2020年全国普通高等学校招生统一考试（新课标Ⅰ卷）文科数学+答案+全解全析纯word版（2020.6.15）.doc

1、2020 年全国普通高等学校招生统一考试（新课标卷） 文科数学2020.6.15 本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1已知集合 1 |2 2 Axx ， |13Bx

2、x ，则B()=A R A2,3 B(2,3) C2,3) D(2,3 2已知i为虚数单位，若复数z满足 2 (1 i)3(1 i)z ，则复数z的共轭复数z A 15 i 22 B 15 i 22 C15i D15i 3已知 0.2 log7a ， 9 0.2b ， ln2 5c ，则 Aca b Bacb Cbac Dabc 4在应对某突发公共卫生事件中，某公司研究决定采用“办公室+远程协作”的办公方案，结合管理实际 情况，对于符合办公室工作的员工，计划工作日内每天安排 2 位员工在办公室办公（每位员工每周仅在 办公室办公 2 天）已知该公司有 5 位员工符合条件，其中甲、乙两人必须安排在

3、周一、周二两天同时 办公，其余 3 位员工随机安排，则不同的安排方法有 A6 种 B8 种 C9 种 D12 种 5若 2 6cos2cos21 ，则tan A2 B3 C2 D3 6已知实数 , x y满足不等式组 20 3480 2 xy xy x ，则目标函数 2zxy 的最大值为 A2 B2 C4 D4 7在ABC中，已知 1 () 2 ADABAC， 1 3 AEAD，若以AD，BE为基底，则DC可表示为 A 21 33 ADBE B 2 3 ADBE C 1 3 ADBE D 12 33 ADBE 8函数 2 ( )cossin(1) 31 x f xx 的图象大致为 9已知函数(

4、 )3sincos()(0)f xxx的最小正周期为，则下列说法错误的是 A函数 ( )f x的图象关于点 5 (,0) 12 对称 B函数 ( )f x的图象关于直线 3 x 对称 C将函数 ( )f x的图象向右平移 12 个单位长度后所得函数的图象关于原点对称 D函数 ( )f x在区间 5 (,) 36 上单调递减 10设各项均为正数的数列 n a 的前n项和为 n S，若数列 n a 满足 1 2a ， * 1 42() nnn a aSn N ，则 20212020 aa A3 B3 C 1 3 D 1 3 11 已 知 函 数 ()|2 |2fxx，( )lng xaxx ， 若

5、 对 0 ( 0 , e )x， 12 ,(0,e)x x， 使 得 012 ()()()fxgxgx，其中 12 xx，则实数 a 的取值范围是 A 5 ,e) e B 1 ( ,e) e C 1 1,e) e D 1 5 1, e e 12已知抛物线 2 :4C yx的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C交于 ,P Q两点，且 3FPFQ 0，则 (OPQ O 为坐标原点)的面积S等于 A3 B2 3 C 2 3 3 D 4 3 3 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13若函数 1 ()ln 1 fx x ，则 (2)f=_ 14已知数列 n a满足： 1 1a

6、， 1 1 1 n nn a aa ，则 2020 a_ 15设 12 (,0),( ,0)FcF c分别是双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左、右焦点，若直线x c 与双曲线 C 的 两条渐近线分别交于点 M，N，且 1 60MF N，则双曲线 C 的离心率为_ 16石雕工艺承载着几千年的中国石雕文化，随着科技的发展， 机器雕刻产品越来越多某石雕厂计划利用一个圆柱形的石 材（如图 1）雕刻制作一件工艺品（如图 2） ，该作品的上方 是一个球体，下方是一个正四棱柱，经测量，圆柱形石材的 底面半径3r 米，高10h 米，制作要求如下：首先需将石 材切割为体积相等的两部分（

7、分别称为圆柱 A 和圆柱 B） ， 要求切面与原石材的上、下底面平行（不考虑损耗） ，然后 将圆柱 A 切割打磨为一个球体，将圆柱 B 切割打磨为一个长方体，则加工打磨后所得工艺品的体积 的最大值为_立方米 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考 生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17 （12 分） 设ABC的内角 , ,A B C所对的边分别为, ,a b c，若(,),(sinsin ,sin)ab bcABCmn ，且mn （1）求证：C，A，B 成等差数列； （2）

8、若ABC的面积的最大值为 3，求 ABC外接圆的半径 18 （12 分） 为了更好了解某年入伍新兵的身高情况，解放军某部随机抽取100名新兵，分别对他们的身高进行了 测量，并将测量数据分为以下五组：160,165)，165,170)，170,175)，175,180)，180,185进行整理， 如下表所示： 组号 分组 频数 第 1 组 160,165) 5 第 2 组 165,170) 35 第 3 组 170,175) 30 第 4 组 175,180) 20 第 5 组 180,185 10 合计 100 （1）在下面的图纸中，画出频率分布直方图； （2）若在第 4，5 两组中，用分层抽

