多元函数微分学习题-经典课件.ppt
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- 多元 函数 微分学 习题 经典 课件
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1、6.1多元函数的基本概念p.13一.填空题p1322241.ln(1)xyzxy 的的定定义义域域是是.222(,)(1,)xyyf x yfxyx 2.2.设设,则则.3(1),1,zyfxyzx3.3.设设且且当当时时则则(,)(0,0)(,)(0,0)24sin4.lim,lim,x yx yxyxyxyx14(,)(0,0)11lim(sinsin).x yxyyx22201,4yxyx2220 xyxxy (),.f xz3(1)x -1-11yx00 0222.5.2yxzyx p13.p13.一一函函数数在在间间断断22yx 二.计算题p131.ln ln(),zxyx求求的的定
2、定义义域域 并并画画出出定定义义域域草草图图.ln()0,xyx解解 (,)|0,1(,)|0,01.x yxyxx yxyx1yx0y x xy1 1O定定义义域域为为3313.2.(,),(,).pf xy xyxyf x y设设求求2,2uvxuxyvxyuvy 解解 令令3322(,)()()(3)224uvuvvf u uuv23223(,)(3).44yx yyf x yxy.14.3.:p二二求求下下列列极极限限(,)(1,0)ln(1)(1)limx yxyy(,)(1,0)(,)(1,0)ln(1)limlim1.x yx yxyxxxy 解解 原原式式22(,)(0,0)l
3、im.|x yxyxy (2)(2)222(|),xyxy解解 222(|)0|,|xyxyxyxyxy(,)(0,0)lim(|)0,x yxy22(,)(0,0)lim0.|x yxyxy 三.证明下列极限不存在p14三三.证证明明下下列列极极限限不不存存在在:220()1lim,xxxkxkxk 原原式式(,)(0,0)1.limx yxyxy;2(0),yxkxk 证证明明 取取则则,k对对不不同同的的取取不不同同的的极极限限值值,.原原极极限限不不存存在在224(,)(0,0)2.lim,x yxyxy 2(0),xkyk证证明明 取取则则42420lim,(1)1ykykkyk原原
4、式式,k对对不不同同的的取取不不同同的的极极限限值值,.原原极极限限不不存存在在222222(,)(0,0)1cos()14.3.lim,()x yxypxyx y 2222(,)(0,0)lim2x yxyx y 证证明明 原原式式22(,)(0,0)111lim(),2x yyx .原原极极限限不不存存在在6.2偏导数p.15一.填空题p151.(,)(,)f x ya b设设在在处处偏偏导导数数存存在在,则则arctan,;.xyzzzxyxy2.2.设设则则3.(1),yzzxyx 设设则则0(,)(,)lim.xf ax bf ax bx.zy 2(,)xfa b22yxy 22xx
5、y 21(1)yyxy (1)ln(1)1yxyxyxyxy 22224.ln,0,0.xxyyzxyxyzz设设则则当当时时221()(2,4,5)44zxyMy 5.5.曲曲线线在在点点处处的的切切线线6.(,)(,)xyyxfx yfx y若若与与均均连连续续,则则恒恒有有(,)(,)xyyxfx yfx y.x与与 轴轴正正向向所所成成的的倾倾角角为为4 二.计算题p15.二二 计计算算题题;解解 2sin()(,),.zzxaxbya bx y 1.1.设设为为常常数数 求求sin()cos(),zaxbyaxaxbyx 2cos()sin().zbaxbyabxaxbyx y 2.
