2005小学数学奥林匹克试题和解答.doc

1、1-15 2005 年小学数学奥林匹克预赛试卷(A) 2005 年 3 月 20 日上午 8：309：30 1计算：8-1.21.5+742（2.5442.4）_。 2计算：=_。 3已知，那么 x=_。 4设 a*b 表示 a/bb/a1/2，计算：(1992*996)*(996*498)_。 5图中大长方形分别由面积为 12 平方厘米、24 平方厘米、36 平方厘米、48 平方厘米的四 个小长方形组成，那么图中的阴影面积为_。 6按英国人的记法，2005 年 1 月 8 日记作 1-8-2005；按美国人的记法，2005 年 1 月 8 日记 作 8-1-2005。那么，2005 年全年中

2、共有_天会让英、美两国人在记法上产生误会。 7某班在一次数学测验中，平均成绩是 78 分，男、女各自平均成绩是 75.5 与 81 分。这个 班男女生人数之比是_。 8将+、四个运算符号分别填在下面算式的方格中，每个运算符号都用上，每一 格内添一个符号，使这四个算式的答数之和尽可能的大，那么这四个数之和是_。 1/21/9，1/31/8，1/41/7，1/51/6 9有四个正方体，棱长分别是 1，1，2，3。把它们的表面粘在一起，所得的立体图形的表 面积可能取得的最小值是_。 10已知两个不同的单位分数的和是 1/2004，且这两个单位分数的分母都是四位数，那么这 两个单位分数的分母的差最小值

3、是_。 11用同样大小的正方形瓷砖铺一个正方形地面，两条对角线铺黑色（如图所示），其他地 方铺成白色的瓷砖。如果铺满这个地面共用了 97 块黑色的瓷砖，那么白色的瓷砖用了_ 块。 12A、B 两人以相同的速度先后从车站出发，10 点钟时 A 与车站的距离是 B 与车站距离的 5 倍，10 点 24 分时 B 正好位于 A 与车站距离的中点，那么 A 是在_时_分出发的。 2-15 1、706.2 2、50.5 3、 4、2 5、5 6、132 7、 65 8、5 9、72 10、1169 11、2304 12、9 点 20 分 1. 【解】原式81.87421.066.2700706.2 2.

4、 【解】分母10 100 分子（2 1 ）（4 3 ）（100 99 ） 123499100 5050 原式505010050.5 3【解】1，1。 ，2 x，x 4【解】（1992*996）*（996*498） （）*（） 3*32 5【解】如图所示。 ABAC FEFDAC 阴影部分面积为 (FEAB)CD2 (ACAC)CD2 ()ACCD2 (12243648)2 (1234)25(平方厘米)。 3-15 6【解】 在每个月的前 12 天中， 当月份数不等于日期数时可能产生误会共有 12 121211 132(天)。 7【解】(8178)(7875.5) 3：2.565 8【解】()（

5、）（）（） 5 9【解】如下图所示粘接。 10【解】 467635071169 设 ba 11 2004 1 ，ab，则（a-2004） （b-2004）2004224321672。要使 a、b 之差最小，则应 将 24321672分解为两个数的乘积，并使得这两数之差为最小。显然 1672应分别在两个数里出现，否则 a、b 之差会很大。又 ab，则 2432不能分为两个 223，故应将 24321672分解为（23167）（2 32167）或（24167）（32167） ，比较知（24167）与（32167）之差为最小。故这两个单位分 数的分母的差最小值是 24167-321677167116

6、9。 （这两个分数分别为 1/3507、1/4676） 11【解】(971)2 972304(块)。 12【解】因为两人的速度相同，所以两人距车站的距离之比等于两人行走时问之比，设 10 点时 B 走了 x 分，则甲走了 5x 分。根据 10 点 24 分的情况可列方程： 2(x24) 5x24, 解得 x8(分)。 10 点时甲走了 5x40(分)，甲是 9 点 20 分出发的。 4-15 2005 年全国小学奥林匹克预赛试卷（B） 1计算：2005200420032002200120001999199819971996765 4321_。 2计算_。 3算式 1/21/31/51/71/9