9、样的方法抽取 6 名新兵，再从这 6 名新兵中随机抽取 2 名新兵进 行体能测试，求这 2 名新兵来自不同组的概率 19 （12 分） 如图，三棱锥ABCD中，侧面ABD是边长为2的正三角形， 22ACCD，平面ABD 平面BCD，把平面ACD沿CD旋转至平 面PCD的位置， 记点A旋转后对应的点为P（不在平面BCD内） ，M， N分别是BD，CD的中点 （1）求证：CDMN； （2）求三棱锥CAPD的体积的最大值 20 （12 分） 已知椭圆 22 22 :1(0) yx Cab ab 的离心率 6 3 e ，且椭圆C过点 3 (, 2) 3 P （1）求椭圆C的标准方程； （2）设点Q是椭

10、圆C与x轴正半轴的交点，斜率不为0的直线l与椭圆C交于不同的两点D，E，若 9 QDQE kk ，问直线DE是否恒过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由 21 （12 分） 已知曲线 ( )lnf xaxbx 在点1x 处的切线方程为 (e 1)1yx ，其中e为自然对数的底数 （1）求函数 ( )f x的单调区间； （2）若在区间(1,4)内，存在x使得不等式 ( )f xmx 成立，求实数m的取值范围 （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分） 在平面直角坐标系x

11、Oy中，曲线C的参数方程为 4cos 44sin x y （为参数） ，以O为极点，x轴的正 半轴为极轴建立极坐标系，直线T的极坐标方程为 cossin10tt （tR） （1）求曲线C的普通方程和直线T的直角坐标方程； （2）试判断曲线C与直线T的位置关系？若曲线C与直线T有两个公共点,M N，试求| |MN的最小 值与最大值；若没有，请说明理由 23选修 4-5：不等式选讲（10 分） 已知函数 ( ) |2|3|f xxax （1）当3a 时，求不等式 ( )6f x 的解集； （2）若 1 2 x ，不等式 2 ( )3f xxx恒成立，求实数a的取值范围 答案答案+ +全解全析全解全

12、析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C B D A B D B C C A A D 1C 【解析】因为 11 |2(,2) 22 Axx ，所以 1 (,2,) 2 A R ，又 |13(1,3)Bxx ，所 以()2,3)BA R ，故选 C 2B 【解析】由题可得 2 3(1i)32i(32i)(1i)15i15 i 1i1i(1i)(1i)222 z ，故 15 i 22 z 故选 B 3 D 【解析】 由题可得 0.20.2 log7log10a ， 90 00.20.21b， 因为0 ln21， 所以 ln20 551c ， 所以abc故选 D 4A 【解析】记

13、剩余的 3 位员工分别为 a、b、c，由题意可知，这 3 位员工只能安排在周三、周四、周五 在办公室办公，所有的安排方法有（ab，ac，bc） ， （ab，bc，ac） ， （ac，ab，bc） ， （ac，bc，ab） ， （bc， ac，ab） ， （bc，ab，ac） ，共 6 种，故选 A 5 B 【解析】 因为 2 6cos2cos21 ， 所以 22 6cos4cos21 ， 即 2 1 c o s 10 ， 所以 2 9 sin 10 ， 所以 2 tan9，所以tan 3 ，故选 B 6D 【解析】作出不等式组表示的平面区域，如下图中阴影部分所示，由 2zxy 可得 2yxz

14、，所 以 当 2yxz 经 过 点B时 ， z 取 得 最 小 值 ， 即z取 得 最 大 值 易 得 ( 2 , 0 )B ， 所 以 m a x 2204z，故选 D 7B 【解析】因为 1 () 2 ADABAC ，所以 D 为 BC 的中点，因为 1 3 AEAD ，所以 2 3 EDAD ，所以 2 3 DCBDBEEDADBE ，故选 B 8 C 【 解 析 】 方 法 一 ： 由 题 可 知 函 数 ( )f x 的 定 义 域 为R， 因 为 231 1 3131 x xx ， 所 以 ()fx 3113 c o s () s i n ()c o ss i n ()( ) 31

