史中的一个经典问题“将军饮马”为载体引出课题“最短路径问题”，是在学生学习了两点之间线段最短即三角形中两边之和大于第三边，线段垂直平分线、等腰三角形、轴对称等知识的基础上，继续探究轴对称的应用，既是对轴对称等知识的延续和深化，又为今后研究平面图形和立体图形中最短路径问题奠定了坚实的基础，还为解决此类问题提供了思路和有效的方法，拓展了学生思维.由于“将军饮马”问题需要把直线同侧两点利用轴对称性质转化为异侧两点来解决问题

2、，是培养学生化归和创新意识的一个很好的载体，体现数学的转化思想.最短路径也是方案优化的一种，与生活息息相关，在我们日常生产、建筑选址、力学、科学研究等方面有着广泛的应用. (二)目标分析 基于以上分析，依据数学课程标准对本节课的要求，确定教学目标为：能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想。 由于轴对称在解决最短路径问题中起着“桥梁”作用，是本节课学习的基础。因此确定本节课的教学重点是：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题。由于八年级学生很少在几何中接触最值问题，没有解决此类问题的数学经验，特别是面对具有实际背景的最值问题，更会

3、感到陌生，无从下手，因此确定本节课的难点是：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题.突破难点的关键是：引导学生将直线同侧两点中的一点转化到直线另一侧，并与轴对称性质建立联系.【教学设计】为完成以上教学目标我将教学过程作如下设计：即“模型的建立、模型的释意拓展、模型的实践应用”三个环节，共分为六步进行，模型的引入、提炼、模仿、拓展、迁移和应用。一、引入 孕育数学模型引例： 牧马人从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地请问牧马人到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？ 1、分析：将A，B 两地抽象为两个点，将河 l 抽象为一条直线如图，点A，B在直线l 的两侧，点

4、C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？2、 (作法：)连接AB交直线L于点C，点C即为所求作的点. 3、（思考？）为什么这样做就能得到最短距离呢？ （两点之间线段最短.）【设计意图】本环节，我先举出一个生活实例，引出两点之间线段最短，为例题的解决做一个铺垫。然后出示在河的两侧饮马如何选择最短路径的问题，学生已有的直接知识经验基础是我们活动的起点.我将实际问题抽象为数学问题，即将最短路径问题抽象为线段和最小问题，让学生感知最值问题的解决方案，这样就自然的引出课题，同时也为例题提供思路，起到分散难点的作用.二、提炼 建立数学模型 例题： 牧马人从图中的A 地出发，到一条

5、笔直的河边l 饮马，然后到B 地请问牧马人到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？1.几何画板展示，提问：如果让我们通过作图找出点P，又该如何找呢？2.提问：观察此题与引例的图形有什么区别？可不可以将本例的图转化成引例的图形？如果可以转化，需要满足什么条件？（小组讨论，然后由各小组汇报讨论过程和结果.）3.作法：（1）作点A关于直线l的对称点A； （2）连接BA，与直线l相交于点P. 则点P即为所求. 【设计意图】改变引例中点A的位置，即得到书本上的例题，有了前面的引入做基础，学生应该能对线段和最小问题有一个解决方案，即两点之间线段最短。但对于直线同侧两点的折线和最小还不会转化，在提炼数学

6、模型的教学中,我首先通过几何画板的展示让学生获得直观感，引导学生经历动点最值问题的分析过程，起到突破难点的作用。有利于学生学会学习.通过分组活动，让学生在活动中相互交流，共同寻找出正确的解法。 4.你能用所学的知识证明AP +BP最短吗？ 分析：说明AP+BP最短即比较大小，是与自己比吗？直线l上有无数多个点P，若直线l 上任意的另一点（与点P 不重合）与A，B 两点的距离和都大于AP +BP，就说明AP+ BP 最小【设计意图】在对这个问题的证明中我主要引导学生理解另取一点进行比较的原因，让学生体会“任意”的作用，并自主探索得到证明过程，学生解答，教师适当补充，进一步体会作法的正确性，提高逻

7、辑思维能力.5.小结：模型：在一条直线上求作一点，使该点与直线同侧两固定点的连线最短；解法：作其中一个固定点关于直线的对称点，并把对称点与另一固定点连接起来，则连线与直线的交点即为所求的点，两固定点与交点的连线最短.【设计意图】这里让学生从数学模型发生、发展与形成的探究过程中感受图形类比的方法，形成化归思想.有引例做铺垫，通过转化，得到了一个新的极值模型。在直线上找一点与同侧两点的线段和最小，解法：作其中的一点的对称点，并与另一固定点连接起来，这样就将两条线段和转化为一条线段，达到化折为直的目的。教师适时总结，让学生在反思的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想，丰富数学活动经验.三、

8、模仿 熟悉数学模型 变式1：牧马人从图中的A 地出发，草地b边牧马，然后回到马棚B 地请问牧马人到草地边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？分析:本题改变直线的位置，但本质仍然是直线b同侧两点问题.【设计意图】在变式1中我在例题的问题情境中，增加一片草地即直线b，要求从点A先到直线b再到点B，改变问题模型的呈现形式，但本质不变，让学生在模仿例题解答的过程中，进一步熟悉模型的特征及其解，同时为后面的变式2做好铺垫.四、拓展 揭示模型本质 变式2： 如图，牧马人从A出发，先到河a边饮马，再到草地b边某一处牧马，然后回到B处，请帮他画出最短路径.分析：本例在前面练习的基础上，从A要分别到两条直线上

