1998年全国高中数学联赛试题及解答.doc

1、 一九九八年全国高中数学联合竞赛一九九八年全国高中数学联合竞赛 一、一、选择题（本题满分选择题（本题满分 36 分，每小题分，每小题 6 分）分） 1 若 a 1, b 1, 且 lg(a + b)=lga+lgb, 则 lg(a 1)+lg(b 1) 的值( ) （A）等于 lg2 （B）等于 1 (C ) 等于 0 (D) 不是与 a, b 无关的常数 2.若非空集合 A=x|2a+1x3a 5,B=x|3x22,则能使 AAB 成立的所有 a 的集合是( ) （A）a | 1a9 (B) a | 6a9 (C) a | a9 (D) 3.各项均为实数的等比数列an前 n 项之和记为 Sn

2、 ,若 S10 = 10, S30 = 70, 则 S40等于( ) (A) 150 (B) 200 (C) 150 或 200 (D) 50 或 400 4.设命题 P：关于 x 的不等式 a1x2 + b1x2 + c1 0 与 a2x2 + b2x + c2 0 的解集相同； 命题 Q：a1 a2= b1 b2= c1 c2 则命题 Q( ) (A) 是命题 P 的充分必要条件 (B) 是命题 P 的充分条件但不是必要条件 (C) 是命题 P 的必要条件但不是充分条件 (D) 既不是是命题 P 的充分条件也不是命题 P 的必要条件 5.设 E, F, G 分别是正四面体 ABCD 的棱

3、AB,BC,CD 的中点,则二面角 CFGE 的大小是( ) (A) arcsin 6 3 (B) 2+arccos 3 3 (C) 2arctan 2 (D) arccot 2 2 6.在正方体的 8 个顶点, 12 条棱的中点, 6 个面的中心及正方体的中心共 27 个点中, 共线的三点组的个 数是( ) (A) 57 (B) 49 (C) 43 (D)37 二、填空题二、填空题( 本题满分本题满分 54 分分,每小题每小题 9 分分) 各小题只要求直接填写结果各小题只要求直接填写结果. 1若 f (x) (xR)是以 2 为周期的偶函数, 当 x 0, 1 时,f(x)=x 1 1000

4、，则 f(98 19)，f( 101 17 )，f(104 15 )由小到大排 列是 2设复数 z=cos+isin(0180 )，复数 z，(1+i)z，2z 在复平面上对应的三个点分别是 P, Q, R.当 P, Q, R 不共线时,以线段 PQ, PR 为两边的平行四边形的第四个顶点为 S, 点 S 到原点距离的最大值是 _. 3从 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 这 10 个数中取出 3 个数, 使其和为不小于 10 的偶数, 不同的取法有 _种. 4各项为实数的等差数列的公差为 4, 其首项的平方与其余各项之和不超过 100, 这样的数列至多有 _项. 5若

5、椭圆 x2+4(ya)2=4 与抛物线 x2=2y 有公共点，则实数 a 的取值范围是 6ABC 中, C = 90o, B = 30o, AC = 2, M 是 AB 的中点. 将ACM 沿 CM 折起,使 A,B 两点间的距离 为 2 2 ，此时三棱锥 A-BCM 的体积等于_. 三、 （本题满分三、 （本题满分 20 分）分） 已知复数 z=1sin+icos( 2 1, 且 lg (a + b) = lg a + lg b, 则 lg (a 1) + lg (b 1) 的值( ) （A）等于 lg2 （B）等于 1 (C ) 等于 0 (D) 不是与 a, b 无关的常数 解：a+b=

6、ab，(a1)(b1)=1，由 a10，b10，故 lg(a1)(b1)=0，选 C 2若非空集合 A=x|2a+1x3a 5,B=x|3x22,则能使 AAB 成立的所有 a 的集合是( ) （A）a | 1a9 (B) a | 6a9 (C) a | a9 (D) 解：AB，A 32a+13a522，6a9故选 B 3各项均为实数的等比数列a n 前 n 项之和记为 S n ,若 S10 = 10, S30 = 70, 则 S40等于( ) (A) 150 (B) 200 (C) 150 或 200 (D) 50 或 400 解：首先 q1，于是， a1 q1(q 101)=10， a1