7、 的计算结果用循环小数表示是_. 4从 1 开始依次把自然数一一写下去得到： 12345678910111213141516 从第 12 个数字起，首次出现 3 个连排的 1。那么从第_个数字起将首次出现 5 个连排 的 2。 5在二进制数中， 12:表示 1；102表示 2； 112表示 3； 1002表示 4；1012表示 5； 那么在六进制数中，1111。所表示的十进制数为_。 6如图所示，在长方形内有四条线段，把长方形分成若干块。已知有三块图形的面积分别是 13，35，49。那么图中阴影部分的面积是_。 7在 1，2，3，100 这 100 个自然数中，取两个不同的数，使得它们的和是

8、7 的倍 数，共有_种不同的取法。 8在自然数中，恰好有 4 个约数的两位数共有_个。 9已知一个自然数与 199 的乘积的末尾是 13579，这个数至少是_。 10一个长方体的长、宽、高是三个两两互质且均为大于 1 的自然数。已知这个长方 体的体积是 8721，那么它的表面积_。 11每天父亲下班后刚好可以在学校放学时赶到学校接女儿回家。一天，学校提早放 学，女儿自己回家，走 10 分钟后碰到父亲来接，坐父亲摩托车回家，到家时比平时迟到 1 分 钟，原因是父亲下班迟了 7 分钟，那么学校提早放学_分钟。 12A，B，C 三名学生参加一次考试，试题共 10 道，每道都是判断题，每题 1O 分，

9、 答对得 10 分，答错得零分，满分为 100 分。正确的打“，”，错误的打“”。他们的答 卷如下表： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A B C 考试成绩公布后，三人都是 70 分，1lO 题的正确答案分别是_。 5-15 1、 2005 2、 1 3、 4、 556 5、 259 6、 97 7、 707 8、30 9、10621 10、2590 11、6 12、 1【解】将后 2004 项每 4 项分为一组，每组的计算结果都是 0，后 2004 项 的计算结果是 0。剩下第一项，结果是 2005。 2【解】原式 11 3【解】原式 4【解】在 222 与 223 之间第一次出现

10、五个连排的 2。1221 共有 555 个数码。 5【解】1111 =6 6 6 6 2163661259。 6【解】如下图所示。 FBC 的面积是长方形 ABCD 面积的一半， EAD 与EBC 的面积之和也是长方形 ABCD 面积的一半，所以 (十) (4935)+(13) V49351397。 7【解】1007142。 在 1100 中，按被 7 除的余数分为 7 类： 余 1 与余 2 的各 15 个，余 3、余 4、余 5、余 6、整除的各 14 个。 取两个不同的数，要使它们的和是 7 的倍数，必须是：一个余 1 一个余 6，或一个余 2 一个余 5，或一个余 3 一个余 4，或两

11、个都整除。所以，不同的取法共有 15141514141414132 2lO21019691707(种)。 8【解】恰有 4 个约数的自然数形如：a 或 ab。(其中 a，b 为不同的质数) 满足题意的两位数有下列 30 个： 10，14，15，21，22，2627，33，34，35， 38，39，46，51，55，57，58，62，65，69 6-15 74，77，82，85，86，87，91，93，94，95。 9【解】利用从个位向前除的倒除法。 10【解】87213 1719271719. (271727191719)22590 11【解】父亲晚出发 7 分钟，晚到家 1 分钟，父亲从单位

12、到相遇点再到家比从单位到学校 再到家少用 716(分)，所以从相遇点到家比从学校到家少用 3 分钟(见下图)。 因为父亲晚出发 7 分钟，到相遇点的时间自然就比平时晚 7 分钟，此时按照正常情况 学校已经放学 734(分)，而女儿走了 10 分钟，所以学校提前放学 1046(分)。 12【解】三人共错 9 题，所以至少有 1 题三人都对，表中只有第 3 题三人答案一致，所以 第 3 题的正确答案是“”。因为只有 1 道题三人答案一致所以其它 9 道题每道只有一人 错，各题的正确答案就是有两人相同的那种。 7-15 2005 全国数学奥林匹克决赛试题(A) 1. 计算 _ 2. 计算 _ 3.

