立体几何中的向量方法习题课(DOC 11页).doc

1、立体几何中的向量方法习题课基础再现1.空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个_以及一个_确定.2.直线l平面，取直线l上的方向向量a，则向量a，向量a叫做平面的_.3.若直线l的方向向量是u=(a1,b1,c1),平面的法向量v=(a2,b2,c2)，则l_,l_.4.|a|2_a2.答案：1.定点定方向2.法向量3.uvvu=0a1a2+b1b2+c1c2=0uvu=kv(a1, b1, c1)=k(a2, b2, c2)a1=ka2, b1=kb2, c1=kc24.=典例启示【例1】 如右图，平行六面体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且C1CB=C1CD=BCD=60，则

2、当的值为多少时，能使A1C平面C1BD？解：设，由已知|a|=|b|，=(a+b+c)(a-b)=|a|2-|b|2+ac-bc=|a|c|cos60-|b|c|cos60=0，CA1BD.因而A1C平面C1BD的充要条件是CA1C1D.由=(a+b+c)(a-c)=0|a|2+ab-bc-|c|2=0|a|2+|a|b|cos60-|b|c|cos60-|c|2=0(3|a|+2|c|)(|c|-|a|)=0.|a|0,|c|0,|a|=|c|.当时，A1C平面C1BD.启示：这是条件开放性问题，从结论出发，利用向量垂直的条件由线线垂直推出线面垂直.本题通过利用向量的几何运算法则及向量的数量

3、积运算大大降低了探索难度.【例2】 如图，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面边长为，侧棱长为4，E、F分别为棱AB、BC的中点.(1)求证：平面B1EF平面BDD1B；(2)求点D1到平面B1EF的距离.(1)证明：建立如右图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0),B(,0),E(,0),F(,0),D1(0,0,4),B1(,4).=(,0),=(,0),=(0,0,4),.EFDB,EFDD1.EF平面BDD1B1.平面B1EF平面BDD1B1.(2)解：设平面B1EF的法向量n=(x,y,z),则,.又=(0,4),n=-x+y=0,n=y+4z=0.x=y,.取y=1,得n=(

4、1,1,).又=(,0),点D1到平面B1EF的距离为.启示：利用法向量知识求点到平面的距离，必须找这个平面过这点的斜线段(如本例D1B1).【例3】 如右图，四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，PA与平面ABCD所成的角为60，在四边形ABCD中，D=DAB=90，AB=4，CD=1,AD=2.(1)建立适当的坐标系，并写出点B、P的坐标；(2)求异面直线PA与BC所成的角；(3)若PB的中点为M，求证：平面AMC平面PBC.(1)解：建立如右图所示的直角坐标系Dxyz,D=DAB=90,AB=4,CD=1,AD=2,A(2,0,0),C(0,1,0),B(2,4,0).由PD平面ABCD

5、，得PAD为PA与平面ABCD所成的角.PAD=60.在RtPAD中，由AD=2，得.P(0,0,).(2)解：=(2,0,),=(-2,-3,0),.PA与BC所成的角为arccos.(3)证明：M为PB的中点，点M的坐标为(1,2,).=(-1,2,),=(1,1,),=(2,4,).=(-1)2+24+()=0,=12+14+()=0,.PB平面AMC.又PB面PCB,平面AMC平面PBC.启示：异面直线所成角的范围为(0,).能力提高 1.在长方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是棱BB1、B1C1的中点，若CMN=90，则异面直线AD1与DM所成的角为()A.30B.45C.6

6、0D.90解析：建立如右图所示坐标系.设AB=a, AD=b, AA1=c, 则A1(b, 0, 0), A(b, 0, c), C1(0, a, 0), C(0, a, c), B1(b, a, 0), D(0, 0, c), N(, a, 0), M(b, a,).CMN=90, .AD1DM, 即所成角为90.答案：D2.在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为AC、BD的交点，则C1O与A1D所成角为()A.60B.90C.arccosD.arccos解析：建立如右图所示坐标系.设棱长为1, 则A1(1, 0, 1), C1(0, 1, 1), B(1, 1, 0), O(, 0).C

7、1O与A1D所成角为arccos.答案：D3.正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a,E、F分别是BB1、CD的中点，则点F到平面A1D1E的距离为()A.B.C.D.解析：建立如右图所示坐标系, 则A1(a, 0, a), D1(0, 0, a), A(a, 0, 0), B(a, a, 0), B1(a, a, a), E(a, a,), F(0, 0).设平面A1D1E的法向量为n=(x, y, z), 则, 即(x, y, z)(-a, 0, 0)=0, (x, y, z)(0, a,)=0, -ax=0, ayz=0.x=0,.n=(0, z).答案：C4.如图，已知正四面体ABC