9、再回到B，也即要分别作A、B两点关于两条直线的对称点，连接两个对称点与两条直线的交点即可得出最短路线.【设计意图】模仿之后的延伸和拓展意在揭示模型的本质，是模型通往应用与创新的前提.为进一步发挥模型的作用，体会转化思想，提高解决问题的能力，在变式1的基础上，我设计了变式2，要求从点A到直线a再到直线b再到点B的三条线段的和最小.变式3 如图，牧马人从A出发，先到河a边饮马，再到草地b边某一处牧马，然后回到A处，请帮他画出最短路径. 分析：设先到直线a上的点P处，再到直线b的点Q处，由两点之间线段最短可知，若AP、PQ、QA三条线段可以转化在一条直线上时，可以得到最短路径.【设计意图】变式3将问

10、题背景改为当点A,B两点重合时，要使这三条线段的和最小，该如何走？其实这两个变式都是两个模型的融合，但问题的本质不变，即通过轴对称达到化折为直的目的.这组图形的变化层层递进，由浅入深，能有效地促进学生对本节课知识的理解，让学生体会到问题之间的内在联系，从而找到解决这一类问题的方法。利用这种多题归一，举一反三的教学培养了学生思维的灵活性和深刻性，同时也让他们学会从变化问题中去寻找不变的数学本质。这样既训练了学生的表达能力，又能引导他们清晰、有条理的表达自己的思考过程，做到言之有理，落笔有据。五、迁移 模型的形式化 练习1： 如图,在ABC中，BAC=120，AB=AC=8，BC=，点M是AB的中

11、点，点P是BC上的一个动点，试确定当PM+PA最小时点P的位置.【设计意图】：为了深化最短路径问题的应用，我设计了练习1，在直线BC上找一点P使PM+PA的和最小。形式化是数学的基本特征之一，练习1摆脱模型的实际背景，培养学生在纯几何命题中的演绎推理，升华学生对模型的本质认识，提高解题能力，又能有效地培养学生的逻辑推理能力和良好的思维品质.六、应用 模型的生活化 练习2： 学校秋季运动会设置了这样一个游戏：直线a上放着许多排球，运动员从点M出发，跑到直线a拿一个球放到直线b上，然后回到点N的位置，请你帮他设计运动的最短路线.【设计意图】根据学校运动会中的游戏活动，我设计了练习2.我们在数学模型

12、的教学中，既要突出模型来源于现实生活，还应让模型回归到现实生活中去.在模型的建立与回归中，培养学生的应用意识和建模能力.练习2将实际问题抽象成数学问题，并用数学模型去寻找实际问题的解，让学生亲身经历、体验数学化的过程，感受数学模型在日常生活中的广泛应用.七、小结：最后让学生结合本节课的学习，谈谈自己的收获。本节课你学到了什么？你有什么收获？1.认识一个基本图形;2.会一类求线段和最小的问题;3.掌握一种利用轴对称把折线转化成直线（线段）的方法。八、作业：A1.如图，牧马人从A出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请帮他画出最短路径.【设计意图】通过学生小结， 达到提高学生概括

13、的能力，使他们养成善于归纳反思的学习习惯，认识一个基本图形，会一类求线段和最小的问题，掌握一种利用轴对称把折线转化成直线（线段）的方法。2.如图,在ABC中，BAC=120，AB=AC=8，BC=，点M是AB的中点，点P是BC上的一个动点，求PM+PN的最小值.【设计意图】以尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需要，让不同的学生在数学上得到不同的发展为出发点，我设置了两个作业题：必做题（1）让学生再次感受轴对称在生活中的应用，激发探究兴趣.选做题（2）是练习1的变式深化，注重考查学生对知识的迁移应用能力，解答本题需要用到全等三角形和直角三角形中，30角所对的直角边是斜边的一半等知识来解决，为学

14、生的个性展示创造了发挥空间.【教法分析】在教学中，我主要注重了知识的生成、变式、转化、渗透：1、生成注重知识的生成过程 为了让学生亲身经历知识的发生、发展与形成的应用，更好的理解数学知识的来龙去脉，我将本节课的教学分成六步进行，即模型的引入、提炼、模仿、拓展、迁移与应用，让学生经历实际问题抽象成数学模型，并进行解释应用的过程。这样的过程对学生掌握必要的双基，培养他们的思维品质、应用能力和创新意识等方面，都会在潜移默化中起到促进作用。2、变式使用变式教学一题多用，多题重组，通过多次的渐进式的拓展训练，唤起学生的好奇心和求知欲，保持其参与教学活动的兴趣和热情，培养学生思维的广阔性和深刻性。3、转化

15、关注知识转化过程在探索最短路径问题中，主要体现了转化的思想，即将实际问题转化为数学问题；将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题；借助轴对称将不共线的点、线转化到同一条直线上。4、渗透渗透数学思想整个课堂教学中始终渗透着类比、化归、建模思想.【学法分析】1、学会数学的思考 通过对最短路径问题的探究，培养学生用数学的眼光去观察和分析实际问题，用数学的方法和技术抽象出实际模型，主动去探索、讨论，达到培养创新精神和能力的目的。2、用类比、化归的思想探讨问题 通过对最短路径的探究，让学生感受轴对称的桥梁作用，从中体会类比、化归的思想。3、增强合作交流意识 在教学中放手让学生大胆猜想、自主探索，在小组合作交流中领悟解决问题的策略，积累学习方法。【评价分析】在整个教与学的过程中，有学生自我评价、学生互评、教师评价学生，力图使评价对学生产生良好的情感价值导向，使学生更加轻松自信的进行学习.