9.12021届高三数学专题复习练习直线方程(教师版).docx

1、【课前测试】1、过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 解析：当截距为0时，直线方程为3x2y0；当截距不为0时，设直线方程为1，则1，解得a5.所以直线方程为xy50.答案：3x2y0或xy502、直线l：(a2)x(a1)y60，则直线l恒过定点_解析：直线l的方程变形为a(xy)2xy60，由解得x2，y2，所以直线l恒过定点(2，2)答案：(2，2)3、过点(5,10)且到原点的距离是5的直线的方程为_解析：当斜率不存在时，所求直线方程为x50；当斜率存在时，设其为k，则所求直线方程为y10k(x5)，即kxy105k0.由点到直线的距离公式，得5，解得k.故所求直线方程为

2、3x4y250.综上可知，所求直线方程为x50或3x4y250.答案：x50或3x4y250直线方程【知识梳理】一、直线方程1、直线的倾斜角(1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.(2)范围：直线l倾斜角的取值范围是0，2、斜率公式(1)定义式：若直线l的倾斜角，则斜率ktan.(2)坐标式：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1x2，则l的斜率k.3、直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式yy0k(xx0)斜率存在斜截

3、式ykxb斜率存在两点式不含垂直于坐标轴的直线截距式1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式AxByC0，A2B20平面内任意直线二、两直线的位置关系1、两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1l2k1k2.当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1l2.(2)两条直线垂直如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1l2k1k21.当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1l2.2、两条直线的交点的求法直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数

4、)，则l1与l2的交点坐标就是方程组的解3、距离问题P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点之间的距离|P1P2|d点P0(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离d平行线AxByC10与AxByC20间的距离d4、几种常见的直线系方程(1)平行于直线AxByC0的直线系方程：AxBy0(C)(2)垂直于直线AxByC0的直线系方程：BxAy0.(3)过两条已知直线A1xB1yC10，A2xB2yC20交点的直线系方程：A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(不包括直线A2xB2yC20)【课堂讲解】考点一 直线的倾斜角与斜率例1、(1)直线2xcos y30的倾斜角的变化范围是()A. B

5、.C. D.解析：直线2xcos y30的斜率k2cos .由于，所以cos ，因此k2cos 1，设直线的倾斜角为，则有tan 1，由于0，所以，即倾斜角的变化范围是.答案：B(2)已知直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l的斜率的取值范围是_解析：如图，因为kAP1，kBP，所以直线l的斜率k(，)1，)答案：(，)1，)变式训练：1、若图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则()Ak1k2k3B.k3k1k2Ck3k2k1Dk1k3k2解析：选D直线l1的倾斜角1是钝角，故k10.直线l2与l3的倾斜角2与3均为锐角，且23

6、，所以0k3k2，因此k1k3k2.故选D.2、直线xsin y20的倾斜角的范围是()A0，)B.C.D.解析：设直线的倾斜角为，则有tan sin ，又sin 1,1，0，)，所以0或.答案：B3、已知点(1,2)和在直线l：axy10(a0)的同侧，则直线l倾斜角的取值范围是_解析：点(1,2)和在直线l：axy10同侧的充要条件是(a21)0，解得a1，即直线l的斜率的范围是(，1)，故其倾斜角的取值范围是.答案：考点二 求直线方程例2、(1)求过点A(1,3)，斜率是直线y4x的斜率的的直线方程(2)求经过点A(5,2)，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程解析：(1)设

7、所求直线的斜率为k，依题意k4.又直线经过点A(1,3)，因此所求直线方程为y3(x1)，即4x3y130.(2)当直线不过原点时，设所求直线方程为1，将(5,2)代入所设方程，解得a，所以直线方程为x2y10；当直线过原点时，设直线方程为ykx，则5k2，解得k，所以直线方程为yx，即2x5y0.故所求直线方程为2x5y0或x2y10.变式训练：1、经过点P(4，1)，且在两坐标轴上的截距相等；解析：设直线l在x，y轴上的截距均为a，若a0，即l过点(0，0)及(4，1)，所以l的方程为yx，即x4y0.若a0，则设l的方程为1，因为l过点(4，1)，所以1，所以a5，所以l的方程为xy50

8、.综上可知，直线l的方程为x4y0或xy50.2、经过点P(1，2)，倾斜角的正弦值为；解析：由题可知sin ，则tan ，直线l经过点P(1，2)，直线l的方程为y2(x1)，即y(x1)2，整理得4x3y20或4x3y100.3、经过点B(3,4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形解：由题意可知，所求直线的斜率为1.又过点(3,4)，由点斜式得y4(x3)故所求直线的方程为xy10或xy70.考点三 直线方程的综合应用命题点1 与基本不等式结合求最值问题例3、已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为坐标原点，当AOB面积最小时，直线l的方程为_解

