[推荐学习]中考数学-专题复习七-几何图形综合题.doc

1、几何图形综合题【专题思路剖析】几何图形的综合题,着重考查学生对几何知识的理解与掌握、状及其数量关系成为数学研究重要内容.中考数学几何重要数学思想和解决实际问题的能力,是图形与几何知识内容的重要代表,所考查的内容及方法都是初中几何学习的核心内容及重要方法,是课程学习效果及评价重要体现.几何图形综合题是各地中考的必考题，难度较大，分值也较大，要想在中考中取得较高的分数，必须强化这类题目的训练【典型例题赏析】题型1与三角形、四边形有关的几何综合题类型1操作探究题1图形的旋转涉及三角形的全等，会出现相等的线段或者角若旋转角是直角，则会出现等腰直角三角形，若旋转角是60度，则会出现等边三角形2旋转的题目

2、中若出现三条线段的长度，则不妨考虑通过旋转将条件集中，看是否存在直角三角形例题1：（2015福建 第15题 12分）在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且EAF=CEF=45（1）将ADF绕着点A顺时针旋转90，得到ABG（如图），求证：AEGAEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系考点：四边形综合题.分析：（1）根据旋转的性质可知AF=AG，EAF=GAE=45，故可证AEGAEF；（2）将ADF绕着点A顺时针旋

3、转90，得到ABG，连结GM由（1）知AEGAEF，则EG=EF再由BME、DNF、CEF均为等腰直角三角形，得出CE=CF，BE=BM，NF=DF，然后证明GME=90，MG=NF，利用勾股定理得出EG2=ME2+MG2，等量代换即可证明EF2=ME2+NF2；（3）将ADF绕着点A顺时针旋转90，得到ABG，根据旋转的性质可以得到ADFABG，则DF=BG，再证明AEGAEF，得出EG=EF，由EG=BG+BE，等量代换得到EF=BE+DF解答：（1）证明：ADF绕着点A顺时针旋转90，得到ABG，AF=AG，FAG=90，EAF=45，GAE=45，在AGE与AFE中，AGEAFE（SA

4、S）；（2）证明：设正方形ABCD的边长为a将ADF绕着点A顺时针旋转90，得到ABG，连结GM则ADFABG，DF=BG由（1）知AEGAEF，EG=EFCEF=45，BME、DNF、CEF均为等腰直角三角形，CE=CF，BE=BM，NF=DF，aBE=aDF，BE=DF，BE=BM=DF=BG，BMG=45，GME=45+45=90，EG2=ME2+MG2，EG=EF，MG=BM=DF=NF，EF2=ME2+NF2；（3）解：EF=BE+DF点评：本题是四边形综合题，其中涉及到正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理准确作出辅助线利

5、用数形结合及类比思想是解题的关键【变式练习】（2015内蒙古赤峰25，12分）如图，四边形ABCD是边长为2，一个锐角等于60的菱形纸片，小芳同学将一个三角形纸片的一个顶点与该菱形顶点D重合，按顺时针方向旋转三角形纸片，使它的两边分别交CB、BA（或它们的延长线）于点E、F，EDF=60，当CE=AF时，如图1小芳同学得出的结论是DE=DF（1）继续旋转三角形纸片，当CEAF时，如图2小芳的结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由；（2）再次旋转三角形纸片，当点E、F分别在CB、BA的延长线上时，如图3请直接写出DE与DF的数量关系；（3）连EF，若DEF的面积为y，CE=x，求y

6、与x的关系式，并指出当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？考点：几何变换综合题分析：（1）如答图1，连接BD根据题干条件首先证明ADF=BDE，然后证明ADFBDE（ASA），得DF=DE；（2）如答图2，连接BD根据题干条件首先证明ADF=BDE，然后证明ADFBDE（ASA），得DF=DE；（3）根据（2）中的ADFBDE得到：SADF=SBDE，AF=BE所以DEF的面积转化为：y=SBEF+SABD据此列出y关于x的二次函数，通过求二次函数的最值来求y的最小值解答：解：（1）DF=DE理由如下：如答图1，连接BD四边形ABCD是菱形，AD=AB又A=60，ABD是等边三角形，AD=B