13、有一个整数， 用它去除 70， 110， 160 所得到的 3 个余数之和是 50， 那么这个整数是多少？ 4. 设 M、N 都是自然数，记 PM 是自然数 M 的各位数字之和，PN 是自然数 N 的各位数字之和。 又记 M*N 是 M 除以 N 的余数。已知 M+N=4084，那么(PM+PN)*9 的值是多少？ 5. 如图，已知 CD=5，DE=7，EF=15，FG=6，直线 AB 将图形分成左右两部份，左边部份面积 是 38，右边部份面积是 65，那么三角形 ADG 的面积是？ 6. 某自然数，它可以表示成 9 个连续自然数的和，又可以表示成 10 个连续自然数的和，还 可以表示成 11

14、 个连续自然数的和，那么符合以上条件的最小自然数是？ 7. 已知甲酒精纯酒精含量为 72%，乙酒精纯酒精含量为 58%，两种酒精混合后纯酒精含量为 62%。如果每种酒精取的数量都比原来多 15 升，混合后纯酒精含量为 63.25%，那么第一次混 合时，甲酒精取了多少升？ 8. 在下面算式中， 不同的汉字代表不同的数字， 相同的汉字代表相同的数字。 那么“新年好” 所代表的三位数是多少？ 9. 有两家商场，当第一家商场的利润减少 15%，而第二家商场利润增加 18%时，这两家商场 的利润相同。那么，原来第一家商场的利润是第二家商场利润的多少倍？ 10. 从 19 这 9 个数字中取出三个，由这三

15、个数字可以组成六个不同的三位数。如果六个三 位数的和是 3330，那么这六个三位数中最大的是多少？ 11. 有 A、B、C、D、E 五支球队参加足球循环赛，每两个队之间都要赛一场。当比赛快要结 束时，统计到的成绩如下： 队名 获胜场数 平局场数 失败场数 进球个数 失球个数 8-15 A 2 1 0 4 1 B 1 2 0 4 2 C 1 1 1 2 3 D 1 0 3 5 5 E 0 2 1 1 5 已知 A 与 E 以及 B 与 C 都赛成平局， 并且比分都是 1： 1， 那么 B 与 D 两队之间的比分是多少？ 12. 一辆客车和一辆面包车分别从甲、乙两地同时出发相向而行。客车每小时行驶

16、 32 千米， 面包车每小时行驶 40 千米， 两车分别到达乙地和甲地后， 立即返回出发地点， 返回时的速度， 客车第小时增加 8 千米，面包车每小时减少 5 千米。已知两次相遇处相距 70 千米，那么面包 车比客车早返回出发地多少小时？ 9-15 1. 2. 3. 29 4. 7 5. 40 6. 495 7. 12 8. 374 9. 10. 951 11. BD 31 12. 1.35 1. 【解】原式()(112481024)1 （）（22481024)1 （）（4481024）1 （）（10241024）1 204912047 2【解】原式19（） 19() 20() 20 3【解】

17、(70110160)50=290，503162。 除数应当是 290 的大于 17 小于 70 的约数，只可能是 29 和 58。 11058152， 5250，所以除数不是 58。 7029212， 11029323， 16029515 12231550，所以除数是 29。 4. 【解】如果在（MN）的过程中没有进位，则（MN）的各个数字之和就等于 M 的各位数 字之和加 N 的各位数字之和，即 PPP；如果在（MN）的过程中进位 K 次（K 为 自然数），则 PPP9K。也就是说，P与（ PP）除以 9 的余数相同。 又因为（MN）与 P除以 9 的余数相同，所以(PP)与(MN) 408