9、析：(1)设直线l的方程为y1k(x2)(k0)，则A，B(0,12k)，SAOB(12k)(44)4，当且仅当4k，即k时，等号成立故直线l的方程为y1(x2)，即x2y40.答案：x2y40变式训练：1、若直线l：1(a0，b0)经过点(1,2)，则直线l在x轴和y轴上的截距之和的最小值是_解析：直线l：1(a0，b0)经过点(1,2)，1，ab(ab)332，当且仅当ba时等号成立直线在x轴和y轴上的截距之和的最小值为32.答案：322、直线l过点P(1，4)，分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于A、B两点，O为坐标原点，当|OA|OB|最小时，求l的方程解析：依题意，l的斜率存在，且斜率

10、为负，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y4k(x1)(k0)令y0，可得A；令x0，可得B(0，4k)|OA|OB|(4k)55549.所以当且仅当k且k0，即k2时，|OA|OB|取最小值这时l的方程为2xy60.命题点2 由直线方程求参数问题例4、已知直线l1：ax2y2a4，l2：2xa2y2a24，当0a2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a_.解析：由题意知直线l1，l2恒过定点P(2，2)，直线l1的纵截距为2a，直线l2的横截距为a22，所以四边形的面积S2(2a)2(a22)a2a4，又0a0；当k0时，直线为y1，符合题意，故k的取值范

11、围是0，).(3)解由题意可知k0，再由l的方程，得A，B(0，12k).依题意得解得k0.S|OA|OB|12k|(224)4，“”成立的条件是k0且4k，即k，Smin4，此时直线l的方程为x2y40.考点四 两直线的平行与垂直命题点1 两直线位置关系的判断例5、(1)设不同直线l1：2xmy10，l2：(m1)xy10，则“m2”是“l1l2”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析：当m2时，代入两直线方程中，易知两直线平行，即充分性成立当l1l2时，显然m0，从而有m1，解得m2或m1，但当m1时，两直线重合，不合要求，故必要性成立答案：

12、C(2)已知直线l1：2ax(a1)y10，l2：(a1)x(a1)y0，若l1l2，则a()A2或 B. 或1C. D1解析：选B.因为直线l1：2ax(a1)y10，l2：(a1)x(a1)y0，l1l2，所以2a(a1)(a1)(a1)0，解得a或a1.故选B.答案：B变式训练：1、直线2x(m1)y40与直线mx3y20平行，则m等于()A2 B3C2或3 D2或3答案：C解析：直线2x(m1)y40与直线mx3y20平行，则有，故m2或3.故选C.答案：C2、已知两条直线l1：axby40和l2：(a1)xyb0，求满足下列条件的a，b的值(1)l1l2，且l1过点(3，1)；(2)

13、l1l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等解：(1)由已知可得l2的斜率存在，且k21a.若k20，则1a0，a1.l1l2，直线l1的斜率k1必不存在，即b0.又l1过点(3，1)，3a40，即a(矛盾)，此种情况不存在，k20，即k1，k2都存在且不为0.k21a，k1，l1l2，k1k21，即(1a)1.(*)又l1过点(3，1)，3ab40.(*)由(*)(*)联立，解得a2，b2.(2)l2的斜率存在，l1l2，直线l1的斜率存在，k1k2，即1a，又坐标原点到这两条直线的距离相等，且l1l2，l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即b，联立，解得或a2，b2或a，b2.命题点2 根据

14、两直线的位置关系求直线方程例6、经过两条直线2x3y10和x3y40的交点，并且垂直于直线3x4y70的直线方程为_解析：法一：由方程组解得即交点为，因为所求直线与直线3x4y70垂直，所以所求直线的斜率为k.由点斜式得所求直线方程为y，即4x3y90.法二：由垂直关系可设所求直线方程为4x3ym0，由方程组可解得交点为，代入4x3ym0得m9，故所求直线方程为4x3y90.法三：由题意可设所求直线的方程为(2x3y1)(x3y4)0，即(2)x(33)y140，又因为所求直线与直线3x4y70垂直，所以3(2)4(33)0，所以2，代入式得所求直线方程为4x3y90.答案：4x3y90变式训

15、练：求满足下列条件的直线方程(1)过点P(1，3)且平行于直线x2y30；(2)已知A(1，2)，B(3，1)，线段AB的垂直平分线解：(1)设直线方程为x2yc0，把P(1，3)代入直线方程得c7，所以直线方程为x2y70.(2)AB中点为，即，直线AB斜率kAB，故线段AB垂直平分线斜率k2，所以其方程为y2(x2)，即4x2y50.考点五 距离问题例7、(1)已知点M是直线xy2上的一个动点，且点P(，1)，则|PM|的最小值为()A. B1C2 D3解析：|PM|的最小值即点P(，1)到直线xy2的距离，又1.故|PM|的最小值为1.选B.答案：B(2)若两平行直线3x2y10，6xa