7、D，ADB=60，DBE=A=60EDF=60，ADF=BDE在ADF与BDE中，ADFBDE（ASA），DF=DE；（2）DF=DE理由如下：如答图2，连接BD四边形ABCD是菱形，AD=AB又A=60，ABD是等边三角形，AD=BD，ADB=60，DBE=A=60EDF=60，ADF=BDE在ADF与BDE中，ADFBDE（ASA），DF=DE；（3）由（2）知，ADFBDE则SADF=SBDE，AF=BE=x依题意得：y=SBEF+SABD=（2+x）xsin60+22sin60=（x+1）2+即y=（x+1）2+0，该抛物线的开口方向向上，当x=0即点E、B重合时，y最小值=点评：本题

8、考查了几何变换综合题，解题过程中，利用了三角形全等的判定与性质，菱形的性质以及等边三角形的判定与性质，对于促进角与角（边与边）相互转换，将未知角转化为已知角（未知边转化为已知边）是关键类型2动态探究题动态型问题包括动点、动线、动形问题，解动态问题的关键就是：从特殊情形入手，变中求不变，动中求静，抓住静的瞬间，以静制动，把动态的问题转化为静态的问题来解决本题化动为静后利用三角形相似列比例式，表示出相关线段的长，求出函数关系例题1：（2015聊城，第25题12分）如图，在直角坐标系中，RtOAB的直角顶点A在x轴上，OA=4，AB=3动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿AO向终点O移动；

9、同时点N从点O出发，以每秒1.25个单位长度的速度，沿OB向终点B移动当两个动点运动了x秒（0x4）时，解答下列问题：（1）求点N的坐标（用含x的代数式表示）；（2）设OMN的面积是S，求S与x之间的函数表达式；当x为何值时，S有最大值？最大值是多少？（3）在两个动点运动过程中，是否存在某一时刻，使OMN是直角三角形？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由考点：相似形综合题分析：（1）由勾股定理求出OB，作NPOA于P，则NPAB，得出OPNOAB，得出比例式，求出OP、PN，即可得出点N的坐标；（2）由三角形的面积公式得出S是x的二次函数，即可得出S的最大值；（3）分两种情况：若OMN=9

10、0，则MNAB，由平行线得出OMNOAB，得出比例式，即可求出x的值；若ONM=90，则ONM=OAB，证出OMNOBA，得出比例式，求出x的值即可解答：（1）根据题意得：MA=x，ON=1.25x，在RtOAB中，由勾股定理得：OB=5，作NPOA于P，如图1所示：则NPAB，OPNOAB，即，解得：OP=x，PN=，点N的坐标是（x，）；（2）在OMN中，OM=4x，OM边上的高PN=，S=OMPN=（4x）=x2+x，S与x之间的函数表达式为S=x2+x（0x4），配方得：S=（x2）2+，0，S有最大值，当x=2时，S有最大值，最大值是；（3）存在某一时刻，使OMN是直角三角形，理由如

11、下：分两种情况：若OMN=90，如图2所示：则MNAB，此时OM=4x，ON=1.25x，MNAB，OMNOAB，即，解得：x=2；若ONM=90，如图3所示：则ONM=OAB，此时OM=4x，ON=1.25x，ONM=OAB，MON=BOA，OMNOBA，即，解得：x=；综上所述：x的值是2秒或秒点评：本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、坐标与图形特征、直角三角形的性质、三角形面积的计算、求二次函数的解析式以及最值等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（3）中，需要进行分类讨论，通过证明三角形相似才能得出结果【变式练习】（2015山东德州,第23题10分）（1）问题

12、如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，DPC=A=B=90，求证：ADBC=APBP（2） 探究如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当DPC=A=B=时，上述结论是否依然成立？说明理由（3）应用请利用（1）（2）获得的经验解决问题：如图3，在ABD中，AB=6，AD=BD=5，点P以每秒1个单位长度的速度，由点A出了，沿边AB向点B运动，且满足DPC=A，设点P的运动时间为t（秒），当以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切时，求t的值考点：相似形综合题；切线的性质.专题：探究型分析：（1）如图1，由DPC=A=B=90可得ADP=BPC，即可证到ADPBPC，然后运用相似三角

