考点47-排列与组合课件.ppt

1、第第7部分部分 计数原理计数原理、概率与统计概率与统计第十五章第十五章 计数原理计数原理1.排列与组排列与组合合1.分类加法计数原理、分类加法计数原理、分步乘法计数原理分步乘法计数原理 (1)理解分类加法计理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理和分步乘法计数原理数原理.(2)会用分类加法计会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一数原理分析和解决一些简单的实际问题些简单的实际问题.选择题：选择题：2017课标课标，6选择题：选择题：2016课标课标，5选择题：选择题：2016课标课标，122.二项式定二项式定理理2.排列与组合排列与组合 (1)理解排列、组合的概理解排

2、列、组合的概念念.(2)能利用计数原理推导能利用计数原理推导排列数公式、组合数公排列数公式、组合数公式式.(3)能解决简单的实际问能解决简单的实际问题题.3.二项式定理二项式定理 (1)能用计数原理证明二能用计数原理证明二项式定理项式定理.(2)会用二项式定理解决会用二项式定理解决与二项展开式有关的简与二项展开式有关的简单问题单问题.选择题：选择题：2017课标课标，6选择题：选择题：2017课标课标，4填空题：填空题：2016课标课标，14填空题：填空题：2015课标课标，1547排列与组合排列与组合1分类加法计数原理分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第完成一件事有两类不同方案，在

3、第1类方案中有类方案中有m种不同的种不同的方法，在第方法，在第2类方案中有类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法，那么完成这件事共有N_种不同的方法种不同的方法mn2分步乘法计数原理分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第完成一件事需要两个步骤，做第1步有步有m种不同的方法，种不同的方法，做第做第2步有步有n种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法，那么完成这件事共有N_种种不同的方法不同的方法mn以上两个原理可以推广到多类或多步的情形以上两个原理可以推广到多类或多步的情形3两个计数原理的联系与区别两个计数原理的联系与区别原理原理分类加法计数原理分类加法计数原理分步乘

4、法计数原理分步乘法计数原理联系联系两个计数原理都是对完成一件事的方法种数而言两个计数原理都是对完成一件事的方法种数而言区别一区别一每类办法都能独立完成这每类办法都能独立完成这件事，它是独立的、一次件事，它是独立的、一次的，且每次得到的是最后的，且每次得到的是最后结果，只需一种方法就可结果，只需一种方法就可完成这件事完成这件事每一步得到的只是中间每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能结果，任何一步都不能独立完成这件事，缺少独立完成这件事，缺少任何一步也不可，只有任何一步也不可，只有各步骤都完成了才能完各步骤都完成了才能完成这件事成这件事区别二区别二各类办法之间是互斥的、各类办法之间是互斥的、并

5、列的、独立的并列的、独立的各步之间是相互依存各步之间是相互依存的，并且既不能重复也的，并且既不能重复也不能遗漏不能遗漏4.排列排列“排列排列”与与“排列数排列数”是两个不同的概念，一个排列是是两个不同的概念，一个排列是指指“从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素，按一定顺序排成一个元素，按一定顺序排成一列列”，而排列数是指这种排列的个数，而排列数是指这种排列的个数5组合问题组合问题(1)组合数公式组合数公式考向考向1 两个计数原理的综合应用两个计数原理的综合应用两个计数原理是学习排列与组合的基础，高考中一般以两个计数原理是学习排列与组合的基础，高考中一般以选择题、填空题的形式出现，难度

6、中等，分值选择题、填空题的形式出现，难度中等，分值5分分 例例1(1)(2016课标课标，5)如图，小明从街道的如图，小明从街道的E处出发，先到处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 ()A24 B18 C12 D9(2)(2018辽宁大连月考辽宁大连月考，8)用用0，1，9十个数字，可以组成十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为有重复数字的三位数的个数为()A243 B252 C261 D352【解析解析】(1)由题意知，

7、从由题意知，从E到到F的最短路径有的最短路径有6条，从条，从F到到G的最短路径有的最短路径有3条，根据分步乘法计数原理知共有条，根据分步乘法计数原理知共有6318(条条)最短路径最短路径(2)有三个重复数字的三位数为有三个重复数字的三位数为9个；有两个重复数字的三位数个；有两个重复数字的三位数分以下情况讨论：个位与十位重复有分以下情况讨论：个位与十位重复有9981(个个)；个位与百；个位与百位重复有位重复有9981(个个)；十位与百位重复有；十位与百位重复有9981(个个)，根，根据分类加法计数原理知共有据分类加法计数原理知共有3819252(个个)【答案答案】(1)B(2)B利用两个计数原理

