《勾股定理的应用》-长方体表面上的最短路径问题教学设计.docx

1、17.3.勾股定理的应用-长方体表面上最短路径问题一、学生知识状况分析本节将利用勾股定理解决立体图形表面上两顶点间最短距离问题，需要学生了解空间图形、对长方体进行展开实践操作活动学生在学习七年级下正（长）方体展开图已经有了一定的认知上，已经基本具备解决本课题问题所需的知识基础和活动经验二、教学任务分析 本节是义务教育课程标准人教版教科书八年级（下）第十七章勾股定理的应用延伸的课题学习，具体内容是运用勾股定理解决长方体表面两顶点间最短路径问题在这问题的解决过程中，需要经历立体图形转化为平面图形的过程，通过操作、观察、对比，培养学生的分析、归纳应用等能力；在探究活动具体一定的难度，在突破难点时需要

2、具有学生敢于探索、勇于思考的精神，有助于锻炼学生独立思考，力闯难关的勇气也通过转化思想、对比方法培养学生学习数学的基本素养。三、教学设计：(一)教学目标：知识与技能：1、熟练运用勾股定理解决实际问题；2.通过立体图形转化为平面图形，能找出最短路线；过程与方法：1.强化转化思想和对比方法，培养学生分析、归纳、解决问题的能力；2.构建直角三角形模型 ，回归平面几何本源；情感态度与价值观:在教学过程中培养学生动手实践、观察、分析、归纳的习惯，体会知识的形成过程和获得知识的成就感；增强学生应用数学知识解决实际问题的经验，培养学生解决问题的能力，激发学生学习的兴趣和信心。(二)教学重难点：1、教学重点：

3、知识形成过程，并有效运用勾股定理解决实际问题。2、教学难点：通过转化思想把立体图形转化为平面图形，构建直角三角形模型，并分情况讨论，得出结论的探究的过程。（三）课前准备：课件、长方体盒子、线、两颗螺丝。（四）教法、学法： 引导-探究-归纳演示操作，引发思考，分类讨论， 对比分析，达成结论。（五）教学过程分析本节课设计了八个环节第一环节：复习巩固；第二环节：问题呈现；第三环节：探索新知；第四环节：解决问题；第五环节：课堂练习；第六环节：课堂小结；第七环节：课后作业第八环节：课后反思。六、教学过程：环节一：复习巩固 1、线段公理： 两点之间， . 2、勾股定理：在RtABC中，两直角边为a、b,斜

4、边为c，则 . 3、在RtABC中，两直角边长分别为6、8,，则斜边为 。 4、如图，根据长方体中的数据完成填空：（与点A在平一面内两点的距离） AC= ； AE= ； AG= ； AF= ； AH= ； AD= . 设计意图1.温故旧知，为后面教学做铺垫；2.通过直觉激活学生思维；3.对新课进行有效衔接。 分析引入课题：从这个题目中，不难发现：在长方体上有八个顶点，不难发现在同一个面上两个顶点之间的距离要么是长方体一边的长，要么是其中一个面的对角线的长。但在长方体中，形如不在同一个面上的与A、B两点间表面上的最短距离又如何求呢？显然，仅仅简单利用上述的方法是不能解决的，如何解决就是我们将要一

5、起研讨的问题-勾股定理应用（长方体表面上的最短路径问题）。（板书课题）环节二：情景导入问题：如图是长为50cm, 宽为30cm，高为40cm的 长方体盒子，一只蚂蚁沿着表面从点A爬行到点B，怎样爬行路程最短？最短路程是多少？设计意图1.联系实际问题，设置悬疑；2.为后面运用知识解决问题提供范例，达到前后呼应。环节三：探索新知分析：解决这个问题，首先我们必须知道蚂蚁爬行的路径，下面请同学通过演示找出你认为蚂蚁可以爬行的路径情况。（分别请3-5名学生用道具进行演示，并据归纳总结路径情况）设计意图1.学生动手体验、感知，易于对学习产生兴趣和有效对知识的理解；2.培养学生归纳、排除能力，为后面在归纳奠