13、形的性质即可解决问题；（2）如图2，由DPC=A=B=可得ADP=BPC，即可证到ADPBPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；（3）如图3，过点D作DEAB于点E，根据等腰三角形的性质可得AE=BE=3，根据勾股定理可得DE=4，由题可得DC=DE=4，则有BC=54=1易证DPC=A=B根据ADBC=APBP，就可求出t的值解答：解：（1）如图1，DPC=A=B=90，ADP+APD=90，BPC+APD=90，ADP=BPC，ADPBPC，=，ADBC=APBP；（2）结论ADBC=APBP仍然成立理由：如图2，BPD=DPC+BPC，BPD=A+ADP，DPC+BPC=A+ADP

14、DPC=A=B=，BPC=ADP，ADPBPC，=，ADBC=APBP；（3）如图3，过点D作DEAB于点EAD=BD=5，AB=6，AE=BE=3由勾股定理可得DE=4以点D为圆心，DC为半径的圆与AB相切，DC=DE=4，BC=54=1又AD=BD，A=B，DPC=A=B由（1）、（2）的经验可知ADBC=APBP，51=t（6t），解得：t1=1，t2=5，t的值为1秒或5秒点评：本题是对K型相似模型的探究和应用，考查了相似三角形的判定与性质、切线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、等角的余角相等、三角形外角的性质、解一元二次方程等知识，以及运用已有经验解决问题的能力，渗透了特殊到一般的

15、思想类型3类比探究题本例是将某一问题的解决方法，运用到解决不同情境下的类似问题，这类题充分体现了实践性、探究性，其解答思路的突破点是紧扣题中交代的思想方法，结合不同情境中对应知识来解决问题例题1：（2015辽宁铁岭）（第25题）已知：点D是等腰直角三角形ABC斜边BC所在直线上一点（不与点B重合），连接AD（1）如图1，当点D在线段BC上时，将线段AD绕点A逆时针方向旋转90得到线段AE，连接CE求证：BD=CE，BDCE（2）如图2，当点D在线段BC延长线上时，探究AD、BD、CD三条线段之间的数量关系，写出结论并说明理由；（3）若BD=CD，直接写出BAD的度数考点：几何变换综合题.分析：

16、（1）根据等腰直角三角形的性质可得ABC=ACB=45，再根据旋转性质可得AD=AE，DAE=90，然后利用同角的余角相等求出BAD=CAE，然后利用“边角边”证明BAD和CEF全等，从而得证；（2）将线段AD绕点A逆时针方向旋转90得到线段AE，连接CE与（1）同理可得CE=BD，CEBD，根据勾股定理即可求得2AD2=BD2+CD2；（3）分两种情况分别讨论即可求得解答：（1）证明：如图1，BAC=90，AB=AC，ABC=ACB=45，DAE=90，DAE=CAE+DAC=90，BAC=BAD+DAC=90，BAD=CAE，在BAD和CAE中，BADCAE（SAS），BD=CE，ACE=

17、ABC=45BCE=ACB+ACE=90，BDCE；（2）2AD2=BD2+CD2，理由：如图2，将线段AD绕点A逆时针方向旋转90得到线段AE，连接CE与（1）同理可证CE=BD，CEBD，EAD=90AE=AD，ED=AD，在RTECD中，ED2=CE2+CD2，2AD2=BD2+CD2（3）如图3，当D在BC边上时，将线段AD1绕点A顺时针方向旋转90得到线段AE，连接BE，与（1）同理可证ABEACD1，BE=CD1，BEBC，BD=CD，BD1=BE，tanBD1E=，BD1E=30，EAD1=EBD1=90，四边形A、D1、B、E四点共圆，EAB=BD1E=30，BAD1=9030

18、=60；将线段AD绕点A逆时针方向旋转90得到线段AF，连接CF同理可证：CFD2=30，FAD2=FCD2=90，四边形A、F、D2、C四点共圆，CAD2=CFD2=30，BAD2=90+30=120，综上，BAD的度数为60或120点评：本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，四点共圆的判定，圆周角定理等，通过旋转得出全等三角形是本题的关键【变式练习】（2015江苏盐城，第26题10分）如图，把EFP按图示方式放置在菱形ABCD中，使得顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上，已知EP=FP=4，EF=4，BAD=60，且AB4（1）求EPF

19、的大小；（2）若AP=6，求AE+AF的值；（3）若EFP的三个顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上运动，请直接写出AP长的最大值和最小值考点：四边形综合题分析：（1）过点P作PGEF于G，解直角三角形即可得到结论；（2）如图2，过点P作PMAB于M，PNAD于N，证明ABCADC，RtPMERtPNF，问题即可得证；（3）如图3，当EFAC，点P在EF的右侧时，AP有最大值，当EFAC，点P在EF的左侧时，AP有最小值解直角三角形即可解决问题解答：解：（1）如图1，过点P作PGEF于G，PE=PF，FG=EG=EF=，FPG=，在FPG中，sinFPG=，FPG=60，EPF=2FPG