18、4 除以 9 的余数 相同，即 （PP）*9(MN) *9 4084*97 5. 【解】设 BE:AEk 左半部分的面积为 10-15 SSSkS （1k）S38 右半部分的面积为 SSSkS （1k）S （1k）S 3（1k）S65 由求得 k，S10 S S41040。 6. 【解】因为这个数能表示成 9 个连续自然数的和，所以这个数能被 9 整除。同理，这个数 能被 11 整除。因为这个数能表示成 10 个连续自然数的和，所以这个数能被 5 整除。符合条 件的最小自然数是5,9,11 495. 7【解】设第一次混合时甲酒精取了 x 升，乙酒精取了 y 升。根据第一次 混合的情况可得方程：

19、 X72y58(xy)62， 化简为 y2.5x。 根据第二次混合的情况可得方程： (x15)72(y15)58(xy30)63.25， 将 y2.5x 代人上式，解得 x12(升)。 8【解】256938687374 9【解】(118)(115) 118851 10【解】设取出的三个数满足 abco。 2 （abc）222 3330 abc333022215 当 a9，b5，c1 时最大，是 951。 11【解】首先确定哪些队之间已经赛过及胜负情况。 由 D 赛了 4 场可得下图(a)，(两队之间赛过就连一条直线段)。再由 A 与 E 及 B 与 C 都赛过可得下图(b)。 11-15 因为

20、 A 胜 2 场平 1 场，并且 A 与 E 是平局，所以 A 的另外 2 场都胜，又因为 B 没有输 过，所以 A 与 B 没赛过，A 的另一场比赛是与 C，B 的另一场比赛是与 E(见下图(c)。 确定了比赛过的场次后，再将胜负标在图上，箭头由胜者指向负者，平局没有箭头。 因为 A 胜 2 平 1，A 与 E 是平局，所以 A 胜 C 和 D；因为 C 胜 1 平 1 负 1，C 平 B，c 负 A，所 以 c 胜 D。 得到图（d）。因为 E 只进 1 球，A 与 E 是 l1，所以 E 在与 B 和 D 的比赛中无进球， 不可能胜，叉因为 D 没有平局，所以 B 与 E 平，B 胜 D

21、，D 胜 E(见图（e）)。 再根据进球数与失球数，可得到图（f）。 B 胜 D，比分是 31。 12【解】画线段图如下 设甲、乙两地相距 S 千米。因为客车到乙地用小时，面包车到甲地用小时，所 以客车到乙地时面包车已离开甲地()35 千米。此时到两车第二次相遇还需 S()35（4035）SS75（小时）。 第一次相遇点距乙地(S)千米，第二次相遇点距乙地(40)千米，两次相 遇点相距 70 千米，可列方程： (S)4070， SS14, S14， S504(千米)。 客车返回出发地用()小时，面包车返回出发地用()小时，两者相 减面包车比客车早返回出发地 15.7514.41.35（小时）。

22、 12-15 2005 全国数学奥林匹克决赛试题(B) 1计算：_。 2 计算：_。 3乘积 125127129131133163165 的末三位数是_。 4对于正整数 a 与 b，规定 a*b=a（a1）（a2）(ab1)。 如果(x*3)*23660，那么 x_。 5如图，已知ADE，CDE 和正方形 ABCD 的面积之比为 238，而且BDE 的面积是 5 平方厘米，那么四边形 ABCE 的面积是_平方厘米。 6已知九位数 2005是 2008 的倍数，这样的九位数共有_个。 7二十几个小朋友围成一圈，按顺时针方向一圈一圈地从 1 开始连续报数。如果报 2 和报 200 的是同一个人，那

