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1、第二章第二章 轨迹与方程轨迹与方程曲线与方程：定义定义：当平面上取定了标架之后，如果一个方程与一：当平面上取定了标架之后，如果一个方程与一条曲线有着关系：条曲线有着关系：（1）满足方程的）满足方程的(x,y)必是曲线上某一点的坐标；必是曲线上某一点的坐标；（2）曲线上任何一点的坐标）曲线上任何一点的坐标(x,y)满足这个方程；满足这个方程；则这个方程称为这条则这个方程称为这条曲线的方程曲线的方程，这条曲线称为，这条曲线称为方程的图形方程的图形。曲线的方程常表示为：曲线的方程常表示为：F(x,y)=0 或或 y=f(x)平面曲线的方程平面曲线的方程例例1、求圆心在原点，半径为、求圆心在原点，半径

2、为R的圆的方程。的圆的方程。解：解：|OM|=R普通方程普通方程x2+y2=R2例例2、已知两点、已知两点A(-2,-2),B(2,2)，求满足条件求满足条件|MA|-|MB|=4的动点的轨迹。的动点的轨迹。化为普通方程为化为普通方程为 xy=2 (x+y 2)故曲线为故曲线为yxoxy=2解：方程可表为解：方程可表为|MA|-|MB|=4矢性函数矢性函数 当动点按某种规律运动时，与它对应的径矢也随着当动点按某种规律运动时，与它对应的径矢也随着时间时间t t的不同而改变（模与方向的改变），这样的径矢的不同而改变（模与方向的改变），这样的径矢称为称为变向量变向量，记为，记为r(t)(t)。如果变

3、数。如果变数t(at(a t t b)b)的每一个值的每一个值对应于变矢对应于变矢r的一个完全的值（模与方向）的一个完全的值（模与方向）r(t)(t)，则称，则称r是变数是变数t t的的向量函数向量函数，记为，记为r=r(t)(t)(a(a t t b).b).矢性函数的分量表示矢性函数的分量表示 设平面上取定的标架为设平面上取定的标架为O;O;e1 1,e2 2,则向量函数可则向量函数可表示为表示为r(t)=x(t)(t)=x(t)e1+y(t)+y(t)e2 (a(a t t b).b).（1 1）其中其中x(t),y(t)x(t),y(t)是是r(t)(t)的分量，它们分别是变数的分量，

4、它们分别是变数t t的函数的函数。向量式参数方程向量式参数方程 若取(atb)的一切可能值，由（1）r(t)=x(t)(t)=x(t)e1+y(t)+y(t)e2(a(a t t b).b).坐标式参数方程坐标式参数方程曲线曲线 的参数方程常可以写成下列形式：的参数方程常可以写成下列形式：)()()(btatyytxx称为曲线的称为曲线的坐标式参数方程。坐标式参数方程。yxOr(t)r(a)r(b)ABP(x(t),y(t)的终点总在一条曲线上；反之，在这条曲线上的任意的终点总在一条曲线上；反之，在这条曲线上的任意点，总对应着以它为终点的径矢，而这径矢可由点，总对应着以它为终点的径矢，而这径矢

5、可由t t的某的某一值一值t t0 0(a a t t0 0 b)b)通过（通过（1 1）完全确定，则称表达式（）完全确定，则称表达式（1 1）为曲线的为曲线的向量式参数方程向量式参数方程，其中，其中t t为参数。为参数。表示的径矢r(t)例例3 3、一个圆在一直线上无滑动滚动，求圆周上一点、一个圆在一直线上无滑动滚动，求圆周上一点P P的轨迹。的轨迹。解：解：取直角坐标系，设取直角坐标系，设半径为半径为 a a的圆在的圆在x x轴上滚轴上滚动，开始时点动，开始时点 P P 恰在原恰在原点点,经过一段时间的滚经过一段时间的滚动动,圆与直线的切点移圆与直线的切点移到到 A A 点，圆心的位置移点

6、，圆心的位置移到到C C点，这时有点，这时有r r=OP=OA+AC+CP设设=(CP,CA),(CP,CA),于是向量于是向量CPCP对对x x轴所成的有向角为轴所成的有向角为)2(),(CPiPOraaxCy则则jiji)cos()sin()2sin()2cos(aaaaCP又因为又因为|OA|=AP=a，所以OA=ai,AC=aj从而点从而点P的向量式参数方程为的向量式参数方程为r=a(-sin-sin)i+a(1-cos(1-cos)（+）其坐标式参数方程为其坐标式参数方程为)()cos1()sin(ayax这种曲线称为这种曲线称为旋轮线旋轮线或或摆线摆线。xOy例例4 4 已知大圆的

