考点23-平面向量的数量积及其应用课件.ppt

1、23平面向量的数量积及其应用平面向量的数量积及其应用1向量的夹角向量的夹角(1)夹角的定义和范围夹角的定义和范围(2)两向量的夹角分别是锐角与钝角的充要条件：两向量的夹角分别是锐角与钝角的充要条件：(i)a与与b的夹角是锐角的夹角是锐角ab0且且a与与b不共线不共线(ii)a与与b的夹角是钝角的夹角是钝角ab0且且a与与b不共线不共线2平面向量数量积的有关概念平面向量数量积的有关概念(1)数量积的定义：已知两个非零向量数量积的定义：已知两个非零向量a和和b，它们的夹角，它们的夹角为为，则数量，则数量_叫作叫作a与与b的数量积，记作的数量积，记作ab，即，即ab_规定：规定：0a0.(2)数量积

2、的几何意义：数量积数量积的几何意义：数量积ab等于等于a的模的模|a|与与b在在a的的方向上的投影方向上的投影|b|cos 的乘积的乘积两个向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的两个向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两个向量的模与两向量夹角的余弦值的乘积，其符值为两个向量的模与两向量夹角的余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦值确定号由夹角的余弦值确定|a|b|cos|a|b|cos 3平面向量数量积的性质平面向量数量积的性质设设a，b都是非零向量，都是非零向量，e是与是与b方向相同的单位向量，方向相同的单位向量，是是a与与e的夹角，则的夹角，则(1)eaae|a|cos.(2)ab_.

3、ab0当当a0时，由时，由ab0不一定推出不一定推出b0，这是因为对任，这是因为对任意一个与意一个与a垂直的向量垂直的向量b，都有，都有ab0.当当a0时，时，abac也不一定推出也不一定推出bc，因为由，因为由abac，得，得a(bc)0，即，即a与与(bc)垂直也就是向量的数垂直也就是向量的数量积运算不满足消去律量积运算不满足消去律4平面向量数量积的坐标表示平面向量数量积的坐标表示设设a(x1，y1)，b(x2，y2)，a，b的夹角为的夹角为，则，则(1)ab_(4)abab0 _x1x2y1y2x1x2y1y20考向考向1 平面向量数量积的概念与计算平面向量数量积的概念与计算平面向量数量

4、积的概念与计算是高考对平面向量考查的平面向量数量积的概念与计算是高考对平面向量考查的一个重点内容，主要从以下几个角度考查：一个重点内容，主要从以下几个角度考查：(1)对数量积定义式对数量积定义式的理解与应用；的理解与应用；(2)在具体平面图形中计算数量积的值；在具体平面图形中计算数量积的值；(3)求一求一个向量在另一个向量方向上的投影这类考题一般以选择题、个向量在另一个向量方向上的投影这类考题一般以选择题、填空题的形式出现，多为中低档题目，所占分值为填空题的形式出现，多为中低档题目，所占分值为5分分(2)(2017课标课标文文，13)已知向量已知向量a(1，2)，b(m，1)若若向量向量ab与

5、与a垂直，则垂直，则m_【解析解析】(1)如图如图DE2EF，(2)方法一：由题意知，方法一：由题意知，ab(m1，3)，ab与与a垂直，垂直，(m1)60，解得解得m7.方法二：方法二：ab与与a垂直，垂直，(ab)a0，即，即a2ab0，14(1)m20，解得解得m7.【答案答案】(1)B(2)71求平面向量数量积的方法求平面向量数量积的方法给出向量给出向量a，b，求，求ab的三种方法：的三种方法：(1)若两个向量共起点，且两向量的夹角直接可得，根据若两个向量共起点，且两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若两向量的起点不同，需要通过平移使定义即可求得数量积；若两向量的起点不同，需

6、要通过平移使它们的起点重合，然后再计算它们的起点重合，然后再计算(2)根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出向量知的向量分别表示出向量a，b，然后再根据平面向量的数量积，然后再根据平面向量的数量积的定义进行计算求解的定义进行计算求解(3)若图形适合建立平面直角坐标系，可建立坐标系，求若图形适合建立平面直角坐标系，可建立坐标系，求出出a，b的坐标，通过坐标运算法则求得的坐标，通过坐标运算法则求得2求向量求向量a在向量在向量b方向上的投影的方法方向上的投影的方法(1)根据定义求，即根据定义求，即a在在b方向上的投影为方向上的投