15、13 xx xx xxf x ， 所以函数 ( )f x为奇函数， 故可排除选项 A、 B 又 c o s 1 0 ， 2 sin(1) 31 1 sin0 2 ，所以 1 (1)cos1 sin0 2 f ，故排除选项 D故选 C 方法二：因为 1 ( 1)cos1 sin()0 2 f ， 1 (1)cos1 sin0 2 f ，所以观察各选项中的图象可知 C 符合 题意，故选 C 9C 【解析】由题可得( ) 3sincos2sin() 6 f xxxx ，因为函数( )f x的最小正周期为，所以 2 ，解得2，所以( )2sin(2) 6 f xx 令2() 6 xkk Z，解得()

16、212 k xk Z，所以 函数 ( )f x的图象的对称中心为(,0)() 212 k k Z，当1k 时，对称中心为 5 (,0) 12 ，故 A 正确；令 2() 62 xkk Z， 解 得() 23 k xk Z， 所 以 函 数( )f x的 图 象 的 对 称 轴 方 程 为 () 23 k xk Z，当0k 时，对称轴方程为 3 x ，故 B 正确；将函数( )f x的图象向右平移 12 个单 位长度后可得函数2sin2() 126 yx 2sin(2) 3 x 的图象，显然函数2sin(2) 3 yx 不是奇函数， 其 图 象 不 关 于 原 点 对 称 ， 故C错 误 ； 由

17、 3 222() 262 kxkk Z， 可 得 3 kx 5 () 6 kk Z，所以函数( )f x的单调递减区间为 5 (,)() 36 kkk Z，当0k 时，单 调递减区间为 5 (,) 36 ，故 D 正确故选 C 10A 【解析】因为 * 1 42() nnn a aSn N ， 1 2a ，所以令1n ，可得 121 42a aa ，解得 2=3 a ，由 1 42 nnn a aS ，可得 121 42 nnn aaS ，上述两式相减可得 121 ()4 nnnn aaaa ，因为数列 n a 的 各项均为正数，所以 2 4 nn aa ，所以当n为奇数时，数列 n a 是首

18、项为2，公差为4的等差数 列，当n为偶数时，数列 n a 是首项为3，公差为4的等差数列，所以 2 , 21, n n n a nn 为奇数 为偶数 ，所以 20212020 22021(220201)3aa ，故选 A 11A 【解析】因为 ( )|2|2f xx ，所以当 0 (0, e)x 时， 0 ()2, 4)f x 由 ( )lng xaxx ，可得 1 ( )g xa x 1ax x ，当0a 时， ( )0g x ，所以函数 ( )g x在(0,e)上单调递减，不符合题意，所以 0a 令( )0g x ，可得 1 (0,e)x a ，则函数 ( )g x在 1 (0,) a 上

19、单调递减，在 1 ,e) a 上单调递增，因为 对 0 (0,e)x， 12 ,(0,e)x x，使得 012 ()( )()f xg xg x，其中 12 xx，所以 1 ( )2 (e)4 g a g 且 1 (0,e) a ， 解得 5 e e a，所以实数 a 的取值范围是 5 ,e) e 故选 A 12D 【解析】方法一：由题可得抛物线C的焦点为 (1,0)F ，准线方程为1x ，由3FPFQ 0可得 3FPQF，且| | 3|PFQF 如图，不妨设直线l的倾斜角为锐角，过点 ,P Q分别作准线的垂线PM， QN，垂足分别为,M N，过点Q作PM的垂线QH，垂足为H，则| |QNMH

20、 由抛物线的定义可 得| | |PFPM ，| | |QFQN ，故| | 3|PMQN ，所以| | | | 2|PHPMMHPMQNQN 故 在直角三角形PQH中， |2|1 cos |4|2 PHQN MPQ PQQN ， 所以 60MPQ， 故直线l的倾斜角为60， 故 2 2 | sin 60 p PQ 2 416 sin 603 ，点O到直线PQ的距离 3 | sin1sin 60 2 dOFOFQ 故 OPQ 的面积S 111634 3 | 22323 PQd故选 D 方法二：设 11 (,)P x y ， 22 (,)Q xy ，直线l的方程为 1xky ，将 1xky 代入

21、2 4yx，消去x可得 2 440yky，所以 12 4yyk ， 12 4y y 因为 3FPQF，所以 12 3yy ，所以 22 34yyk ， 则 2 2yk ， 1 6yk ， 所 以264kk ， 所 以 3 | 3 k ， 又| |1OF ， 所 以 OPQ 的 面 积 S 12 114 3 | |1 8| 223 OFyyk 故选 D 13 3 ln 2 【解析】令 1 2 1x ，可得 3 2 x ，所以 3 (2)=ln 2 f 141 【解析】由题可得2 34 1 2,1 2 aaa ，又 1 1a ，所以数列 n a是以 3 为周期的数列， 所以 20201 1aa 1