7、q1(q 301)=70， q20+q10+1=7q10=2(3 舍) S40=10(q401)=150选 A 4.设命题 P：关于 x 的不等式 a1x2 + b1x2 + c1 0 与 a 2x2 + b2x + c2 0 的解集相同; 命题 Q：a1 a2= b1 b2= c1 c2 则命题 Q( ) (A) 是命题 P 的充分必要条件 (B) 是命题 P 的充分条件但不是必要条件 (C) 是命题 P 的必要条件但不是充分条件 (D) 既不是是命题 P 的充分条件也不是命题 P 的必要条件 解：若两个不等式的解集都是 R，否定 A、C，若比值为1，否定 A、B，选 D 5.设 E, F,

8、 G 分别是正四面体 ABCD 的棱 AB,BC,CD 的中点,则二面角 CFGE 的大小是( ) (A) arcsin 6 3 (B) 2+arccos 3 3 (C) 2arctan 2 (D) arccot 2 2 解：取 AD、BD 中点 H、M，则 EHFGBD，于是 EH 在平面 EFG 上设 CMFG=P，AMEH=Q，则 P、Q 分别为 CM、AM 中点，PQAC ACBD，PQFG，CPFG，CPQ 是二面角 CFGE 的平面角 设 AC=2，则 MC=MA= 3，cosACM=2 2+( 3)2( 3)2 2 2 3 = 3 3 选 D 6.在正方体的8个顶点, 12条棱的

9、中点, 6个面的中心及正方体的中心共27个点 中, 共线的三点组的个数是( ) (A) 57 (B) 49 (C) 43 (D)37 解：8 个顶点中无 3 点共线，故共线的三点组中至少有一个是棱中点或面中心或体中心 体中心为中点：4 对顶点，6 对棱中点，3 对面中心；共 13 组； 面中心为中点：46=24 组； 棱中点为中点：12 个共 49 个，选B 二、填空题二、填空题( 本题满分本题满分 54 分分,每小题每小题 9 分分) 各小题只要求直接填写结果各小题只要求直接填写结果. 1若 f (x) (xR)是以 2 为周期的偶函数, 当 x 0, 1 时,f(x)=x 1 1000，则

10、 f(98 19)，f( 101 17 )，f(104 15 )由小到大排 列是 解：f(98 19)=f(6 16 19)=f( 16 19)f( 101 17 )=f(6 1 17)=f( 1 17)，f( 104 15 )=f(6+14 15)=f( 14 15) P Q M H A D C B G F E 现 f(x)是0，1上的增函数而 1 17 16 19 14 15故 f( 101 17 )1， 于是 0(q1)n1+n11=qn11xk+1，因此 Fn 1(q1)n1+n11)=q+n12xk 故有 q(n11)(q+n11 2 )2(xk+1 2 )2= x2k 4+ xk

11、2+ 1 4 由于 xk为偶数，从而 q(n11) x2k 4+ xk 2. xk2,xk+ x2k 4+ xk 2xk+2.所以总有 xk+1xk+ x2k 4+ xk 2= xk(xk+6) 4 . 另一方面，若取 n1=xk 2+2，由于 xk(xk+6) 4 =xk 2 n1+ xk 2对于每个 a xk(xk+6) 4 ，令 a=qn1+r，那么 或者 q=xk 2,r xk 2；或者 q xk 21,rn11= xk 2+1。 两种情况下均有 q+rxk,因此 xk+1=xk(xk+6) 4 。此外，因为 xk为偶数，若 4|xk，由 2|xk+6 可得 8|xk(xk+6)， 若 xk2(mod4)， 由 xk+60(mod 4)也可得 8|xk(xk+6) 因此 xk+1也是偶数。 于是完成了归纳证明 xk+1=xk(xk+6) 4 由 x1=2 逐次递推出 x2=4,x3=10，x4=40，x5=460，x6=53590 即所求最大整数 A=53590