16、yc0之间的距离为，则c的值是_解析：依题意知，解得a4，c2，即直线6xayc0可化为3x2y0，又两平行线之间的距离为，所以，因此c2或6.答案：2或6变式训练：1、若P，Q分别为直线3x4y120与6x8y50上任意一点，则|PQ|的最小值为()A. B.C. D.解析：因为，所以两直线平行，由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即，所以|PQ|的最小值为.答案：C2、已知直线3x2y30与直线6xmy70互相平行，则它们之间的距离是()A4 B.C. D.解析：由直线3x2y30与6xmy70互相平行，得m4，所以直线分别为3x2y30与3x2y0.它们之间的距离是，故选

17、B.答案：B3、若直线y2x，xy3，mxny50相交于同一点，则点(m，n)与原点之间的距离的最小值为()A.B.C2D2解析：由解得x1，y2.把(1,2)代入mxny50，可得m2n50，m52n.点(m，n)与原点之间的距离d，当n2，m1时取等号点(m，n)与原点之间的距离的最小值为，故选A.答案：A考点六 对称问题命题点1 点关于点对称问题例8、已知A，B两点分别在两条互相垂直的直线2xy0和xay0上，且AB线段的中点为P，则线段AB的长为()A11B10C9 D8解析：依题意a2，P(0,5)，设A(x,2x)，B(2y，y)，故则A(4,8)，B(4,2)，所以|AB|10，

18、故选B.答案：B变式训练：已知点A(x,5)关于点(1，y)的对称点是(2，3)，则点P(x，y)的坐标为()A(4，1) B. (1，4)C. (2，3) D. (1，6)解析：根据中点坐标公式得解得所以点P的坐标为(4,1)，故选A.答案：A命题点2 点关于线对称问题例9、已知直线l：2x3y10，点A(1，2)，则点A关于直线l的对称点A的坐标为_解析：设A(x，y)，由已知得解得故A.答案：变式训练：1、如果平面直角坐标系内的两点A(a1，a1)，B(a，a)关于直线l对称，那么直线l的方程为()Axy10 Bxy10Cxy10 Dxy10解析：因为直线AB的斜率为1，所以直线l的斜率

19、为1，设直线l的方程为yxb，由题意知直线l过点，所以b，即b1，所以直线l的方程为yx1，即xy10.选A.答案：A2、坐标原点(0,0)关于直线x2y20对称的点的坐标是()A. B.C. D.解析：直线x2y20的斜率k，设坐标原点(0,0)关于直线x2y20对称的点的坐标是(x0，y0)，依题意可得解得即所求点的坐标是.答案：A3、已知直线l：2x3y10，点A(1，2)，则直线l关于点A对称的直线m的方程为_解析：在直线l上取两点B(1,1)，C(10,7)，B，C两点关于点A的对称点为B(3，5)，C(12，11)，所以直线m的方程为，即2x3y90.答案：2x3y90命题点3 线

20、关于线对称问题例10、已知直线l：2x3y10，点A(1，2)求：(1)直线m：3x2y60关于直线l的对称直线m的方程；(2)直线l关于点A(1，2)对称的直线l的方程解析：(1)在直线m上取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点M必在直线m上设对称点为M(a，b)，则解得M.设直线m与直线l的交点为N，则由得N(4,3)又m经过点N(4,3)，由两点式得直线m的方程为9x46y1020.(2)在直线l：2x3y10上任取两点，如M(1,1)，N(4,3)，则M，N关于点A(1，2)的对称点M，N均在直线l上易得M(3，5)，N(6，7)，再由两点式可得l的方程为2x3y90

21、.变式训练：1、直线3x4y50关于x轴对称的直线的方程是()A3x4y50 B3x4y50C3x4y50 D3x4y50解析：在所求直线上任取一点P(x，y)，则点P关于x轴的对称点P(x，y)在已知的直线3x4y50上，所以3x4(y)50，即3x4y50，故选A.答案：A2、直线2xy10关于直线x1对称的直线方程是()Ax2y10 B2xy10C2xy50 Dx2y50解析：由题意可知，直线2xy10与直线x1的交点为(1,3)，直线2xy10的倾斜角与所求直线的倾斜角互补，因此它们的斜率互为相反数因为直线2xy10的斜率为2，故所求直线的斜率为2，所以所求直线的方程是y32(x1)，