7、影为|a|cosa，b；【解析解析】方法一：如图，依题意得方法一：如图，依题意得DC1，方法二：如图，作方法二：如图，作COAB于于O，建立如图所示的平面直角坐，建立如图所示的平面直角坐标系，标系，由由AB2，BC1，ABC60，得，得考向考向2 平面向量的夹角与模的计算平面向量的夹角与模的计算平面向量的夹角与模的计算问题是高考的热点内容，一平面向量的夹角与模的计算问题是高考的热点内容，一般有以下几个考查角度：般有以下几个考查角度：(1)求两个向量的夹角；求两个向量的夹角；(2)求某一个求某一个向量的模；向量的模；(3)由向量垂直求参数值等高考对该类问题的考查由向量垂直求参数值等高考对该类问题

8、的考查一般是将知识进行交汇考查，多为中低档题目，难度一般，主一般是将知识进行交汇考查，多为中低档题目，难度一般，主要以客观题形式出现，所占分值为要以客观题形式出现，所占分值为5分分(2)(2017浙江浙江，15)已知向量已知向量a，b满足满足|a|1，|b|2，则，则|ab|ab|的最小值是的最小值是_，最大值是，最大值是_(2)不妨令不妨令b(2，0)，a(cos，sin)，则则ab(2cos，sin)，ab(cos 2，sin)，1求解两个非零向量夹角的步骤求解两个非零向量夹角的步骤第一步，由坐标运算或定义计算出这两个向量的数量积；第一步，由坐标运算或定义计算出这两个向量的数量积；第二步，

9、分别求出这两个向量的模或找出两个模之间的关第二步，分别求出这两个向量的模或找出两个模之间的关系；系；第四步，根据两个向量夹角的范围为第四步，根据两个向量夹角的范围为0，及其余弦值，及其余弦值，求出这两个向量的夹角求出这两个向量的夹角2求向量的模的方法求向量的模的方法(2)几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加减法的几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解法求解变式训练变式训练A【解析解析】设设|b|x，a，b，(ab)(3a2b)，(ab)(3a2b)0，3a22ab3ab

10、2b20，2(2017课标课标，13)已知向量已知向量a，b的夹角为的夹角为60，|a|2，|b|1，则，则|a2b|_考向考向3 用数量积解决最值或范围等综合问题用数量积解决最值或范围等综合问题平面向量中的最值或范围问题也是高考考查的重点，主平面向量中的最值或范围问题也是高考考查的重点，主要考查求数量积、模、夹角及其他参数的最值或范围这类考要考查求数量积、模、夹角及其他参数的最值或范围这类考题往往具有较强的综合性，难度较大，多以客观题形式出现，题往往具有较强的综合性，难度较大，多以客观题形式出现，所占分值为所占分值为5分分 思路点拨思路点拨：方法一：建立直角坐标系，根据：方法一：建立直角坐标

11、系，根据ABC的特点得点的特点得点的坐标，利用向量数量积的坐标表示求解的坐标，利用向量数量积的坐标表示求解【答案答案】B求解平面向量最值或范围问题的常见方法求解平面向量最值或范围问题的常见方法(1)利用不等式求最值利用不等式求最值解题时要灵活运用不等式解题时要灵活运用不等式|a|b|ab|a|b|.(2)利用函数思想求最值利用函数思想求最值常利用常利用“平方技巧平方技巧”找到向量的模的表达式，然后利用函数找到向量的模的表达式，然后利用函数思想求最值，有时也常与三角函数知识结合求最值思想求最值，有时也常与三角函数知识结合求最值(3)利用数形结合思想求最值利用数形结合思想求最值要充分利用平面向量要充分利用平面向量“形形”的特征，充分挖掘向量的模所表的特征，充分挖掘向量的模所表示的几何意义，从图形上观察分析出模的最值示的几何意义，从图形上观察分析出模的最值C