20、=120；（2）如图2，过点P作PMAB于M，PNAD于N，四边形ABCD是菱形，AD=AB，DC=BC，在ABC与ADC中，ABCADC，DAC=BAC，PM=PN，在RtPME于RtPNF中，RtPMERtPNF，FN=EM，在RtPMA中，PMA=90，PAM=DAB=30，AM=APcos30=3，同理AN=3，AE+AF=（AMEM）+（AN+NF）=6；（3）如图3，当EFAC，点P在EF的右侧时，AP有最大值，当EFAC，点P在EF的左侧时，AP有最小值，设AC与EF交于点O，PE=PF，OF=EF=2，FPA=60，OP=2，BAD=60，FAO=30，AO=6，AP=AO+P

21、O=8，同理AP=AOOP=4，AP的最大值是8，最小值是4点评：本题考查了菱形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，最值问题，等腰三角形的性质，作辅助线构造直角三角形是解题的关键题型2与圆有关的几何综合题类型1操作探究题一般分成三个问题，三个问题由易到难，由一般到特殊或由特殊到一般层层递进的方式设置问题；一般三个问题涉及到圆的切线的证明，线段相等、角相等、线段与角的计算、图形面积的计算、几何变量之间的函数关系探究、线段关系式的证明、角的关系式的证明等；常见的知识点有：垂径定理及其推论、圆心角定理及其推论、圆周角定理及其推论、切线的性质与判定、等腰三角形的性质与判定、解直角三角形、全等

22、三角形与相似三角形的性质与判定、锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值等；常见的数学思想方法有：方程思想、函数思想、由特殊到一般或由一般到特殊的探究思想等；例题1：（2015福建龙岩25，14分）如图，已知点D在双曲线y=（x0）的图象上，以D为圆心的D与y轴相切于点C（0，4），与x轴交于A，B两点，抛物线y=ax2+bx+c经过A，B，C三点，点P是抛物线上的动点，且线段AP与BC所在直线有交点Q（1）写出点D的坐标并求出抛物线的解析式；（2）证明ACO=OBC；（3）探究是否存在点P，使点Q为线段AP的四等分点？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题分析：（1）根

23、据切线的性质得到点D的纵坐标是4，所以由反比例函数图象上点的坐标特征可以求得点D的坐标；过点D作DEx轴，垂足为E，连接AD，BD，易得出A，B的坐标，即可求出抛物线的解析式；（2）连接AC，tanACO=，tanCBO=，即可得出ACO=CBO（3）分别过点Q，P作QFx轴，PGx轴，垂足分别为F，G，设P（t， t2t+4），分三种情况AQ：AP=1：4，AQ：AP=2：4，AQ：AP=3：4，分别求解即可解答：解：（1）以D为圆心的D与y轴相切于点C（0，4），点D的纵坐标是4，又点D在双曲线y=（x0）的图象上，4=，解得x=5，故点D的坐标是（5，4）如图1，过点D作DEx轴，垂足为

24、E，连接AD，BD，在RTDAE中，DA=5，DE=4，AE=3，OA=OEAE=2，OB=OA+2AE=8，A（2，0），B（8，0），设抛物线的解析式为y=a（x2）（x8），由于它过点C（0，4），a（02）（08）=4，解得a=，抛物线的解析式为y=x2x+4（2）如图2，连接AC，在RTAOC中，OA=2，CO=4，tanACO=，在RTBOC中，OB=8，CO=4，tanCBO=，ACO=CBO（3）B（8，0），C（0，4），直线BC的解析式为y=x+4，如图3，分别过点Q，P作QFx轴，PGx轴，垂足分别为F，G，设P（t，t2t+4），AQ：AP=1：4，则易得Q（，），点Q

