第二章-导数与微分习题课课件.ppt

1、第二章第二章 导数与微分导数与微分习题课习题课一、主要内容一、主要内容二、典型例题二、典型例题1谢谢观赏2019-5-19求求 导导 法法 则则基本公式基本公式导导 数数xyx 0lim微微 分分xydy 关关 系系)(xodyydxydyydxdy 高阶导数高阶导数高阶微分高阶微分一、主要内容一、主要内容2谢谢观赏2019-5-191 1、导数的定义、导数的定义0000000000(),(),()();0,(),()(),x xx xx xyf xxxxxxxyyf xxf xyxxyf xxyf xdydf xxydxdx 设设函函数数在在点点 的的某某个个邻邻域域内内有有定定义义当当自自

2、变变量量 在在 处处取取得得增增量量点点仍仍在在该该邻邻域域内内时时 相相应应地地函函数数 取取得得增增量量如如果果与与之之比比当当时时的的极极限限存存在在 则则称称函函数数在在点点 处处可可导导并并称称这这个个极极限限为为函函数数在在点点 处处的的导导数数 记记为为或或即即定义定义.)()(limlim00000 xxfxxfxyyxxxx 3谢谢观赏2019-5-192.右导数右导数:左、右左、右导数导数1.左导数左导数:;)()(lim)()(lim)(00000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx ;)()(lim)()(lim)(00000000 xxfxxfxxxfxfxfx

3、xx 函函数数)(xf在在点点0 x处处可可导导左左导导数数)(0 xf 和和右右导导数数)(0 xf 都都存存在在且且相相等等.4谢谢观赏2019-5-192 2、基本导数公式、基本导数公式22211)(arctan11)(arcsinln1)(logln)(sec)(secsec)(tancos)(sin0)(xxxxaxxaaaxtgxxxxxxCaxx （常数和基本初等函数的导数公式）（常数和基本初等函数的导数公式）222111)cot(11)(arccos1)(ln)(csc)(csccsc)(cotsin)(cos)(xxxxxxeexctgxxxxxxxxxx arc5谢谢观赏2

4、019-5-193 3、求导法则、求导法则设设)(),(xvvxuu 可导，则可导，则（1）vuvu )(,（2）uccu )(c是常数是常数),（3）vuvuuv )(,（4）)0()(2 vvvuvuvu.(1)函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则(2)反函数的求导法则反函数的求导法则.)(1)(),()(xxfxfyyx 则有则有的反函数为的反函数为如果函数如果函数6谢谢观赏2019-5-19(3)复合函数的求导法则复合函数的求导法则).()()()()(),(xufxydxdududydxdyxfyxuufy 或或的导数为的导数为则复合函数则复合函数而而设设(4

5、)对数求导法对数求导法先在方程两边取对数先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法然后利用隐函数的求导方法求出导数求出导数.适用范围适用范围:.)()(的情形的情形数数多个函数相乘和幂指函多个函数相乘和幂指函xvxu7谢谢观赏2019-5-19(5)(5)隐函数求导法则隐函数求导法则用复合函数求导法则直接对方程两边求导用复合函数求导法则直接对方程两边求导.,)()(间的函数关系间的函数关系与与确定确定若参数方程若参数方程xytytx 223()()()()();.()()dydytd yttttdtdxdxtdxtdt (6)(6)参变量函数的求导法则参变量函数的求导法则8谢谢观赏2019-

6、5-194 4、高阶导数、高阶导数,)()(lim)(0 xxfxxfxfx 二阶导数二阶导数记作记作.)(,),(2222dxxfddxydyxf或或 .,),(33dxydyxf 二阶导数的导数称为三阶导数二阶导数的导数称为三阶导数,记作记作阶导数阶导数的的函数函数阶导数的导数称为阶导数的导数称为的的函数函数一般地一般地,)(1)(,nxfnxf.)(,),()()(nnnnnndxxfddxydyxf或或(二阶和二阶以上的导数统称为二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数高阶导数)9谢谢观赏2019-5-195、微分的定义微分的定义定义定义000000000(),()()()(),(),(),

7、(),.x xx xyf xxxxyf xxf xAxoxAxyf xxAxyf xxxdydf xdyAx 设设函函数数在在某某区区间间内内有有定定义义及及在在这这区区间间内内如如果果成成立立 其其中中 是是与与无无关关的的常常数数 则则称称函函数数在在点点 可可微微 并并且且称称为为函函数数在在点点 相相应应于于自自变变量量增增量量的的微微分分 记记作作或或即即.dyy 微微分分 叫叫做做函函数数增增量量 的的线线性性主主部部(微分的实质微分的实质)10谢谢观赏2019-5-196 6、导数与微分的关系、导数与微分的关系).(,)()(000 xfAxxfxxf 且且处可导处可导在点在点可