22、5 21 3 【解析】根据题意得 2 | bc MN a ，由 1 =60MFN可得 22 43ab，所以 22 73ac，所以 21 3 c a =， 故双曲线 C 的离心率为 21 3 16 125 90 6 【解析】因为圆柱 A 和圆柱 B 的体积一样大，所以它们的高 h 一样，即5h 米，要使工 艺品的体积最大，则上方的球与下方的长方体的体积同时取得最大值设由圆柱 A 打磨的球体半径为 R，则 22 2 Rr Rh ，即 3 5 2 R R ，所以 5 2 R 当 5 2 R 时，球的体积取得最大值，此时球体体积 33 1 445125 ( ) 3326 VR 设下方的长方体的底面边长

23、分别为, a b，要使长方体的体积最大，长方 体的高与圆柱 B 的高相等，此时其体积 2 55Vabhabab因为长方体为圆柱 B 的内接长方体， 即长方体的底面是圆柱底面的内接长方形，所以长方形的对角线长等于圆柱底面的直径，即 222 (2 )36abr由基本不等式可得 22 2abab，即 22 18 2 ab ab ，当且仅当 3 2ab 时取 等号，所以长方体体积的最大值为 2 2 (3 2)18 590Vh ，所以所得工艺品的体积的最大值为 12 125 90 6 VVV （立方米） 17 （12 分） 【解析】 （1）因为 (,),(sinsin ,sin)ab bcABCmn ，

24、且mn， 所以0m n，即( )(sinsin )()sin0abABbcC ， （2 分） 由正弦定理可得( )()()0ab abbc c ，即 222 abcbc， 再由余弦定理可得 222 1 cos 22 bca A bc ，因为 (0, )A，所以 3 A ， （4 分） 又BCA ，所以 2 3 BC ，所以2BCA， 所以 C，A，B 成等差数列 （6 分） （2）由（1）知 222 2abcbcbcbcbc， 所以 2 bca，当且仅当b c时取等号，所以 2 133 sin 244 ABC SbcAbca ， （8 分） 又ABC的面积的最大值为 3，所以 2 3 3 4

25、a ，解得2a ， （10 分） 设ABC外接圆的半径为r，则 4 2 sin3 a r A ，解得 2 3 3 r ， 所以ABC外接圆的半径为 2 3 3 （12 分） 18 （12 分） 【解析】 （1）频率分布直方图如下图所示： （5 分） （2）因为第 4，5 组共有 30 名新兵，所以利用分层抽样从中抽取 6 名，每组应抽取的人数分别为： 第 4 组： 20 64 30 名，第 5 组： 10 62 30 名， 设第4组抽取的 4 名新兵分别为 1 A， 2 A， 3 A， 4 A，第 5 组抽取的 2 名新兵分别为 1 B， 2 B 从这 6 名新兵中随机抽取 2 名新兵， 有以

26、下 15 种情况： 12 ,A A， 13 ,A A， 14 ,A A， 11 ,A B， 12 ,A B， 23 ,A A， 24 ,A A， 21 ,A B， 22 ,A B， 34 ,A A， 31 ,A B， 32 ,A B， 41 ,A B， 42 ,A B， 12 ,B B， 这 2 名新兵来自不同组的情况有以下 8 种： 11 ,A B， 12 ,A B， 21 ,A B， 22 ,A B， 31 ,A B， 32 ,A B， 41 ,A B， 42 ,A B，故所求的概率P 8 15 （12 分） 19 （12 分） 【解析】 （1）如图，连接AM，MC，因为ABAD，M是BD

27、的中点，所以AMBD， 又平面ABD 平面BCD，平面ABD平面BCDBD， 所以AM 平面BCD，所以AMMC （3 分） 因为ABD为边长为2的正三角形，所以 3AM ，又2AC ，所以由勾股定理可得1MC ， 又1MCMDMB，所以BCD为直角三角形，且BCCD， 又M，N分别是BD，CD的中点，所以MNBC，所以MNCD （6 分） （2）如图，连接AN，PN， 因为三棱锥CAPD与三棱锥PACD为同一个三棱锥，且ACD的面积为定值， 所以当三棱锥PACD的体积最大时，必有PN 平面ACD， （8 分） 此时点P到平面ACD的距离为 15 2 PNAN， 在ACD中，因为2ACAD，1