25、在直线y=x+4上，+4=，整理得t28t36=0，解得t1=4+2，t2=42，P1（4+2，11），P2（42，11+），AQ：AP=2：4，则易得Q（，），点Q在直线y=x+4上，+4=，整理得t28t12=0，解得P3=4+2，P4=42，P3（4+2，5），P4（42，5+）；AQ：AP=3：4，则易得Q（，），点Q在直线y=x+4上，+4=，整理得t28t4=0，解得t5=4+2，t6=42，P5（4+2，3），P6（42，3+），综上所述，抛物线上存在六个点P，使Q为线段AP的三等分点，其坐标分别为P1（4+2，11），P2（42，11+），P3（4+2，5），P4（42，5+）

26、；P5（4+2，3），P6（42，3+）点评：本题主要考查了二次函数的综合题，涉及双曲线，一次函数，三角函数及二次函数的知识，解题的关键是分三种情况讨论求解【变式练习】（2015河北,第26题14分）平面上，矩形ABCD与直径为QP的半圆K如图1摆放，分别延长DA和QP交于点O，且DOQ=60，OQ=0D=3，OP=2，OA=AB=1让线段OD及矩形ABCD位置固定，将线段OQ连带着半圆K一起绕着点O按逆时针方向开始旋转，设旋转角为（060）发现：（1）当=0，即初始位置时，点P在直线AB上（填“在”或“不在”）求当是多少时，OQ经过点B（2）在OQ旋转过程中，简要说明是多少时，点P，A间的距

27、离最小？并指出这个最小值；（3）如图2，当点P恰好落在BC边上时，求a及S阴影拓展：如图3，当线段OQ与CB边交于点M，与BA边交于点N时，设BM=x（x0），用含x的代数式表示BN的长，并求x的取值范围探究：当半圆K与矩形ABCD的边相切时，求sin的值考点： 圆的综合题分析： （1）在，当OQ过点B时，在RtOAB中，AO=AB，得到DOQ=ABO=45，求得=6045=15；（2）如图2，连接AP，由OA+APOP，当OP过点A，即=60时，等号成立，于是有APOPOA=21=1，当=60时，P、A之间的距离最小，即可求得结果（3）如图2，设半圆K与PC交点为R，连接RK，过点P作PHA

28、D于点H，过点R作REKQ于点E，在RtOPH中，PH=AB=1，OP=2，得到POH=30，求得=6030=30，由于ADBC，得到RPO=POH=30，求出RKQ=230=60，于是得到结果；拓展：如图5，由OAN=MBN=90，ANO=BNM，得到AONBMN求出BN=，如图4，当点Q落在BC上时，x取最大值，作QFAD于点F，BQ=AF=AO=21，求出x的取值范围是0x1；探究：半圆K与矩形ABCD的边相切，分三种情况；如图5，半圆K与BC相切于点T，设直线KT与AD，OQ的初始位置所在的直线分别交于点S，O，于是得到KSO=KTB=90，作KGOO于G，在RtOSK中，求出OS=2

29、，在RtOSO中，SO=OStan60=2，KO=2在RtKGO中，O=30，求得KG=KO=，在RtOGK中，求得结果；当半圆K与AD相切于T，如图6，同理可得sin的值当半圆K与CD切线时，点Q与点D重合，且为切点，得到=60于是结论可求解答： 解：发现：（1）在，当OQ过点B时，在RtOAB中，AO=AB，DOQ=ABO=45，=6045=15；（2）如图2，连接AP，OA+APOP，当OP过点A，即=60时，等号成立，APOPOA=21=1，当=60时，P、A之间的距离最小，PA的最小值=1；（3）如图2，设半圆K与PC交点为R，连接RK，过点P作PHAD于点H，过点R作REKQ于点E

30、，在RtOPH中，PH=AB=1，OP=2，POH=30，=6030=30，ADBC，RPO=POH=30，RKQ=230=60，S扇形KRQ=，在RtRKE中，RE=RKsin60=，SPRK=RE=，S阴影=+；拓展：如图5，OAN=MBN=90，ANO=BNM，AONBMN，即，BN=，如图4，当点Q落在BC上时，x取最大值，作QFAD于点F，BQ=AF=AO=21，x的取值范围是0x1；探究：半圆K与矩形ABCD的边相切，分三种情况；如图5，半圆K与BC相切于点T，设直线KT与AD，OQ的初始位置所在的直线分别交于点S，O，则KSO=KTB=90，作KGOO于G，在RtOSK中，OS=