8、微的充要条件是函数可微的充要条件是函数在点在点函数函数定理定理7 7、微分的求法微分的求法dxxfdy)(求法求法:计算函数的导数计算函数的导数,乘以自变量的微分乘以自变量的微分.11谢谢观赏2019-5-19基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式xdxxxdxdxxxdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxddxxxdCdcotcsc)(csctansec)(seccsc)(cotsec)(tansin)(coscos)(sin)(0)(221 dxxxddxxxddxxxddxxxddxxxddxaxxddxeedadxaadaxxxx222211)cot(11)(arctan11)

9、(arccos11)(arcsin1)(lnln1)(log)(ln)(arc12谢谢观赏2019-5-19 函数和、差、积、商的微分法则函数和、差、积、商的微分法则2)()()()(vudvvduvududvvduuvdCduCuddvduvud 8 8、微分的基本法则微分的基本法则 微分形式的不变性微分形式的不变性的微分形式总是的微分形式总是函数函数是自变量还是中间变量是自变量还是中间变量无论无论)(,xfyx dxxfdy)(13谢谢观赏2019-5-19二、典型例题二、典型例题例例1 1()(1)(2)(100),(0).f xx xxxf 设设求求解解0)0()(lim)0(0 xf

10、xffx)100()2)(1(lim0 xxxx!100 14谢谢观赏2019-5-19例例2 22221111arctan1ln,2411.xyxxy 设设求求解解,12xu 设设,11ln41arctan21 uuuy则则)1111(41)1(212 uuuyu411u ,2142xx )1(2 xux,12xx .1)2(123xxxyx 15谢谢观赏2019-5-19例例3 3022,.54txttdydxytt t 设设求求解解分析分析:,0导数不存在导数不存在时时当当tt ,0不存在不存在时时当当dtdydtdxt 不能用公式求导不能用公式求导.tttttxytx 24)(5lim

11、lim200)sgn(2)sgn(45lim0tttt .0.00 tdxdy故故16谢谢观赏2019-5-1922()(0,0),.yxyf xyx xyd ydx 设设函函数数由由方方程程所所确确定定 求求例例4 4解解两边取对数两边取对数,ln1ln1xyyx,lnlnxxyy 即即,1ln)ln1(xyy,ln11lnyxy 2)ln1(1)1(ln)1(ln1yyyxyxy 322)1(ln)1(ln)1(ln yxyxxyy17谢谢观赏2019-5-19()(2),().f xx x xf x 设设求求例例5 5解解先去掉绝对值先去掉绝对值,2),2(20),2(0),2()(22

12、2 xxxxxxxxxxf,0时时当当 x,0)0()0(ff;0)0(f,20时时当当 x;43)(2xxxf ,02时时或或当当 xx;43)(2xxxf 18谢谢观赏2019-5-19,2时时当当 x2)2()(lim)2(2 xfxffx2)2(lim22 xxxx.4 2)2()(lim)2(2 xfxffx2)2(lim22 xxxx.4),2()2(ff.2)(处不可导处不可导在在 xxf ,20,43,0,00,2,43)(22xxxxxxxxxf或或19谢谢观赏2019-5-19cos(sin),.xyxxy 设设求求例例6 6解解)(ln yyy)sinlncos(ln x

13、xxy)sincossinlnsin1()(sin2cosxxxxxxxx 20谢谢观赏2019-5-192()241,.1nxyyx 设设求求例例7 7解解13441142222 xxxxy)1111(234 xx,)1(!)1()11(1)(nnnxnx,)1(!)1()11(1)(nnnxnx.)1(1)1(1!)1(2311)(nnnnxxny21谢谢观赏2019-5-19一、一、选择题：选择题：1 1、函数、函数)(xf在点在点0 x的导数的导数)(0 xf 定义为定义为（）（A A）xxfxxf )()(00；（B B）xxfxxfxx )()(lim000；（C C）xxfxfx

14、x )()(lim00；（D D）00)()(lim0 xxxfxfxx ；2 2、若函数、若函数)(xfy 在点在点0 x处的导数处的导数0)(0 xf，则，则 曲线曲线)(xfy 在点在点()(,00 xfx)处的法线处的法线（）（A A）与）与x轴相平行；轴相平行；（B B）与）与x轴垂直；轴垂直；（C C）与）与y轴相垂直；轴相垂直；（D D）与）与x轴即不平行也不垂直：轴即不平行也不垂直：自测自测 题题22谢谢观赏2019-5-19 3 3、若若函函数数)(xf在在点点0 x不不连连续续，则则)(xf在在0 x ()（A A）必必不不可可导导；（B B）必必定定可可导导；（C C）不

