《线性代数》习题集(含答案).doc
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- 线性代数 习题集 答案
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1、线性代数习题集(含答案)第一章【1】填空题(1) 二阶行列式=_。(2) 二阶行列式=_。(3) 二阶行列式=_。(4) 三阶行列式=_。(5) 三阶行列式=_。答案:1.ab(a-b);2.1;3.;4.;5.4abc。【2】选择题(1)若行列式=0,则x=()。A-3; B-2; C2; D3。(2)若行列式,则x=()。A -1,; B 0,; C 1,; D 2,。(3)三阶行列式=()。A -70; B -63; C 70; D 82。(4)行列式=()。A;B;C;D。(5)n阶行列式=()。A0;Bn!;C(-1)n!;D。答案:1.D;2.C;3.A;4.B;5.D。【3】证明
2、答案:提示利用行列式性质将左边行列式“拆项”成八个三阶行列式之和,即得结果。【4】计算下列9级排列的逆序数,从而确定他们的奇偶性:(1)134782695;(2)217986354;(3)987654321。答案:(1)(134782695)=10,此排列为偶排列。(2)(217986354)=18,此排列为偶排列。(3)(987654321)=36,此排列为偶排列。【5】计算下列的逆序数:(1)135(2n-1)246(2n);(2)246(2n)135(2n-1)。答案:(1)n(n-1);(2)n(n+1)【6】确定六阶行列式中,下列各项的符号:(1);(2);(3)答案:(1)正号;(
3、2)负号。【7】根据定义计算下列各行列式:(1);(2);(3);(4)答案:(1)5!=120;(2);(3);(4)。【8】计算下列行列式:(1);(2);(3);(4)。答案:(1)-136;(2)48;(3)12;(4)(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c)【9】计算下列n阶行列式:(1);(2);(3);(4);(5)。答案:(1)1+;(2)1;(3)n!(4)2n+1;(5)。【10】计算下列行列式:(1);(2)(n阶);(3);(4)。答案:(1)n=2时,行列式等于;n3,行列式为0;(2);(3);(4)【11】计算n+1阶行列式:(0;i=1,2,
4、n)答案:.【12】解下列线性方程组:(1);(2)。答案:(1);(2).【13】计算n阶行列式于是【14】证明由归纳假设,得【15】计算五阶行列式可以得到【16】证明证明:略【17】.证明答案与提示:提示将左边行列式按定义写成和的形式,再由和函数乘积的微分公式即得右边。【18】.计算n阶行列式:(1);(2)。答案与提示:(1)(2)【19】.利用拉普拉斯定理计算下列行列式:(2);(3);(4)答案与提示:(2);(3)(4)【20】.证明下列等式:(1);(2)。答案与提示:(1)提示:将左边行列式展开可得递推公式,由此递推公式可得结论。(2)提示:用归纳法证。【21】【22】 .第二
5、章【1】填空题设A是三阶方阵,是A的伴随矩阵,A的行列式=,则行列式_。【2】假设A=()是一个n阶非零矩阵,且A的元素(i,j=1,2,n)均为实数。已知每一个元素都等于它自己的代数余子式,求证A的秩等于n,且当n3时=1或-1。【3】判断下列结论是否成立:若成立,则说明理由;若不成立,则举出反例。(1) 若矩阵A的行列式=0,则A=0;(2) 若=0,则A=E;(3) 若A,B为两个n阶矩阵,则;(4) 若矩阵A0,B0,则AB0.【4】设A,B为n阶方阵,问下列等式在什么条件下成立?(1);(2);【5】计算AB和AB-BA。已知(1),(2),。答案:(1),;(2),;【6】计算下列