31、2，在RtOSO中，SO=OStan60=2，KO=2，在RtKGO中，O=30，KG=KO=，在RtOGK中，sin=，当半圆K与AD相切于T，如图6，同理可得sin=；当半圆K与CD切线时，点Q与点D重合，且为切点，=60，sin=sin60，综上所述sin的值为：或或点评： 本题考查了矩形的性质，直线与圆的位置关系，勾股定理，锐角三角函数，根据题意正确的画出图形是解题的关键类型2动态研究题题动态问题常见有两大类：动态问题中的定值和动态问题中的变值动态问题中的定值往往包含关于角度、线段、面积等定值问题解决这类问题时，要搞清图形的变化过程，正确分析变量与其他量之间的内在联系，建立它们之间的关

32、系要善于探索动点运动的特点和规律，抓住图形在变化过程中不变的元素必要时，多作出几个符合条件的草图也是解决问题的好办法例题1：（2015曲靖24题12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线ly轴于点B（0，2），A为OB的中点，以A为顶点的抛物线y=ax2+c与x轴交于C、D两点，且CD=4，点P为抛物线上的一个动点，以P为圆心，PO为半径画圆（1）求抛物线的解析式；（2）若P与y轴的另一交点为E，且OE=2，求点P的坐标；（3）判断直线l与P的位置关系，并说明理由考点：二次函数综合题.分析：（1）根据题意可知A（0，1），C（2，0），D（2，0），从而可求得抛物线的解析式；（2）根据OE=

33、2可知点E的坐标为（0，2）或（0，2），从而可确定出点P的纵坐标为1或1；（3）设点P的坐标为（m，），然后求得圆P的半径OP和点P到直线l的距离，根据d=r，可知直线和圆相切解答：解：（1）点A为OB的中点，点A的坐标为（0，1）CD=4，由抛物线的对称性可知：点C（2，0），D（2，0），将点A（0，1），C（2，0），D（2，0）代入抛物线的解析式得：，解得：，抛物线得解析式为y=（2）如下图：过点P1作P1FOEOE=2，点E的坐标为（0，2）P1FOEEF=OF点P1的纵坐标为1同理点P2的纵坐标为1将y=1代入抛物线的解析式得：x1=，x2=2点P1（2，1），P2（2，1）如下

34、图：当点E与点B重合时，点P3与点A重合，点P3的坐标为（0，1）综上所述点P的坐标为（2，1）或（2，1）或（0，1）（3）设点P的坐标为（m，），圆的半径OP=，点P到直线l的距离=（2）=+1d=r直线l与圆P相切点评：本题主要考查的是二次函数与圆的综合应用，根据题意确定出点E的坐标，然后再得出点P的纵坐标是解题的关键【变式练习】（2015温州第24题14分）如图，点A和动点P在直线l上，点P关于点A的对称点为Q，以AQ为边作RtABQ，使BAQ=90，AQ：AB=3：4，作ABQ的外接圆O点C在点P右侧，PC=4，过点C作直线ml，过点O作ODm于点D，交AB右侧的圆弧于点E在射线CD

35、上取点F，使DF=CD，以DE，DF为邻边作矩形DEGF设AQ=3x（1）用关于x的代数式表示BQ，DF（2）当点P在点A右侧时，若矩形DEGF的面积等于90，求AP的长（3）在点P的整个运动过程中，当AP为何值时，矩形DEGF是正方形？作直线BG交O于点N，若BN的弦心距为1，求AP的长（直接写出答案）考点：圆的综合题.分析：（1）由AQ：AB=3：4，AQ=3x，易得AB=4x，由勾股定理得BQ，再由中位线的性质得AH=BH=AB，求得CD，FD；（2）利用（1）的结论，易得CQ的长，作OMAQ于点M（如图1），则OMAB，由垂径定理得QM=AM=x，由矩形性质得OD=MC，利用矩形面积，

36、求得x，得出结论；（3）点P在A点的右侧时（如图1），利用（1）（2）的结论和正方形的性质得2x+4=3x，得AP；点P在A点的左侧时，当点C在Q右侧，0x时（如图2），47x=3x，解得x，易得AP；当时（如图3），74x=3x，得AP；当点C在Q的左侧时，即x（如图4），同理得AP；连接NQ，由点O到BN的弦心距为l，得NQ=2，当点N在AB的左侧时（如图5），过点B作BMEG于点M，GM=x，BM=x，易得GBM=45，BMAQ，易得AI=AB，求得IQ，由NQ得AP；当点N在AB的右侧时（如图6），过点B作BJGE于点J，由GJ=x，BJ=4x得tanGBJ=，利用（1）（2）中结论得