7、半径为已知大圆的半径为a a，小圆的半径为，小圆的半径为b b，若大圆不动，而小圆在大圆内无滑动地滚动，若大圆不动，而小圆在大圆内无滑动地滚动，动圆上某一定点动圆上某一定点P P的轨迹。的轨迹。参数方程为参数方程为33sincosayax,4ba 例例5 5 把椭圆的普通方程式把椭圆的普通方程式 化为参数方程。化为参数方程。12222 byax法一法一)(sincos byax法二法二设设y=tx+b,y=tx+b,代入原方程得代入原方程得1)(2222 bbtxax解得解得 22222,0tabbtaxx 在第二式中取在第二式中取t=0,t=0,得得x=0 x=0，所以舍去第一式，取，所以舍

8、去第一式，取22222tabbtax 从而从而222222)(tabtabby 在法二中，若令在法二中，若令u=-tu=-t，则得椭圆的另一种表示式为，则得椭圆的另一种表示式为)u(uab)uab(byuabbu2ax2222222222 注：第二种解法中，设注：第二种解法中，设y=tx+by=tx+b，实际上是在椭圆上取，实际上是在椭圆上取一定点一定点(0,b),(0,b),作以作以(0,b)(0,b)为中心的直线束，而这时的椭圆为中心的直线束，而这时的椭圆的参数方程恰为直线束中的直线与椭圆交点的一般表的参数方程恰为直线束中的直线与椭圆交点的一般表达式。由于这时过点达式。由于这时过点(0,b

9、)(0,b)的的y y轴的斜率不存在，因此需轴的斜率不存在，因此需补上点补上点(0,-b)(0,-b)，或把它看成当，或把它看成当tt 时的交点。时的交点。例例6 6 化方程化方程 y y2 2(2a-x)=x(2a-x)=x3 3 (a0)(a0)为参数方程。为参数方程。解：设解：设y=txy=tx，代入可得参数方程，代入可得参数方程)(12122322 ttatytatx注注1 1：有些曲线只能用参数方程表示而不能用普通方程：有些曲线只能用参数方程表示而不能用普通方程表示，即不能用表示，即不能用x,yx,y的初等函数来表示，如的初等函数来表示，如 tttyttextarcsinsinlg2

10、注注2 2：在曲线的普通方程与参数方程的互化时，必须注：在曲线的普通方程与参数方程的互化时，必须注意两种形式的方程的等价性，即考虑参数的取值范围。意两种形式的方程的等价性，即考虑参数的取值范围。水桶的表面、台灯的罩子面等水桶的表面、台灯的罩子面等曲面在空间解析几何中被看曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹成是点的几何轨迹曲面方程的定义：曲面方程的定义：如如果果曲曲面面S与与三三元元方方程程0),(zyxF有有下下述述关关系系：（1 1）曲面曲面S上任一点的坐标都满足方程；上任一点的坐标都满足方程；（2 2）不在曲面）不在曲面S上的点的坐标都不满足方程；上的点的坐标都不满足方程；那么，方程那

11、么，方程0),(zyxF就叫做曲面就叫做曲面 S的的方程方程，而曲面而曲面S就叫做方程的就叫做方程的图形图形 曲面的实例：曲面的实例：曲面的方程曲面的方程F F(x x,y y,z z)=0)=0 S Sx xy yz zo o设设),(zyxM是是所所求求平平面面上上任任一一点点，根据题意有根据题意有|,|MBMA 222321 zyx ,412222 zyx化简得所求方程化简得所求方程.07262 zyx解解|,|xy 例例2 2 求两坐标面求两坐标面 和和 所成二面角的平分所成二面角的平分面的方程。面的方程。xozyoz解：因为所求平分面是与两坐标面解：因为所求平分面是与两坐标面 和和

12、有等距离有等距离的点的轨迹，因此的点的轨迹，因此 在平分面上的充要条件是在平分面上的充要条件是xozyoz),(zyxM即即与与0 yx0 yx解解设设),(zyxM是球面上任一点，是球面上任一点，RMM|0根据题意有根据题意有 Rzzyyxx 202020 2202020Rzzyyxx 所求方程为所求方程为特殊地：球心在原点时方程为特殊地：球心在原点时方程为2222Rzyx 得上、下半球面的方程分别是：得上、下半球面的方程分别是：202020202020)()()()(yyxxRzzyyxxRzz 2202020Rzzyyxx 由由由上述方程可得球面的由上述方程可得球面的一般式方程为一般式方

