19全国高中数学联赛省级预赛模拟(试题及答案).doc
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1、 全国高中数学联赛省级预赛模拟试题全国高中数学联赛省级预赛模拟试题 第卷(选择题 共 60 分) 参考公式 1三角函数的积化和差公式 sincos= 2 1 sin(+)+sin(-), cossin= 2 1 sin(+)-sin(-), coscos= 2 1 cos(+)+cos(-), sinsin= 2 1 cos(+)-cos(-). 2球的体积公式 V球= 3 4 R 3(R 为球的半径) 。 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1设在 xOy 平面上,00,所以 cos(A-B)=1. 故A=B。 另一方面,A=B=30 0,C=1200也符合已知条件。 所以,ABC
2、是等腰三角形,但不一定是直角三角形。 5A 设 g(x)的各项系数和为 s,则 f(g(1)=3s 2-s+4=188. 解得 s=8 或 3 23 s(舍去) 。 6B 222 2222 1 )1( 1 aba x b x a xx x b x a 2 1 b x x .)( 1 2 ba x x 当 ba a x 时,取得最小值(a+b)2. 7B 因为 a2008+b2008a 2006b2+b2006a2, 又(a 2006+b2006)(a2+b2)=a2008+b2008+a2006b2+b2006a22(a2008+b2008), 且 a 2008+b2008=a2006+b20
3、06, 所以 a 2+b22. 8C 如图 4 所示,延长 AP 到 E,使得 AP= 5 1 AE。 联结 BE, 作 ED/BA 交 AC 延长线于点 D。 由ACABAP 5 2 5 1 , 得 AC=CD。 故四边形 ABED 是平行四边形。 所以. 5 1 ABE ABP S S 又2 4 1 2 1 ABED ABED ABC ABE S S S S ,则. 5 2 ABC ABP S S 9D 设 a,b,c,d 分别为 b-m,b,b+m,. )( 2 b mb 又90)( )( 2 mb b mb ,则. )30( 3 2 m m b 因 a,b,c,d 为偶数,且 01)
4、由韦达定理知.2, 2 2 1 22 222 211 22 2 21 y ba bab yyy ba b yy y 消去 y1得 2 22 2 22 222 2 2 ba b ba bab ,即 00. 又1 1 2 1 n n n x x x,所以 xn(0,1 因为 x32. 又 x2(0,1,则 00, y0,且 00 且 m1), 解得 1b0), P(r1cos,r1sin),Q 2 cos 2 r, 2 sin 2 r即 Q(-r2sin,r2cos),因为 P,Q 在椭圆上,所以 222 2 2 1 1111 barr 。 设 O 到 PQ 距离为 d.则)( 22 222 2
5、2 1 21 bacc ba ab rr rr d ,解得. 1 2 15 e 4C 记 2007=n,往证. 2 11 pq 当 n=2 时,显然成立。设当 n=k 时成立,当 n=k+1 时,取所有满足 p+q=k, (p,q)=1 的 pq 1 的和记为 S,所有形如 kp 1 (p-2; 又当A=B= 9 7 , 9 C时, 2 33 y,且y=sin3A+sin3B+sin3C 2 3 sin 2 )(3 cos 2 3 cos2 ACBA . 2 33 2 3 sin1 2 3 sin13 3 1 2 2 AA 6.C 因 为 2 1 2 1 2 1 2 2 11 2 22 )(
6、2 kkkkkk kkkk aaaaaa aaaa, 所 以 . 2 11 1 1 2 11 2 n k n k k kk n k kkkk a aa aaaa 又当 a1=a2=an时, “=”成立,所以最大为 1。 790 0 延长 AD,BC 交于 E,连结 PE,则 DE=DA,PA=PE= ,2 AE=2,所以 PEPA,又 PDAB,ABAD,所以 AB平面 PAE, 所以 PEAB,所以 PE平面 PAB。所以 APBC 为直二面角。 8由 an+1=(n-1)(an+an-1)得 an+1-nan=-an-(n-1)an-1, 所以an+1-nan是首项为 a2-a1=1,公比
7、为(-1)的等比数列, 所以 an+1-nan=(-1)n-1,所以 ! 1 ) 1( )!1(! 11 nn a n a nnn 在中用 2,3,n-1 代替 n 并相加得 ! 3 1 ) 1( ! 2 1 ) 1( ! 1)!1( 22 a n an +(-1)n-2 . )!1( 1 n 所以 )!1( 1 ) 1( ! 3 1 ) 1( ! 2 1 ) 1( ! 1 1 )!1( 221 n nan n 。 90 假设存在这样的函数 f(x),则由条件知它为单射,且 f(f(0)=0=f(f(1)+1),所以 f(0)=f(1)+1. 又 f(f(1)=1=f(f(0)+1),所以 f
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