8、解决应用问题的一般思路利用两个计数原理解决应用问题的一般思路(1)弄清完成一件事是做什么；弄清完成一件事是做什么；(2)确定是先分类后分步，还是先分步后分类；确定是先分类后分步，还是先分步后分类；(3)弄清分步、分类的标准是什么；弄清分步、分类的标准是什么；(4)利用计数原理求解利用计数原理求解变式训练变式训练1(2014安徽安徽，8)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为对，其中所成的角为60的共有的共有()A24对对 B30对对 C48对对D60对对C同一面上的对角线不满足题意，对面的面对角线也不满足题同一面上的对角线不满足题意，对面

9、的面对角线也不满足题意，一组平行平面共有意，一组平行平面共有6对不满足题意的对角线对数，所以不对不满足题意的对角线对数，所以不满足题意的共有满足题意的共有3618(对对)故从正方体六个面的对角线中故从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为任取两条作为一对，其中所成的角为60的共有的共有661848(对对)2(2018重庆模拟重庆模拟，6)对图中的对图中的A，B，C，D四个区域染色，四个区域染色，每块区域染一种颜色，有公共边的区域不同色，现有红、每块区域染一种颜色，有公共边的区域不同色，现有红、黄、蓝三种不同颜色可以选择，则不同的染色方法共有黄、蓝三种不同颜色可以选择，则不同的染

10、色方法共有()A.12种种 B18种种 C20种种 D22种种BABCD【解析解析】若若A，D相同，先染相同，先染A处，有处，有3种方法，再染种方法，再染B处有处有2种方法，第三步染种方法，第三步染C处有处有2种方法，共有种方法，共有32212(种种)；若；若A，D不同，先染不同，先染A处，有处，有3种方法，再染种方法，再染D处有处有2种方法，第三种方法，第三步染步染B处有处有1种方法，第四步染种方法，第四步染C处有处有1种方法，共有种方法，共有32116(种种)，根据分类加法计数原理可得共有，根据分类加法计数原理可得共有12618(种种)故选故选B.考向考向2 排列问题排列问题高考中考查排列

11、问题往往是有一定限制条件的排列问高考中考查排列问题往往是有一定限制条件的排列问题，即对某些元素或某些位置有特定要求，通常以选择题、填题，即对某些元素或某些位置有特定要求，通常以选择题、填空题的形式出现，分值为空题的形式出现，分值为5分分例例2(1)(2018河北衡水检测河北衡水检测，8)春天来了，某学校组织学生外春天来了，某学校组织学生外出踏青，出踏青，4位男生和位男生和3位女生站成一排合影留念，男生甲和乙要位女生站成一排合影留念，男生甲和乙要求站在一起，求站在一起，3位女生不全站在一起，则不同的站法种数是位女生不全站在一起，则不同的站法种数是 ()A964 B1 080 C1 152 D1

12、296(2)(2018北京模拟北京模拟，4)现将现将5张连号的电影票分给甲、乙等张连号的电影票分给甲、乙等5个个人，每人一张，且甲、乙分得的电影票连号，则共有不同分法人，每人一张，且甲、乙分得的电影票连号，则共有不同分法的种数为的种数为()A12 B24 C36 D48【答案答案】(1)C(2)D解决排列问题的主要方法解决排列问题的主要方法直接法直接法把符合条件的排列数直接列式计算把符合条件的排列数直接列式计算捆绑法捆绑法相邻问题捆绑处，即把相邻元素看作一个整体参相邻问题捆绑处，即把相邻元素看作一个整体参与其他元素排列，同时注意捆绑元素的内部排列与其他元素排列，同时注意捆绑元素的内部排列插空法

13、插空法不相邻问题插空处，即先考虑不受限制的元素的不相邻问题插空处，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空中中消序法消序法定序问题消序定序问题消序(除法除法)处理的方法，可先不考虑顺处理的方法，可先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列序限制，排列后再除以定序元素的全排列间接法间接法对于分类过多的问题，按正难则反，等价转化的对于分类过多的问题，按正难则反，等价转化的方法方法变式训练变式训练(2018山东济宁月考山东济宁月考，17，12分分)有有3名男生，名男生，4名女名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法种数：生，在