28、CD ，所以 111515 11 2224 ACD SAN ， （10 分） 所以 PACD V 的最大值为 1115155 33428 ACD SPN ， 所以三棱锥CAPD的体积的最大值为 5 8 （12 分） 20 （12 分） 【解析】 （1）设椭圆C的焦距为2c， 因为 6 3 e ，所以 6 3 c a ，即 2 2 2 3 c a ，所以 222 1 3 bac aa ，所以 3ab ， （2 分） 又椭圆C过点 3 (, 2) 3 P，所以 2 2 22 3 () ( 2) 3 1 ab ，解得 3 1 a b ， 所以椭圆C的标准方程为 2 2 1 3 y x （5 分） （

29、2）由题可设直线DE的方程为x tym ， 由 2 2 1 3 xtym y x ，消去x，整理可得 222 (1 3 )6330tymtym ， 设 1122 (,),(,)D xyE xy，则 2 1212 22 633 , 1 31 3 mtm yyy y tt ， （8 分） 由题可得 (1,0)Q ，因为 1212 1212 9 11(1)(1) QDQE yyy y kk xxxx ， 所以 22 1212121212 9(1)(1)9(1)(1)99(1) ()9(1)y yxxtymtymt y ymt yym， 且1m （直 线不过（1，0）点） ，所以 222 (91)(1

30、) 183(1)(1 3 )0tmmtmt， （11 分） 整理可得240m ，解得2m ，故直线DE过定点(2,0) （12 分） 21 （12 分） 【解析】（1）由题可得函数 ( )f x的定义域为(0,)，( ) b fxa x ，则 (1)e 1fab ， 又 (1)efa ，所以1b ，所以 ( )elnf xxx ， 1 ( )efx x ，（3 分） 当 ( )0fx ，即 1 e0 x 时，解得 1 e x ； 当 ( )0fx ，即 1 e0 x 时，结合0x ，解得 1 0 e x， 所以函数 ( )f x的单调递减区间为 1 (0, ) e ，单调递增区间为 1 ( ,

31、) e （6 分） 注：在 1 e 处写成闭区间也给分 （2）由（1）可知 ( )eln (0)f xxx x ，由 ( )f xmx ，可得 ( )f x m x ， 令 ( ) ( )(0) f x g xx x ，则 ln ( )e(0) x g xx x ， 因为在区间(1,4)内，存在x使得不等式 ( )f xmx 成立，所以当 (1,4)x 时， min ( )g xm（9 分） 易得 2 ln1 ( ) x g x x ，令 ( )0g x ，可得 ex ， 当 1,4x 时， ( )g x，( )g x 的变化情况如下表： x 1 (1,e) e (e,4) 4 ( )g x

32、0 ( )g x e 单调递减 极小值 1 e e 单调递增 ln2 e 2 由表可知 min 1 ( )e e g x ，所以 1 e e m ，故实数m的取值范围为 1 (e,) e （12 分） 22选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分） 【解析】 （1）由 4cos 44sin x y ，可得 4cos 44sin x y ， 22 得 22 4()16xy， 所以曲线C的普通方程为 22 4()16xy， （3 分） 将 cos sin x y 代入 cossin10tt ，可得曲线T的直角坐标方程为 10txyt （5 分） （2）由（1）得直线T的方程为( 1)(1)0t x

33、y ，故直线T恒过点 ( 1,1)P 曲线C的圆心为 (0,4)C ，半径4r ， 因为 22 (1|( 1)104)PCr，所以点P在圆C内，所以圆C与直线T恒相交 （8 分） 所以| |MN的最小值为 222 2|2 4102 6rPC，| |MN的最大值为28r （10 分） 23选修 4-5：不等式选讲（10 分） 【解析】 （1）当3a 时， ( ) |2| 3|1|f xxx ，不等式 ( )6f x 可化为| 2| 3|1| 6xx （1 分） 当2x 时，不等式可化为2336xx ，即45x，无解； 当21x 时，不等式可化为2336xx，即21x，解得 1 1 2 x； （3

34、 分） 当1x 时，不等式可化为2336xx，即47x ，解得 7 1 4 x ， 综上，可得 17 24 x ，故不等式 ( )6f x 的解集为 1 7 (,) 2 4 （5 分） （2）当 1 2 x 时，不等式 2 ( )3f xxx，即 2 2 |3|3xaxxx ，整理得 2 |3|1axx， 即 22 131xaxx ， 即 22 24xaxx， 因为 1 2 x ， 所以分离参数可得 2 4 ax x ax x （8 分） 显然函数 2 ( )g xx x 在 1 ,) 2 上单调递减，所以 17 ( )( ) 22 g xg ， 而函数 44 ( )24h xxx xx ，当且仅当 4 x x ，即2x 时取等号， 所以实数a的取值范围为 7 ,4 2 （10 分）