高等数学同济第五版(下)微分方程.ppt
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- 高等数学 同济 第五 微分方程
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1、微分方程 第十二章yxfy求已知,)(积分问题积分问题 yy求及其若干阶导数的方程已知含,微分方程问题微分方程问题 推广 一阶微分方程高阶微分方程微分方程的基本概念 第一节微分方程的基本概念微分方程的基本概念引例引例 几何问题几何问题物理问题物理问题 第十二章 引例引例1.一曲线通过点(1,2),在该曲线上任意点处的解解:设所求曲线方程为 y=y(x),则有如下关系式:xxy2ddxxyd2Cx 2(C为任意常数)由 得 C=1,.12 xy因此所求曲线方程为21xy由 得切线斜率为 2x,求该曲线的方程.引例引例2.列车在平直路上以sm20的速度行驶,制动时获得加速度,sm4.02a求制动后
2、列车的运动规律.解解:设列车在制动后 t 秒行驶了s 米,已知4.0dd22ts,00ts200ddtts由前一式两次积分,可得2122.0CtCts利用后两式可得0,2021CC因此所求运动规律为tts202.02即求 s=s(t).常微分方程偏微分方程含未知函数及其导数的方程叫做微分方程微分方程.方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程(本章内容)0),()(nyyyxF),()1()(nnyyyxfy(n 阶显式微分方程)微分方程的基本概念微分方程的基本概念一般地,n 阶常微分方程的形式是的阶阶.分类或,00ts200ddtts引例24.022ddxy 使方程成为恒等式的函数.通解通
3、解 解中所含独立的任意常数的个数与方程)1(00)1(0000)(,)(,)(nnyxyyxyyxy 确定通解中任意常数的条件.n 阶方程的初始条件初始条件(或初值条件或初值条件):的阶数相同.特解特解xxy2dd21xy引例1 Cxy22122.0CtCts通解:tts202.0212 xy特解:微分方程的解解 不含任意常数的解,定解条件定解条件 其图形称为积分曲线积分曲线.(4)410125sinyyyyyx2()20 x yyyxsinxdyxyedxcos1dyxydx线性:未知函数及其各阶导数都是一次的。第二节 第十二章 一阶微分方程一、可分离变量微分方程二、齐次方程三、全微分方程(
4、数一)四、一阶线性微分方程一、可分离变量微分方程 转化 解分离变量方程解分离变量方程 xxfyygd)(d)(可分离变量方程可分离变量方程 )()(dd21yfxfxy0 )(d )(11xNxxMyyNyMd)()(22分离变量方程的解法分离变量方程的解法:xxfyygd)(d)(设 y(x)是方程的解,xxfxxxgd)(d)()(两边积分,得 yygd)(xxfd)(CxFyG)()(则有恒等式)(yG)(xF当G(y)与F(x)可微且 G(y)g(y)0 时,说明由确定的隐函数 y(x)是的解.则有称为方程的隐式通解,或通积分.同样,当F(x)=f(x)0 时,上述过程可逆,由确定的隐
5、函数 x(y)也是的解.例例1.求微分方程yxxy23dd的通解.解解:分离变量得xxyyd3d2两边积分xxyyd3d2得13lnCxyCxylnln3即13Cxey31xCee3xeCy 1CeC令(C 为任意常数)或说明说明:在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、减解.(此式含分离变量时丢失的解 y=0)例例2.解初值问题0d)1(d2yxxyx解解:分离变量得xxxyyd1d2两边积分得Cxyln11lnln2即Cxy12由初始条件得 C=1,112xy(C 为任意常数)故所求特解为 1)0(y例例3.求下述微分方程的通解:)1(sin2yxy解解:令,1yxu则yu1故有u
6、u2sin1即xuuddsec2Cxutan解得Cxyx)1tan(C 为任意常数)所求通解:练习练习:.dd的通解求方程yxexy解法解法 1 分离变量xeyexyddCeexy即01)(yxeCe(C 0内内满足拉普拉斯方程满足拉普拉斯方程,0222222zuyuxu)(rf其中二阶可导二阶可导,且且,1)1()1(ff试将方程化为以试将方程化为以 r 为自变为自变量的常微分方程量的常微分方程,并求并求 f(r).提示提示:rxrfxu)(2222)(rxrfxu )(rf r132rx利用对称性利用对称性,0)(2)(rfrrf即即0)(2)(2 rfrrfr(欧拉方程欧拉方程)原方程可
7、化为原方程可化为机动 目录 上页 下页 返回 结束 0)(2)(2 rfrrfr,lnrt 令1)1()1(ff.12)(rrf解初值问题:,ddtD 记则原方程化为则原方程化为 02)1(fDDD02fDD即通解通解:teCCrf21)(rCC121利用初始条件得特解利用初始条件得特解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 xxCxCysincos21特征根特征根:,2,1ir例例1.求微分方程2,xxyy,00 xy,00 xy提示提示:,2时当x故通解为故通解为)(sin2xxxy2,04 xyy满足条件满足条件2x在解满足解满足xyy,00 xy00 xy处连续且可微的解处连续且可微的解
8、.设特解设特解:,BAxy代入方程定代入方程定 A,B,得得xy,0,000 xxyy利用得机动 目录 上页 下页 返回 结束 2x由处的衔接条件可知处的衔接条件可知,2时当x04 yy,122xy12xy解满足解满足故所求解为故所求解为y,sinxx 2221,2cos)1(2sinxxx2xxCxCy2cos2sin21其通解其通解:定解问题的解定解问题的解:2221,2cos)1(2sinxxxy机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.,)(二阶导数连续设xf且满足方程xtdtftxxxf0)()(sin)(.)(xf求提示提示:,)()(sin)(00 xxtdtfttdtfxxx
9、f则xxfcos)()(sin)(xfxxf xtdtf0)()(xfx)(xfx问题化为解初值问题问题化为解初值问题:xxfxfsin)()(,0)0(f1)0(f最后求得最后求得xxxxfcos2sin21)(机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考思考:设,0)0(,d)()(0 xxuuxxex?)(x如何求提示提示:对积分换元对积分换元,uxt 令则有xxttex0d)()()()(xexx 解初值问题解初值问题:xexx)()(,0)0(1)0(答案答案:xxexex41)12(41)(机动 目录 上页 下页 返回 结束 的解的解.例3.设函数设函数),()(在xyy,)()(,0
10、的函数是xyyyxxy内具有连续二阶导内具有连续二阶导机动 目录 上页 下页 返回 结束(1)试将试将 xx(y)所满足的微分方程所满足的微分方程 变换为变换为 yy(x)所满足的微分方程所满足的微分方程;(2)求变换后的微分方程满足初始条件求变换后的微分方程满足初始条件 0)dd)(sin(dd322yxxyyx,0)0(y数,且23)0(y解解:,1ddyyx,1ddyxy即上式两端对上式两端对 x 求导求导,得得:(1)由反函数的导数公式知由反函数的导数公式知(03考研考研)机动 目录 上页 下页 返回 结束 0)(dddd222 yyxyxy222)(ddddyyxyyx 3)(yy
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