14、下列不同要求下，求不同的排列方法种数：(1)选其中选其中5人排成一排；人排成一排；(2)全体排成一排，甲不站在排头也不站在排尾；全体排成一排，甲不站在排头也不站在排尾；(3)全体排成一排，男生互不相邻；全体排成一排，男生互不相邻；(4)全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人人考向考向3 组合问题组合问题高考对组合问题的考查往往涉及有条件限制的问题，即高考对组合问题的考查往往涉及有条件限制的问题，即对某些元素有特殊要求，通常以选择题、填空题的形式出现，对某些元素有特殊要求，通常以选择题、填空题的形式出现，分值为分值为5分，有时与概率问题结合综合考查分，有时与概率

15、问题结合综合考查例例3(1)(2018天津模拟天津模拟，5)为丰富少儿文体活动，某学校从篮为丰富少儿文体活动，某学校从篮球、足球、排球、橄榄球中任选球、足球、排球、橄榄球中任选2种球给甲班学生使用，剩余种球给甲班学生使用，剩余的的2种球给乙班学生使用，则篮球和足球不在同一班的概率是种球给乙班学生使用，则篮球和足球不在同一班的概率是 ()(2)(2017宁夏银川二模宁夏银川二模，4)某地实行高考改革，考生除参加语某地实行高考改革，考生除参加语文、数学、外语统一考试外，还需从物理、化学、生物、政文、数学、外语统一考试外，还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中选考三科，要求物理、化学、生物三

16、科治、历史、地理六科中选考三科，要求物理、化学、生物三科至少选一科，政治、历史、地理三科至少选一科，则考生的选至少选一科，政治、历史、地理三科至少选一科，则考生的选考方法有考方法有()A6种种 B12种种 C18种种 D24种种【答案答案】(1)C(2)C 组合应用问题的解题思路组合应用问题的解题思路(1)把具体问题转化或归结为组合问题，注意排列问题与把具体问题转化或归结为组合问题，注意排列问题与组合问题的区别，关键看是否与元素的顺序有关组合问题的区别，关键看是否与元素的顺序有关(2)通过分析确定运用分类加法计数原理还是分步乘法计通过分析确定运用分类加法计数原理还是分步乘法计数原理数原理(3)

17、分析题目条件，避免分析题目条件，避免“选取选取”时重复和遗漏，同时注意时重复和遗漏，同时注意组合问题中以下两类常见题型：组合问题中以下两类常见题型：“含有含有”或或“不含有不含有”某些元素的组合题型：某些元素的组合题型：“含含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含不含”，则先将，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取“至少至少”或或“最多最多”含有几个元素的题型：解这类题必须含有几个元素的题型：解这类题必须十分重视十分重视“至少至少”与与“最多最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏这两个关键词的含义，谨防重

18、复与漏解，用直接法和间接法都可以求解，用直接法分类复杂时，通解，用直接法和间接法都可以求解，用直接法分类复杂时，通常用间接法处理常用间接法处理变式训练变式训练(2018安徽合肥期中安徽合肥期中，13)某大学的某大学的8名同学准备拼名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽车，每车限坐乘甲、乙两辆汽车，每车限坐4名同学名同学(乘同一辆车的乘同一辆车的4名同学名同学不考虑位置不考虑位置)，其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲，其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的车的4名同学中恰有名同学中恰有2名

19、同学是来自于同一年级的乘坐方式共有名同学是来自于同一年级的乘坐方式共有_种种(用数字作答用数字作答)24考向考向4 排列与组合的综合问题排列与组合的综合问题高考往往以实际问题为背景，考查排列与组合的综合应高考往往以实际问题为背景，考查排列与组合的综合应用，同时考查分类讨论的思想方法，常以选择题、填空题的形用，同时考查分类讨论的思想方法，常以选择题、填空题的形式出现，分值为式出现，分值为5分，有时与概率相结合综合考查分，有时与概率相结合综合考查例例4(1)(2018甘肃兰州检测甘肃兰州检测，7)某微信群中有甲、乙、丙、丁、某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五个人玩抢红包游戏，现有戊五个人玩抢红包游戏

20、，现有4个红包，每人最多抢一个，且个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢完，红包被全部抢完，4个红包中有个红包中有2个个6元，元，1个个8元，元，1个个10元元(红包红包中金额相同视为相同红包中金额相同视为相同红包)，则甲、乙都抢到红包的情况有，则甲、乙都抢到红包的情况有 ()A18种种 B24种种 C36种种 D48种种(2)(2017天津天津，14)用数字用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有数一共有_个个(用数字作答用数字作答)【答案答案】(1)C(2)1 0