13、程为：反之，由一般式方程（反之，由一般式方程（*），经过配方又可得到：），经过配方又可得到：0222 DCzByAxzyx（*）44222222222DCBACzByAx 当当 时时,是球面方程是球面方程.04222 DCBA曲面的参数方程曲面的参数方程双参数向量函数双参数向量函数M Mo oz zx xy y S S在两个变数在两个变数 的变动区域内定义的函数的变动区域内定义的函数或或 (2)(2)vu,),(vurr 321),(),(),(),(evuzevuyevuxvur 称为称为双参数向量函数双参数向量函数，其中其中 是变向量是变向量 的分量，的分量，它们都是变数它们都是变数 的函

14、数的函数。),(),(),(vuzvuyvux),(vurr vu,M Mo oz zx xy y S S当当 取遍变动区域的一切取遍变动区域的一切值时，向径值时，向径vu,的终点的终点所画的轨迹一般为一张曲面。所画的轨迹一般为一张曲面。),(),(),(vuzvuyvuxM 321),(),(),(),(evuzevuyevuxvurOM 曲面的向量式参数方程曲面的向量式参数方程定义定义：若取：若取 的一切可能值，的一切可能值，由（由（2 2）表示的向径）表示的向径 的终点的终点 总在一个曲面上，总在一个曲面上，),(,dvcbuavu ),(vurM反之，在这个曲面上的任意点反之，在这个曲

15、面上的任意点 总对应着以它为总对应着以它为终点的向径，而这向径可由终点的向径，而这向径可由 的值的值通过（通过（2 2）完全决定，）完全决定，M),(,dvcbuavu 则称（则称（2 2）式为曲面的）式为曲面的向量式参数方程向量式参数方程，其中，其中 为参数。为参数。vu,曲面的坐标式参数方程曲面的坐标式参数方程表达式（表达式（3 3）称为曲面的）称为曲面的坐标式参数方程坐标式参数方程。因为径矢因为径矢 的分量为的分量为 所以曲面的参数方程也常写成所以曲面的参数方程也常写成)3(),(),(),(vuzzvuyyvuxx),(vur ),(),(),(vuzvuyvux例例1 求中心在原点，

16、半径为求中心在原点，半径为r的球面的参数方程的球面的参数方程。M RxyzPQ解：设解：设 是球面上任一点，是球面上任一点，在在 坐标面上的射影为坐标面上的射影为 ，而而 在在 轴上的射影为轴上的射影为 ,又设在又设在坐标面上的有向角坐标面上的有向角 ,与与 的交角的交角 ，则则),(zyxMMxoyPPQx ),(OPiOPOM POM PMQPOQOMr所以所以此即为中心在原点，半径为此即为中心在原点，半径为r的球面的的球面的向量式参数方程向量式参数方程。krPM)sin(jrQP)sincos(PMQPOQOMrirOQ)coscos()4()sin()sincos()coscos(kr

17、jrirr 22 与与 M RxyzPQ中心在原点，半径为中心在原点，半径为r r的球面的坐标式参数方程为的球面的坐标式参数方程为)5(sinsincoscoscos rzryrx(4),(5)(4),(5)中的中的 ,为参数，其取值范围分别是为参数，其取值范围分别是 22 与与例例2 求以求以z轴为对称轴，半径为轴为对称轴，半径为R的圆柱面的参数方程。的圆柱面的参数方程。解：如图解：如图,有有PxyzooMQr所以所以 （6）此即为圆柱面的此即为圆柱面的向量式参数方程向量式参数方程。PMQPOQOMrkuPM jRQP)sin(iROQ)cos()6()sin()cos(kujrirr Px

18、yzooMQr其坐标式参数方程为其坐标式参数方程为)7(sincos uzRyRx )6()sin()cos(kujrirr (6),(7)(6),(7)中的中的 ,为参数，其取值范围分别是为参数，其取值范围分别是u u 与与球坐标系与柱坐标系球坐标系与柱坐标系 sinsincoscoscosrzryrxM OMr为为半半径径的的球球上上以以为为球球心心，总总可可以以看看成成在在以以OMO空间中的任意一点空间中的任意一点,总可总可以看成是球面上的一个以看成是球面上的一个点点,只是不同的点所在的只是不同的点所在的球面其半径不相同球面其半径不相同将球面方程中的半径变为将球面方程中的半径变为一个变量

19、一个变量,则半径的改变则半径的改变,以及角度的改变就可以确以及角度的改变就可以确定空间中的任意一点定空间中的任意一点 sinsincoscoscoszyx22 )0(OM空间球坐标系空间球坐标系 M RxyzPQ直角坐标系下直角坐标系下2222Rzyx 球坐标系下球坐标系下R 球坐标系下球坐标系下 表示的是一个半平面表示的是一个半平面球坐标系下球坐标系下0 表示的是一个圆锥面表示的是一个圆锥面 uzyx sincos u 0 柱坐标系柱坐标系 0),(0),(zyxGzyxF空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程 曲线上的点都满足曲线上的点都满足方程，不在曲线上的点不方程，不在曲线上的点不能同时