37、AI=16x，QI=19x，解得x，得AP解答：解：（1）在RtABQ中，AQ：AB=3：4，AQ=3x，AB=4x，BQ=5x，ODm，ml，ODl，OB=OQ，=2x，CD=2x，FD=3x；（2）AP=AQ=3x，PC=4，CQ=6x+4，作OMAQ于点M（如图1），OMAB，O是ABQ的外接圆，BAQ=90，点O是BQ的中点，QM=AM=xOD=MC=，OE=BQ=，ED=2x+4，S矩形DEGF=DFDE=3x（2x+4）=90，解得：x1=5（舍去），x2=3，AP=3x=9；（3）若矩形DEGF是正方形，则ED=DF，I点P在A点的右侧时（如图1），2x+4=3x，解得：x=4，

38、AP=3x=12；II点P在A点的左侧时，当点C在Q右侧，0x时（如图2），ED=47x，DF=3x，47x=3x，解得：x=，AP=；当x时（如图3），ED=74x，DF=3x，74x=3x，解得：x=1（舍去），当点C在Q的左侧时，即x（如图4），DE=7x4，DF=3x，7x4=3x，解得：x=1，AP=3，综上所述：当AP为12或或3时，矩形DEGF是正方形；连接NQ，由点O到BN的弦心距为l，得NQ=2，当点N在AB的左侧时（如图5），过点B作BMEG于点M，GM=x，BM=x，GBM=45，BMAQ，AI=AB=4x，IQ=x，NQ=2，x=2，AP=6；当点N在AB的右侧时（如图

39、6），过点B作BJGE于点J，GJ=x，BJ=4x，tanGBJ=，AI=16x，QI=19x，NQ=2，x=，AP=，综上所述：AP的长为6或点评：本题主要考查了勾股定理，垂径定理，正方形的性质，中位线的性质等，结合图形，分类讨论是解答此题的关键【拓展演练】1. （2015贵州省贵阳,第25题9分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=12，将矩形纸片折叠，使点C落在AD边上的点M处，折痕为PE，此时PD=3（1）求MP的值；（2）在AB边上有一个动点F，且不与点A，B重合当AF等于多少时，MEF的周长最小？（3）若点G，Q是AB边上的两个动点，且不与点A，B重合，GQ=2当四边形ME

40、QG的周长最小时，求最小周长值（计算结果保留根号）2. （2015，广西玉林，25，10分）如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，点P是AB边上一点（不与A，B重合），连接CP，过点P作PQCP交AD边于点Q，连接CQ（1）当CDQCPQ时，求AQ的长；（2）取CQ的中点M，连接MD，MP，若MDMP，求AQ的长3. （2015丹东，第25题12分）在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O；在RtPMN中，MPN=90（1）如图1，若点P与点O重合且PMAD、PNAB，分别交AD、AB于点E、F，请直接写出PE与PF的数量关系；（2）将图1中的RtPMN绕点O顺时针旋转角度（045）

41、如图2，在旋转过程中（1）中的结论依然成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；如图2，在旋转过程中，当DOM=15时，连接EF，若正方形的边长为2，请直接写出线段EF的长；如图3，旋转后，若RtPMN的顶点P在线段OB上移动（不与点O、B重合），当BD=3BP时，猜想此时PE与PF的数量关系，并给出证明；当BD=mBP时，请直接写出PE与PF的数量关系4（2015湖北省潜江市、天门市、仙桃市、江汉油田第24 题10分）已知MAN=135，正方形ABCD绕点A旋转（1）当正方形ABCD旋转到MAN的外部（顶点A除外）时，AM，AN分别与正方形ABCD的边CB，CD的延长线交于点M，N，连接MN如图1，若BM=DN，则线段MN与BM+DN之间的数量关系是MN=BM+DN；如图2，若BMDN，请判断中的数量关系是否仍成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（2）如图3，当正方形ABCD旋转到MAN的内部（顶点A除外）时，AM，AN分别与直线BD交于点M，N，探究：以线段BM，MN，DN的长度为三边长的三角形是何种三角形，并说明理由5. （2015黄石第24题，9分）在AOB中，C，D分别是OA，OB边上的点，将OCD绕点O顺时针旋转到OCD（1）如图1，若AOB=