6、,.xxxyyxyzyzzz 设设求求和和解解2ln,(ln),xxxxxzyyzyy12,(1),xxyyyzxyzx xy111ln(1ln).xxxxyzxyyyyxyy2222223.,(0)uxyzxyz设设222,xxuxyz 解解 2232222,()xxyzuxyz 2232222,()yyxzuxyz 2232222,()zzxyuxyz 22222.xxyyzzuuuuxyz +.xxyyzzuuu求求4.,.xxyyzzxuzarctanuuuy设设求求解解 222222,()xxxyzxyzuuxyxy 222222,()yyyxzxyzuuxyxy arctan,0,
7、zzzxuuy0.xxyyzzuuu三.计算题p162221.,0urxyzr三三 设设233513,xxxxxuurrr 解解 2235351313,yyzzyzuurrrr 0.xxyyzzuuu0.xxyyzzuuu求求证证6.3.全微分p.17一.填空题p17221.(,),)(),zf x yxy 若若可可微微 且且则则002.(,)(,)zf x yxy 函函数数在在点点处处连连续续和和存存在在偏偏导导数数是是00(,)xy它它在在处处可可微微的的 条条件件.0lim.zdz 3.(,)(,),(,)xyf x yfx yfx y函函数数的的偏偏导导数数连连续续是是函函数数(,).
8、f x y 可可微微的的条条件件0必必要要充充分分4.,1,1,0.15,0.1xyzexyxy 设设则则当当时时,.dzz 225.yzdzxy 设设,则则16.(,)(),(1,1,1).zxf x y zdfy设设则则2227.,.xdxydyzdzduuxyz若若则则1.265ee 32222()()xyx dyxydx dxdy 222xyzc4e二.计算题p171.(,)|(,),(,)(0,0)f x yxyx yx y设设其其中中在在的的某某,),(0,0),xx yf 个个邻邻域域内内连连续续,问问:(:(满满足足什什么么条条件件(0,0)?yf存存在在0(,0)(0,0)(
9、0,0)limxxfxffx 解解 0|(,0)lim(0,0),xxxx (0,0)0,(0,0);xf 当当时时存存在在,(0,0)0,(0,0)yf 同同理理当当时时存存在在.2218.2.(,),(1,2).ypf x yxyf设设求求2,(1,2)4.yyfyf解解 21,(1,)1,(1,)2,yxfxyfyy 解解法法2.2.令令得得(1,2)4.yf21sin()03.(,),(0,1).00 xx yxyxyf x yfxy 设设求求0(0,1)(0,1)(0,1)limxxfxffx 解解 201sin()limxxxx 220sin()lim1.()xxx 344.ln(
10、1.030.981).利利用用全全微微分分计计算算的的近近似似值值34(,)ln(1),f x yxy解解 设设232433441134(,),(,),11xyxyfx yfx yxyxy 11(1,1),(1,1),34xyff3411ln(1.030.981)0.030.020.005.34222222221()sin0(,)00 xyxyxyf x yxy 三三.设设,问问(,)(0,0)?f x y(1)(1)在在处处是是否否可可微微 为为什什么么(,),(,)(0,0)xyfx yfx y(2)(2)在在处处是是否否连连续续?为为什什么么?解解(1)(1)可可微微.22001sin(
11、,0)(0,0)limlim0,xxxf xfxxx 22001sin(0,)(0,0)limlim0,yyyfyfyyy(0,0)(0,0)0,xyff 0(0,0)(0,0)limxyzfxfy (2)(,),(,)(0,0).xyfx yfx y 在在处处不不连连续续220,xy当当时时222222121(,)2 sincos,xxfx yxxyxyxy201limsin0,22021,limcos.22xxyxxx 取取时时不不存存在在(,)(0,0),xfx y在在处处不不连连续续(,)(0,0)yfx y同同理理 在在处处不不连连续续.6.4复合函数的求导法则p.19一.填空题p1
12、9231.,sin,xyzext yt 设设而而.dzdt 则则(,),(,),(),uf x y z zx yyx2.2.设设 ,f 其其中中均均可可微微 则则(2)(1)(),zf xycc3.3.设设 则则.xxyyxxz zz zdudx 32sin2(cos6)tttte ()()xyzxyffxfx024.(,),(,2),(,2),xf x yf xxx fxxx设设可可微微 且且则则(,2).yfxx (,2)(,2)2(,2)1.xyfxxfxxfxx 分分析析 5.(,),(),(,(,),(1,1)1,f x yxf x f x f x xf 设设可可微微 且且(1,1)