6、定基础。讨论路径情况：（从“短”的角度排除绕更多面、沿更多边及多边多面的情况）1、绕面路径（至少两个面）2、沿边路径（至少三条边）3、沿边绕面路径（至少一边一面）根据三角形三边关系排除第2、3种情况。通过演示直观的观察，总结出路径必须经过也最多经过相邻的两个面时，才可能出现最短路径。 分析：如果顶点A和顶点B在同一个平面上，直接连接，求出即可。但A、 B两点不在同一个平面上，所以要求最短距离需要将长方体展开，在展开的表面上利用勾股定理求出最短距离。由于长方体每边的长短不一样，所以在展开图中就有三种不同的形式，三种情况结果就会不同。如果长方体的长为a,宽为b，高为h 路径一：展开前面和右面，根据

7、勾股定理可得AB1=路径二：展开前面和上面，根据勾股定理可得AB2= 路径三：展开前面和上面，根据勾股定理可得AB3=小结：长方体中情况一般分三种情况来说明，构造直角三角形时实际就是长+宽为一直角边长，高为另一直角边长；长+高为一直角边长，宽为另一直角边长；宽+高为直角一边长，长为另一直角边长三种情况。设计意图1.感受知识形成的过程，突破难点；2.发展空间想象，体会转化思想，回归平面几何本源。环节四：解决问题问题：如图是长为50cm, 宽为30cm，高为40cm的 长方体盒子，蚂蚁沿着表面从点A爬行到点B，怎样爬行路程最短？最短路程是多少？(全体学生尝试完成，让1名学生上台板演，并进行评价)解

8、：长方体的长a=50cm, 宽为b=40cm，高为h=30cm.第一种路径：第二种路径：第三种路径：又所以点A到点B的最短距离为,即。在三种情况中，能否直接判断最短距离的情况呢？第一种： 第二种： 第三种： 不难发现各式值大小取决于后面ab、bh、ah的大小，其中乘积两者刚好其和为直角三角形的一直角边。归纳（方法）：当较短的两边组成一直角边，较长边为另一直角边时，距离最短。即当时，最短距离为显然：对于上述例题的解法即可如下： 所以点A到点B的最短距离为。设计意图1.巩固重点，作对比，找规律，出结论，得经验；2.引导学生发现解决问题的最佳方法，学以致用。环节五：课堂练习1、在长2cm、宽1cm、

9、高是4cm的长方体纸箱外部，一只蚂蚁从顶点A沿表面爬到B点，爬行最短的路线为 cm. 2、在长、宽都是3cm、高是8cm的长方体纸箱外部，用一根绳子把点A、点B连接起来，那么绳子的长度至少需要是 cm. 3、如图是一个棱长为5的正方体，那么点A到点B的最短距离是多少？棱长为a呢？设计意图1.进行课堂检验，及时反馈，进行弥补；2.从一般（长方体）到特殊（正方体）的转化；环节六：课堂小结形成过程：展 立体展开成平面找 找起点和终点连 连接起点和终点算 运用勾股定理方法技巧：当较短的两边组成一直角边，较长边为另一直角边时，距离最短。特殊： 棱长为a正方体时, 最短距离为。思想与方法：转化思想、对比方

10、法。 设计意图1回顾问题的处理方法，知识形成，有效整合； 2培养学生数学思想、方法，具体数学素养。环节七：布置作业必做题：1、正方体的棱长为2，那么点A到点B的最短距离是 。 2、在长是15cm、宽是11cm、高是9cm的长方体纸箱外部，用一个彩带把点A、点B连接起来，那彩带的长度至少是 cm.提高题：3、长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B离点C 5cm,一只蚂蚁如果沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？ 设计意图1.有效巩固知识点，增强知识的理解和运用；2.分层作业满足不同层次学生，让部分学生在已有的经验上进行提高题变式的理解，给部分学生留思考空间，体验获取知识的成就感。环节八：课后反思附：板书设计17.3 勾股定理的应用 -长方体表面上最短路径问题归纳： 解决问题：当长方体较短的两边组成一直角边， 例：- - - - - - - -较长边为另一直角边时，距离最短。 解：- - - - - - - -即长方体长、宽、高分别为时， - - - - - - - - 若时，最短距离为 特别地：棱长为a正方体， 最短距离为,