8、D中，, ,求直线DE和BF所成角的余弦值.解：设棱长为1, ,.,即直线DE和BF所成角的余弦值为.5.直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC=90,BC=2,CC1=4,EB1=1,D、F、G分别为CC1、B1C1、A1C1的中点，EF与B1D相交于H.(1)求证：B1D平面ABD；(2)求证：平面EGF平面ABD；(3)求平面EGF与平面ABD的距离.证明：如右图建立空间直角坐标系, 则B1(0, 0, 0), B(0, 0, 4), D(2, 0, 2),设A1(0, a, 0), 则A(0, a, 4).(1)=(2, 0, 2),=(2, 0, -2),=(0, a, 0), ,.B

9、1DBD, B1DBA.B1D平面ABD.(2)又由已知有C1(2, 0, 0), E(0, 0, 1), G(1, 0), F(1, 0, 0), =(1, 0, -1),=(0, 0).,.BDEF, BAFG.EF平面ABD, FG平面ABD.又EFFG=F, 平面EGF平面ABD.(3)由上述知是平面ABD与平面EGF的法向量, 又=(0, 0, 3), 所以两平面之间的距离为.6.已知三棱锥PABC在某个空间直角坐标系中,=(m,m,0),=(0,2m,0),=(0,0,2n).(1)画出这个空间直角坐标系，并指出与Ox的轴的正方向的夹角；(2)求证：；(3)若M为BC的中点,求直线

10、AM与平面PBC所成角的大小.(1)解：如右图, 这个坐标系以A为坐标原点O, 以AC为Oy轴, 以AP所在直线为Oz轴, 与Ox轴的正方向夹角为30.(2)证明：=(0, 0, 2n), =(, m, 0), .(3)解：连AM、PM., M为BC的中点, AMBC.又PABC, BD平面PAM.过A作AEPM于E点, 则AE平面PBC, AMP为AM与平面PBC所成的角.又,故所成角为.7.已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，P、Q分别是BC、CD上的动点，且|PQ|=，建立如右图所示的坐标系;(1)确定P、Q的位置，使得B1QD1P;(2)当B1QD1P时，求二面角C1-PQ-

11、A的正切.解：(1)设BP=t, 则,B1(2, 0, 2), D1(0, 2, 2), P(2, t, 0),.,=(-2, 2-t, 2).B1QD1P等价于,即,即.解得t=1.此时, P、Q分别是棱BC、CD的中点, 即当P、Q分别是棱BC、CD的中点时, B1QD1P.(2)当B1QD1P时, 由(1)知, P、Q分别是棱BC、CD的中点, 在正方形ABCD中, PQBD, 且ACBD, 故ACPQ.设AC与PQ的交点为E, 连结C1E.在正方体ABCDA1B1C1D1中, CC1底面ABCD, CE是C1E在底面ABCD内的射影, C1EPQ, 即C1EC是二面角C1PQC的平面角

12、, C1EA是二面角C1-PQ-A的平面角.在正方形ABCD中,；在RtC1EC中,.二面角C1PQA的正切为.施展才华1.直三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC中，CA=CB=1，BCA=90，棱AA1=2，M、N分别为A1B1、A1A的中点.(1)求的长；(2)求的值；(3)求证：A1BC1M.(1)解：以C为原点建立空间直角坐标系Oxyz.依题意得B(0, 1, 0), N(1, 0, 1).(2)解：依题意得A1(1, 0, 2), B(0, 1, 0), C(0, 0, 0), B1(0, 1, 2).=(1, -1, 2), =(0, 1, 2),.(3)证明：依题意得C1(0,

13、 0, 2), M(, 2), =(-1, 1, -2), =(, 0).2.(2003年全国高考)如右图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是等腰直角三角形，ACB=90，侧棱AA1=2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是ABD的重心G.(1)求A1B与平面ABD所成角的余弦值；(2)求点A1到平面AED的距离.解：(1)连结BG, 则BG是BE在面ABD的射影, 即A1BG是A1B与平面ABD所成的角.如图所示建立坐标系, 坐标原点为O.设CA=2a, 则A(2a, 0, 0), B(0, 2a, 0), D(0, 0, 1), A1(2a, 0, 2), E(a, a, 1), G(,).,., 解得a=1.,.(2)由(1)有A(2, 0, 0), A1(2, 0, 2), E(1, 1, 1), D(0, 0, 1), =(-1, 1, 1)(-1, -1, 0)=0, =(0, 0, 2)(-1, -1, 0)=0.ED平面AA1E.又ED 平面AED, 平面AED平面AA1E.又面AED面AA1E=AE, 点A1在平面AED的射影K在AE上.设,则.由, 即+-2=0, 解得.故A1到平面AED的距离为.11 / 11