22、即2xy50.故选C.答案：C【课后练习】1、直线x(a21)y10的倾斜角的取值范围是()A. B.C. D.解析：依题意，直线的斜率k1,0)，因此其倾斜角的取值范围是.答案：B2、已知直线l过点(1,0)，且倾斜角为直线l0：x2y20的倾斜角的2倍，则直线l的方程为()A4x3y30 B3x4y30C3x4y40 D4x3y40解析：由题意可设直线l0，l的倾斜角分别为，2，因为直线l0：x2y20的斜率为，则tan，所以直线l的斜率ktan2，所以由点斜式可得直线l的方程为y0(x1)，即4x3y40.答案：D3、点(1，1)到直线xy10的距离是()A. B.C. D.解析：由点到

23、直线的距离公式，得d.答案：C4、已知直线l1：3x2ay50，l2：(3a1)xay20，若l1l2，则a的值为()A B6C0 D0或解析：由l1l2，得3a2a(3a1)0，即6a2a0，所以a0或a，经检验都成立故选D.答案：D5、过两直线l1：x3y40和l2：2xy50的交点和原点的直线方程为(D)A19x9y0 B9x19y0C19x3y0 D3x19y0解析：法一由得则所求直线方程为：yxx，即3x19y0.法二设直线方程为x3y4(2xy5)0，即(12)x(3)y450，又直线过点(0,0)，所以(12)0(3)0450，解得，故所求直线方程为3x19y0.6、直线axy3

24、a10恒过定点M，则直线2x3y60关于M点对称的直线方程为()A2x3y120 B2x3y120C2x3y120 D2x3y120解析：由axy3a10，可得a(x3)(y1)0，令可得x3，y1，M(3,1)，M不在直线2x3y60上，设直线2x3y60关于M点对称的直线方程为2x3yc0(c6)，则，解得c12或c6(舍去)，所求方程为2x3y120.故选D.7、直线l：4x3y20关于点A(1,1)对称的直线的方程为()A4x3y40 B4x3y120C4x3y40 D4x3y120解析：在所求直线上任取一点P(x，y)，则点P关于点A对称的点P(x，y)必在直线l上由得P(2x,2y

25、)，所以4(2x)3(2y)20，即4x3y120.答案：B8、若直线l1：yk(x4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2经过定点 ()A(0,4) B(0,2)C(2,4) D(4，2)解析：直线l1：yk(x4)经过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又直线l1：yk(x4)与直线l2关于点(2,1)对称，故直线l2经过定点(0,2)答案：B9、不论m为何值时，直线l：(m1)x(2m1)ym5恒过定点()A. B(2,0)C(2,3) D(9，4)解析：直线(m1)x(2m1)ym5，化为(mx2mym)(xy5)0，即直线l过x2y10与xy50的交点，解方

26、程组得答案：D10、若直线(m1)x3ym0与直线x(m1)y20平行，则实数m_.解析：易知当m1时，两直线不平行当m1时，由，解得m2.答案：211、过两直线7x5y240与xy0的交点，且与点P(5,1)的距离为的直线的方程为_解析：设所求的直线方程为7x5y24(xy)0，即(7)x(5)y240.，解得11.故所求直线方程为3xy40.答案：3xy4012、设mR，过定点A的动直线xmy0和过定点B的动直线mxym30交于点P(x，y)，则|PA|PB|的最大值是5.解析：易求定点A(0,0)，B(1,3)当P与A和B均不重合时，因为P为直线xmy0与mxym30的交点，且易知两直线

27、垂直，则PAPB，所以|PA|2|PB|2|AB|210，所以|PA|PB|5(当且仅当|PA|PB|时，等号成立)，当P与A或B重合时，|PA|PB|0，故|PA|PB|的最大值是5.13、已知直线l1：axy60与l2：x(a2)ya10相交于点P，若l1l2，则a_，此时点P的坐标为_解析：直线l1：axy60与l2：x(a2)ya10相交于点P，且l1l2，a11(a2)0，即a1，联立方程易得x3，y3，P(3,3)答案：1(3,3)14、已知点A(0,1)，直线l1：xy10，直线l2：x2y20，则点A关于直线l1的对称点B的坐标为_，直线l2关于直线l1的对称直线的方程是_答案

28、：(2，1)2xy50解析：设B(x，y)，则解得即B(2，1)由得设C(4,3)，由(1)得l2上的点A(0,1)关于直线l1的对称点为B，因此所求对称直线过B，C两点，所以y3(x4)，即2xy50.【课后测试】1、已知直线l1：(k3)x(4k)y10与l2：2(k3)x2y30平行，则k的值是()A1或3B1或5C3或5D1或2解析：由两直线平行得，当k30时，两直线的方程分别为y1和y，显然两直线平行当k30时，由，可得k5.综上，k的值是3或5.答案：C2、若直线l经过点(a2，1)和(a2,1)，且与经过点(2,1)、斜率为的直线垂直，则实数a的值为()A BC. D.解析：由题意得，直线l的斜率为k(a0)，所以1，所以a，故选A.答案：A