21、80解排列组合综合应用问题的思路解排列组合综合应用问题的思路解排列组合综合应用题要从解排列组合综合应用题要从“分析分析”“分类分类”“分步分步”的角度入的角度入手手(1)“分析分析”就是分析题目的条件，辨别题目的类型，如有就是分析题目的条件，辨别题目的类型，如有无限制元素无限制元素(或位置或位置)，是相邻问题，还是插空问题，是相邻问题，还是插空问题，；(2)“分类分类”就是对于较复杂的应用题中的元素往往分成互就是对于较复杂的应用题中的元素往往分成互相排斥的几类，然后逐类解决；相排斥的几类，然后逐类解决；(3)“分步分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一就是把问题化成几个互相联系的步骤，

22、而每一步都是简单的排列组合问题，然后逐步解决步都是简单的排列组合问题，然后逐步解决变式训练变式训练1(2018安徽黄山模拟安徽黄山模拟，5)在高校自主招生中，某学校获得在高校自主招生中，某学校获得5个推荐名额，其中中山大学个推荐名额，其中中山大学2名，暨南大学名，暨南大学2名，华南师范名，华南师范大学大学1名，并且暨南大学和中山大学都要求必须有男生参名，并且暨南大学和中山大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下加，学校通过选拔定下3男男2女共女共5个推荐对象，则不同的推个推荐对象，则不同的推荐方法共有荐方法共有()A36种种 B24种种 C22种种 D20种种B2(2017北京海淀模拟北京海

23、淀模拟，10)某运输公司有某运输公司有7个车队，每个车队个车队，每个车队的车辆均多于的车辆均多于4辆现从这个公司中抽调辆现从这个公司中抽调10辆车，并且每个辆车，并且每个车队至少抽调车队至少抽调1辆，那么共有辆，那么共有_种不同的抽调方法种不同的抽调方法84考向考向5 分组分配问题分组分配问题分组与分配问题是排列、组合问题的综合应用，解决这分组与分配问题是排列、组合问题的综合应用，解决这类问题的一个基本指导思想就是先分组后分配归纳起来常见类问题的一个基本指导思想就是先分组后分配归纳起来常见的命题角度有整体均分问题、部分均分问题、不等分问题的命题角度有整体均分问题、部分均分问题、不等分问题例例5

24、(2017河北石家庄质检河北石家庄质检，7)将将5名同学分到甲、乙、丙名同学分到甲、乙、丙3个小个小组，若甲小组至少组，若甲小组至少2人，乙、丙组至少人，乙、丙组至少1人，则不同的分配方案人，则不同的分配方案种数为种数为 ()A80 B120 C140 D50【答案答案】A 分组、分配问题的求解策略分组、分配问题的求解策略(1)分组问题属于分组问题属于“组合组合”问题，按组合问题求解，常见的问题，按组合问题求解，常见的分组问题有三种：分组问题有三种：完全均匀分组，每组的元素个数均相等；完全均匀分组，每组的元素个数均相等；部分均匀分组，应注意不要重复，若有部分均匀分组，应注意不要重复，若有n组均

25、匀，最后组均匀，最后必须除以必须除以n！；！；完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象(2)分配问题属于分配问题属于“排列排列”问题，可以按要求逐个分配，也问题，可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配可以分组后再分配(3)解决分组分配问题的基本指导思想是先分组，后分解决分组分配问题的基本指导思想是先分组，后分配配变式训练变式训练(2018江西新余模拟江西新余模拟，7)某高校大一新生中的某高校大一新生中的6名同名同学打算参加学校组织的学打算参加学校组织的“演讲团演讲团”“”“吉他协会吉他协会”等五个社团，等五个社团，若每名同学必须参加且只能参加若每名同学必须参加且只能参加1个社团且每个社团至多两人个社团且每个社团至多两人参加，则这参加，则这6个人中没有人参加个人中没有人参加“演讲团演讲团”的不同参加方法数为的不同参加方法数为()A3 600 B1 080 C1 440 D2 520【解析解析】由于每名同学必须参加且只能参加由于每名同学必须参加且只能参加1个社团且每个个社团且每个社团至多两人参加，因此可以将问题看成是将社团至多两人参加，因此可以将问题看成是将6名同学分配到名同学分配到除除“演讲团演讲团”外的四个社团或三个社团，可以分两类：外的四个社团或三个社团，可以分两类：C