13、,(1,1),(1).xyfa fb 则则212x 23aababb二.计算题p1922221.,.vxyzzzu uevx yxx设设求求2233(),xyx yx yzee 解解 33233,x yzx y ex 3324632(96)x yzex yxyx 333333(32).x yxy ex y2(2)2.(,),.yzzzf u x yCuxex x y 设设 其其中中求求,yuxzfefx 解解 2()yyyuuuuyxuxyzeffxeffxefx y 2(2)20.3.(,)(),.xyzpzf xygf gCyxx y 设设其其中中求求1221(),zyfyfgxyx 解解
14、 2111122()zxfy fxfx yy 221222211()xffxfyyy 2211yggxxx111222232311.xyfxyfffggyyxx三.证明题(2).(,),cos,sin,uf x yCxryr三三 设设证证明明:22222222211uuuuuxyrrrr cossin,uuurxy证证明明 1cossin,uuurrrxry22222cos(cossin)uuurxx y 222sin(cossin),uuy xy 2222222cossin2sin,uuuxx yy (sin)cosuuurrxy 22222cossin(sin)cos)uuuurrrrxx
15、x y 222sincos(sin)cos)uuurrrryy xy 222111cossinuuurrxry 2222222222sinsin2cosuuurrrxx yy 22cossinuuurrxy 2222222sinsin2cosuuuxx yy 22222222211.uuuuurrrrxy 6.5隐函数求导公式p.21一.填空题p211.(,),(,),(,)(,)0 xx y zyy z x zz x yF x y z设设都都是是由由.xyzyzx具具有有连连续续偏偏导导数数不不为为零零的的函函数数,则则2.220,xyzxyz设设则则,.zzxy3.ln,.xzdzzy设设
16、则则1 yzxyzxyzxy 2xzxyzxyzxy 2()zzdxdyxzy xz 21.4.2sin(23)23,pxyzxyz设设则则.zzxy (1)5.(,)(,)(-,-)0F u vCzz x yF cx az cy bz设设,是是由由,.zzabxy确确定定 则则1c二.计算题:p212221.1.,.zzzpxyzexx设设求求(,),zF x y zxyze解解 令令(,)1,xFx y z (,)1,yFx y z (,)1,zzF x y ze 1,1xzzFzxFe 22231().1(1)(1)zzxzzzzezexxeee 23321.2.3a,.zpzxyzx
17、y 设设求求33(,)3,F x y zzxyza解解 令令(,)3,xFx y zyz (,)3,yFx y zxz 2(,)33,zF x y zzxy2,xzFzyzxFzxy 2,yzFzxzyFzxy 252232232().()yzyzzx y zxyzx yzxyzxy 2221.3.ln0,.xtyzpzzedtx y 设设求求2(,)ln,xtyF x y zzzedt 解解 令令2(,),xxFx y ze 2(,),yyFx y ze 11(,)1,zzF x y zzz 2,1xxzFzzexFz 2,1yyzFzzeyFz 22223().1(1)xxyyzzezex
18、 yzz 三.证明题:p221.(,),:(,)0zzF u vF xyyx设设可可微微 求求证证 由由方方程程确确定定(,).xyzz x yxzyzzxy的的满满足足:1.(,)(,),zzG x y zF xyyx证证明明 令令121222(),GzzFFFFxxx 122,GzFFyy 1211,GFFzyx xyGGyxxzyzxyGGzz 1222121212,1111,zzFFFFyxxyFFFFyxyx 211212()().z yFxFxy xFyFzxyxFyF 2.(,),(,)0,yf x ttF x y tx y设设而而 是是由由方方程程所所确确定定(1),:.xtt