20、满足两个方程能同时满足两个方程.xozy1S2SC空间曲线空间曲线C可看作空间两曲面的交线可看作空间两曲面的交线.特点特点：空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程解：解：0)1(2222zRzyx 0)2(222zRyx 2222222)3(RyxRzyx 00yxyx解：解：00yx或或可见，空间曲线的一般方程的可见，空间曲线的一般方程的表示不是唯一的表示不是唯一的。例例1、写出、写出 轴的方程。轴的方程。oz 轴可看成两个平面的交线，如轴可看成两个平面的交线，如oz例例2、求在、求在 坐标面上，半径为坐标面上，半径为R，圆心为原点的，圆心为原点的圆的方程。圆的方程。xoy例例3 3 方程组方

21、程组 表示怎样的曲线？表示怎样的曲线？632122zxyx解解122 yx表示圆柱面，表示圆柱面，632 zx表示平面，表示平面，632122zxyx交线为椭圆交线为椭圆.例例4 4 方程组方程组 4)2(222222ayaxyxaz解解222yxaz 上半球面上半球面,4)2(222ayax 圆柱面圆柱面,交线如图交线如图.表示怎样的曲线？表示怎样的曲线？（维维安尼曲线（维维安尼曲线Viviani）)()()(tzztyytxx 当当给给定定1tt 时时，就就得得到到曲曲线线上上的的一一个个点点),(111zyx，随随着着参参数数的的变变化化可可得得到到曲曲线线上上的的全全部部点点.空间曲线

22、的参数方程空间曲线的参数方程空间曲线的方程空间曲线的方程空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程例例5:如果空间一点如果空间一点 M 在圆柱面在圆柱面 x2+y2=a2 上以上以角速度角速度 绕绕 z 轴旋转轴旋转,同时又以线速度同时又以线速度v 沿沿平行于平行于z 轴的正方向上升轴的正方向上升(其中其中,v都是常数都是常数),那末点那末点M 构成的图形叫做构成的图形叫做圆柱圆柱螺旋线螺旋线,试建试建立其参数方程立其参数方程.解解:取时间取时间t为参数为参数,设当设当t=0时时,动 点 位 于动 点 位 于 x 轴 上 的 一 点轴 上 的 一 点 A(a,0,0)处处。A MM t xyzo经过

23、时间经过时间t,由由A运动到运动到M(x,y,z),M在在xOy面上的投影为面上的投影为M (x,y,0).(1)动点在圆柱面上以角速度动点在圆柱面上以角速度 绕绕z轴旋转轴旋转,所以所以经过时间经过时间t,AOM =t.从而从而x=|OM|cos AOM =acos ty=|OM|sin AOM =asin t(2)动点同时以线速度动点同时以线速度v沿沿 z 轴向上升轴向上升.因而因而z=MM =vt 得螺旋线的参数方程得螺旋线的参数方程x=acos ty=asin tz=vt 注注:还可以用其它变量作参数还可以用其它变量作参数.xyzAOM tM yxzAOMtM例如例如:令令 =t.为参

24、数为参数;螺旋螺旋线的参数方程为线的参数方程为:x=acos y=asin z=b .vb 这里这里当当 从从 0变到变到 0+是是,z由由b 0变到变到 b 0+b ,即即M点上升的高度与点上升的高度与OM 转过的角度成正比转过的角度成正比.特别特别,当当 =2 时时,M点上升高度点上升高度h=2 b,h在工程上称在工程上称 h=2 b为为螺距螺距.例例6 6 维维安尼曲线维维安尼曲线 一半径为一半径为a a的球面与一个直径等于的球面与一个直径等于球的半径的圆柱面，如果圆柱面通过球心，则球面与球的半径的圆柱面，如果圆柱面通过球心，则球面与圆柱面的交线称为圆柱面的交线称为维维安尼曲线维维安尼曲线，试写出其一般方程试写出其一般方程和参数方程。和参数方程。解：一般方程一般方程 0222222axyxazyx参数方程参数方程)20(sinsincoscos2 azayaxOxyz.的的参参数数方方程程写写出出曲曲线线例例3 3 xyzyx9222标标平平面面内内,先先把把曲曲线线投投影影到到某某个个坐坐解解：程程写写出出投投影影曲曲线线的的参参数数方方:参参数数方方程程再再写写出出原原空空间间曲曲线线的的平平面面内内，得得把把曲曲线线投投影影到到 yoz)20(,sin3cos23 zy).20(,sin3cos23cos23 zyx,09222 xzy本章学习结束本章学习结束谢谢大家