6、矩阵乘积:(1);(2)(x,y,1)。答案:(1);(2)。【7】计算,并利用所得结果求。答案:提示:用数学归纳法可证。当时,。故【8】已知A,B是n阶对称矩阵,证明AB为对称矩阵的充分必要条件是AB=BA。【9】已知A是一个n阶对称矩阵,B是一个n阶反对称矩阵,证明(1),都是对称矩阵;(2)AB-BA是对称矩阵;(3)AB+BA是反对称矩阵。【10】求矩阵X,已知:(1);(2)答案:(1);(2)【11】已知矩阵A,求A的逆矩阵;(1),其中ad-bc=1;(2);(3);答案:(1);(2);(3)【12】在下列矩阵方程中求矩阵X:(1);(2);答案:(1);(2)【13】证明若一
7、个对称矩阵可逆,则它的矩阵也对称。【14】假设方阵A满足矩阵方程,证明A可逆,并求。答案:提示:由。【15】填空题(1)设矩阵A=,则=_(2)设A是3阶数量矩阵,且=-27,则=_(3)设A是4阶方阵,且=-2,则A的伴随矩阵的行列式=_答案:(1);(2);(3)-8【16】选择题(1)设A是n阶方阵,且满足等式,则A的逆矩阵是(A) A-E; (B)E-A; (C); (D)。(2)设A,B是n阶可逆矩阵,则下列等式成立的是A、;B、C、;D、(3)设A,B,C为n阶方阵,且ABC=E,则必成立的等式为A、ACB=E;B、CBA=E;C、BAC=E;D、BCA=E(4)设A,B为n阶对称
8、矩阵,m为大于1的自然数,则必为对称矩阵的是A、;B、;C、AB;D、。(5)设A,B,A+B,均为n阶可逆矩阵,则()等于A、;B、A+B;C、;D、。(1)C;(2)B;(3)D;(4)A;(5)C【17】求下列矩阵的秩(1);(3)(4)。答案:(1)r(A)=2;(2)r(A)=2;(3)r(A)=3;(4)r(A)=2;【18】求下列矩阵的标准形(1);(2)。答案:(1);(2)。【19】假设方阵A满足方程,其中a,b,c是常数,而且C0,试证A是满秩方阵,并求出其逆矩阵。【20】选择题(1)设矩阵A=,且r(A)=2,则t等于A、-6;B、6;C、8;D、t为任何实数。(2)设A
9、是3阶方阵,若=0,下列等式必成立的是A、A=0;B、r(A)=2;C、=0;D、(3)设A是mn矩阵,且mn,则必有A、;B、;C、;D、。答案:(1)D;(2)C;(3)B。【21】求下列矩阵的逆矩阵:(1);(2)。答案:(1);(3)。【22】假设B是n阶可逆矩阵,C是m阶可逆方阵。试证明分块矩阵是可逆方阵,并且用表示分块矩阵。答案:提示:由拉普拉斯展开定理,得、,故A是可逆矩阵。由逆矩阵定义,得。【23】已知三阶方阵A=()与任意三阶方阵B之积可交换:AB=BA,证明A是数量矩阵。【24】设4阶矩阵B=C=且矩阵A满足等式。其中E为4阶单位矩阵,求矩阵A。于是【25】(00403)设
10、,矩阵,n为正整数,则= 【26】(04404) 。【27】(04404)设是实正交矩阵,且=1,b=,则线性方程组Ax=b得解是 。【28】(04104) 。【29】(00203)设A= .【30】(94503)设A,B都是n阶非零矩阵,且AB=0,则A和B得秩( )A.必须有一个等于零 B.都小于n C.一个小于n,一个等于n D.都等于n第三章【1】【2】【3】(95508)设三阶矩阵A满足,其中列向量 .试求矩阵A.【4】(97306)设A为n阶非奇异矩阵,为n维列向量,b为常数。记分块矩阵其中是矩阵A的伴随矩阵,I为n阶单位矩阵。(1) 计算并化简:证明:矩阵可逆的充分必要条件是.【
11、5】(98104)设A是n阶矩阵,若存在正整数k,使线性方程组有解向量,且.证明:向量组是线性无关的.【6】(01408)设是n维实向量,且线性无关.已知是线性方程组的非零解向量.试判断向量组得线性相关性。【7】(96408)设向量是齐次线性方程组的一个基础解系,向量不是方程组的解,即.试证明:向量组线性无关.【8】(04313)设 ,试讨论为何值时,1. 不能由线性表示;2. 可以由唯一地线性表示,并求出表示式。3. 可以由线性表示,但表示式不唯一,并求出表示式。答案与提示:1. 当=0时,不能由线性表示。2. 当,且时,可以由唯一地线性表示。当时可以由线性表示,但表示式不唯一,其表示式为
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