19、xtytf Ff Fdyf FCdxf FF 的的函函数数 其其中中,求求证证2.证证明明 利利用用全全微微分分形形式式不不变变性性(,),(,)0yf x tF x y t (,)(,),(,)(,)(,)0 xtxytdyfx t dxf x t dtFx y t dxFx y t dyF x y t dt (,)(,),(,)(,)(,)0 xtxytdydtfx tf x tdxdxdydtFx y tFx y tF x y tdxdx .xtxtttyf FF fdydxFf F 解解得得 6.6-6.7方向导数与梯度、多元函数微分学的几何应用p.23-24一.填空题p2321.3(
20、1,2)zxxyMx函函数数在在点点处处沿沿 轴轴正正向向的的方方向向导导.Mzx 数数2.(5,1,2)(5,1,2)(9,4,14)uxyz 函函数数在在点点处处沿沿从从点点到到点点.的的方方向向的的方方向向导导数数为为3.(,)arctan,grad(1,1,1).xf x y zzfy则则8981311(,)22 4 4.sin,1cos,4sin2txtt yt z曲曲线线上上点点(1,1,2 2)2M 处处的的切切线线方方程程是是法法平平面面方方程程是是.;.或或112 22112xyz(1)(1)2(2 2)02xyz 242xyz 225.(1,1,2)0zxyMxyz 曲曲线
21、线上上点点处处的的切切线线方方程程是是23.6.3(1,1,1)pxyzxyzM曲曲面面上上点点处处的的;切切平平面面方方程程是是.法法平平面面方方程程为为.112110 xyz 0 xy3xyz.法法线线方方程程是是xyz7.(2,1,2)zxyM 曲曲面面上上点点处处的的切切平平面面方方程程是是;.法法线线方方程程为为212121xyz 220 xyz二.计算题p232222.23.1.1(,)22xyabpzab求求函函数数 在在点点处处沿沿曲曲线线22221xyab 在在该该点点的的内内法法线线方方向向的的方方向向导导数数.22220,Axyybyaba 解解1.1.,akb 内内法法
22、线线的的斜斜率率为为02222(,)(),banabab 第第三三象象限限222222(,)(,),Axyzabab 22002().abzz nabn 2222.23.1.(,)1,xypF x yab解解法法2.2.令令222222(,)(,),Axynabab 内内02222(,)(),banabab 第第三三象象限限222222(,)(,),Axyzabab 22002().abzz nabn (1)2222.(),0,grad().f rCrxyzf r设设求求grad()()().xyzf rfrijkrrr 解解 grad().f r注注 是是向向量量意意2222222333.(
23、,)2223xyzaaaM axyax 求求曲曲线线在在点点处处的的切切线线方方程程及及法法平平面面方方程程.12(,2,3)2(1,2,3).Mnxyza解解 22(,2,0)2(0,2,0).Mnxaya(1,2,3)(0,2,0,)2(3,0,1),T 32.013aazyxa 所所求求切切线线方方程程为为 3()()0.3axaz法法平平面面方方程程为为 4.3(2,1,0)zezxyM求求曲曲面面上上点点处处的的切切平平面面方方程程与与法法线线方方程程.(,1)(1,2,0).zMny x e解解 (2)2(1)0,xy切切平平面面方方程程 21.120 xyz法法线线方方程程 24
24、0;xy或或 5.zxy 在在曲曲面面上上求求一一点点,使使这这点点处处的的法法线线垂垂直直于于390.xyz平平面面 并并写写出出该该法法线线方方程程00000(,),(,1)/(1,3,1).MM xy znyx解解 设设则则 000001,3,1,3;131yxxyz (3,1,3),M 所所求求点点为为313.131xyz法法线线方方程程 三.证明题p24(0)xyza a三三.试试证证:曲曲面面上上任任一一点点处处.a的的切切平平面面在在各各坐坐标标轴轴上上的的截截距距之之和和等等于于000(,),M xy z证证明明 用用表表示示曲曲面面上上的的点点 则则该该点点处处的的00011
25、1(,),222nxyz 法法向向量量 000000111:()()()0,xxyyzzxyz切切平平面面000:,xyzaxyz或或000:1,xyzaxayaz截截距距式式为为000().axyza截截距距之之和和为为 一.填空题p2522230p25.1.(1,1,1)23540 xyzxMxyz 曲曲线线在在点点处处的的单单位位.切切向向量量为为2222.316(1,2,3)xyz旋旋转转椭椭球球面面上上点点处处的的.xoy切切平平面面与与面面的的夹夹角角的的余余弦弦为为 223.(,)22(1,1)f x yxaxxyy若若函函数数在在点点,.a 处处取取得得极极小小值值 则则常常数
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