23、么共有_个小朋友。 8有两筐苹果，要分给三个班，甲班得到全部苹果的 2/5，乙班和丙班分得苹果数量之比为 75。已知第二筐苹果是第一筐苹果的 9/10，如果从第一筐中拿出 20 千克苹果放入第二筐， 则两筐苹果的重量相等。那么甲班比乙班多分得苹果_千克。 9有一个棱长是 12 厘米的正方体木块，从它的上面、前面、左面中心分别凿穿一个边长为 4 厘米的正方形孔。穿孔后木块的体积是_立方厘米。 10如果能被 11 整除，那么 n 的最小值是_。 11少年跳水大奖赛的裁判由若干人组成，每名裁判给分最高不超过 10 分。第一名选手跳水 后得分情况是：全体裁判所给分数的平均分是 9.68 分；如果只去掉

24、一个最高分，则其余裁判 所给的分数的平均分是 9.62 分；如果只去掉一个最低分，则其余的分数的平均分是 9.71 分。 那么所有裁判所给分数中最少可以是 _分，此时共有裁判_名。 12甲、乙二人分别从 A，B 两地同时出发，在 A，B 之间往返跑步，甲每秒跑 3 米，乙每秒 跑 7 米。如果他们第四次相遇点与第五次相遇点的距离是 150 米，那么 A，B 之间的距离是 _米。 13-15 1、1 2、8000000 3、125 4、3 5、65 6、50 7、 22 8、38 9、1280 10、7 11、9.53；6 12、375 1【解】 原式( 1 1 2【解】原式(200.520.0

25、52005320.0520050.5)3200.50.250.125 20.052005199200.50.750.125 8000000 3【解】当 A 除以 8 的余数为 1，2，3，7，0 时，(125A)的末三位数依次为 125，250，375，500，625，750，875，000。 A(127129131133163165)中共有 20 个乘数 从左至右每 4 个一组的 乘积除以 8 的余数都是 l，所以 A 除以 8 的余数是 1。所求的末三位数，即(125A)的末三位 数是 125。 4【解】设 x*3a。则 a*2a(a1)36606061。 所以 a60。 x*3x(x1)

26、(x2)60345， 所以 x=3。 5【解】过点 E 向 AD 的延长线作垂线，交于点 F。BD 的延长线与 FE 的延长线交于点 G(见 下图)。 ， ， ， GEAF2 GE（ADDF）2 AD（ADAD）2 14-15 GEDF2 ADAD2 ， 5， 5840（平方厘米）。 65（平方厘米）。 6【解】2005000002008=998501200， 200599999200899900799 2008 的 9985099900 倍的前四位数都是 2005，所以满足题意的九位数共有 50 个。 7【解】小朋友的人数应是 2002198 的约数。在 198 的约数中只有 22 在 20

27、 至 30 之间， 所以有 22 个小朋友。 8【解】乙班分得全部苹果的 ， 两筐苹果共重 (2020)760（千克） 甲班比乙班多分得苹果 76038（千克）。 9【解】 （277）1280(立方厘米)。 10【解】中奇数位减偶数位的差为 (52)n13n1。 当 n7 时，(3n1)是 11 的倍数，所以 n 的最小值是 7。 11【解】设共有 n 名裁判。因为最高分不会超过 10 分。所以全体裁判给的总分 9.68n，不 会超过9.62(n 一 1)10，即 9.68n9.62(n 一 1)10 0.06n0.38 n 全体裁判给的总分是 9.68n，去掉一个最低分后的总分是 9.72(

28、n1)。 15-15 所以 最低分9.68n9.71(n1)9.710.03n 显然，n 越大最低分越小，当 n6 时，最低分为 9.71O.0369.53(分)。 12【解】甲、乙第一次相遇是迎面相遇，第二次相遇是乙从后面追上甲，第三、四、五次 相遇都是迎面相遇。题目的条件可改为：“第三、四次迎面相遇的地点相距 150 米”。甲、 乙第”次迎面相遇时，两人共跑(2n1)个单程，其中甲跑了全部路程的 3(37)=0.3。 第三次迎面相遇时，甲跑了 (231)0.3l.5(个单程)， 距 A 点 0.5 个单程。第四次迎面相遇时，甲跑了 (241) 0.32.1(个单程)， 距 A 点 0.1 个单程。所以 A，B 之间相距 150(0.50.1)375(米)。