15、不一一定定可可导导；（D D）必必无无定定义义.4 4、如如果果)(xf=（），那那么么0)(xf.(A A)xxarccos2arcsin；(B B)xx22tansec；(C C)1(cossin22xx ；(D D)xarctanarcxcot.5 5、如如果果 0),1(0,)(2xxbxexfax处处处处可可导导，那那末末（）（A A）1 ba；（B B）1,2 ba；（C C）0,1 ba；（D D）1,0 ba.23谢谢观赏2019-5-19 6 6、已知函数、已知函数)(xf具有任意阶导数，且具有任意阶导数，且 2)()(xfxf ,则当则当n为大于为大于 2 2 的正整数时，

16、的正整数时，)(xf的的 n n 阶导数阶导数)()(xfn是是（）（A A）1)(!nxfn；（B B）1)(nxfn；（C C）nxf2)(；（D D）nxfn2)(!.7 7、若函数、若函数)(txx ,)(tyy 对对t可导且可导且0)(tx,又又 )(txx 的反函数存在且可导，则的反函数存在且可导，则dxdy=（）（A A）)()(txty；（B B）)()(txty ；（C C）)()(txty ；（D D）)()(txty.24谢谢观赏2019-5-19 8 8、若函数、若函数)(xf为可微函数，则为可微函数，则dy（）（A A）与）与x 无关；无关；（B B）为）为x 的线性

17、函数；的线性函数；（C C）当）当0 x时为时为x 的高阶无穷小；的高阶无穷小；（D D）与）与x 为等价无穷小为等价无穷小.9 9、设函数、设函数)(xfy 在点在点0 x处可导，当自变量处可导，当自变量x由由0 x增增加到加到xx 0时，记时，记y 为为)(xf的增量，的增量，dy为为)(xf的的微分，微分，xdyyx 0lim等于等于（）（A A）-1-1；（B B）0 0；（C C）1 1；（D D）.25谢谢观赏2019-5-19 1010、设函数、设函数)(xfy 在点在点0 x处可导，且处可导，且0)(0 xf，则则 xdyyx 0lim等于等于（）.（A A）0 0；（B B）

18、-1-1；（C C）1 1；（D D）.二、求下列函数的导数：二、求下列函数的导数：1 1、2lnsinxxy ；2 2、xaycosh （0 a）；）；3 3、xxysec2)1(；4 4、)310lncos(2xy ；5 5、设、设y为为x的函数是由方程的函数是由方程xyyxarctanln22 确确 定的；定的；6 6、设、设yyx 2，232)(xxu ，求，求dudy.26谢谢观赏2019-5-19三、证明三、证明textsin，teytcos 满足方程满足方程 )(2)(222ydxdyxdxydyx .四、已知四、已知 0,0,cos)()(xaxxxxgxf其中其中)(xg有二

19、阶连有二阶连 续导数，且续导数，且1)0(g，1 1、确定、确定a的值，使的值，使)(xf在在0 x点连续；点连续；2 2、求、求)(xf 五、设五、设,ln xxy 求求)1()(nf.六、计算六、计算302.9的近似值的近似值 .27谢谢观赏2019-5-19七七、一一人人走走过过一一桥桥之之速速率率为为 4 4 公公里里/小小时时，同同时时一一船船在在此此人人底底下下以以 8 8 公公里里/小小时时之之速速率率划划过过，此此桥桥比比船船高高2 20 00 0 米米，问问 3 3 分分钟钟后后人人与与船船相相离离之之速速率率为为多多少少？28谢谢观赏2019-5-19一、一、1 1、D D

20、；2 2、B B；3 3、A A；4 4、D D；5 5、D D；6 6、A A；7 7、C C；8 8、B B；9 9、B B；10 10、A A；二、二、1 1、xxxxsin2lncos2；2 2、xxaacoshsinhln；3 3、xxxxxxxsec12)1ln(tan)1(22sec2 ；4 4、)310tan(62xx；5 5、yxyx ；6 6、xxxy 2)12)(12(31.自测题答案自测题答案29谢谢观赏2019-5-19四、四、1 1、)0(ga ；2 2、0),1)0(210,cos)(sin)()(2xgxxxxgxxgxxf.五、五、)!2()1()1(2)(nfnn.六、六、2.09.2.09.七、七、16.8620(公里公里/小时小时).).30谢谢观赏2019-5-19