1995年全国高中数学联赛试题及解答.doc
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1、 1995 年全国高中数学联赛 第一试 一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1 设等差数列an 满足 3a8=5a13且 a10,Sn为其前项之和,则 Sn中最大的是( ) (A)S10 (B)S11 (C)S20 (D) S21 2 设复平面上单位圆内接正 20 边形的 20 个顶点所对应的复数依次为 Z1,Z2,Z20,则复数 Z19951 , Z19952 ,Z199520 所对应的不同的点的个数是( ) (A)4 (B)5 (C)10 (D)20 3 如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大,则称甲不亚于乙,在 100 个小伙子中,如果某人不 亚于其他 99 人,就称他为棒小伙子
2、,那么,100 个小伙子中的棒小伙子最多可能有( ) (A)1 个 (B)2 个 (C)50 个 (D)100 个 4 已知方程|x2n|=k x (nN*)在区间(2n1,2n+1上有两个不相等的实根,则 k 的取值范围是 ( ) (A)k0 (B)00,(2n+1)2(4n+k2)(2n+1)+4n2 0,2n10, 设 logsin1cos1=a, 则得(sin1)a=cos11; logcos1sin1=b, 则(cos1)b=sin1cos1,0b1;即 logcos1sin1 logsin1cos1 设 logsin1tan1=c,logcos1tan1=d,则得(sin1)c =
3、(cos1)d=tan1, (指数函数图象进行比较),cd即 logsin1tan1logcos1tan1 故选 C 6 设 O 是正三棱锥 PABC 底面三角形 ABC 的中心,过 O 的动平面与 PC 交于 S,与 PA,PB 的延 d c tan1 b a y=(cos1)x y=(sin1)x (1,cos1) (1,sin1) 1 1 O x y 长线分别交于 Q,R,则和式 1 PQ+ 1 PR+ 1 PS (A)有最大值而无最小值 (B)有最小值而无最大值 (C)既有最大值又有最小值,两者不等 (D)是一个与面 QPS 无关的常数 解:O 到面 PAB、PBC、PCA 的距离相等
4、设APB=,则 VPQRS=1 6d(PQ PR+PR PS+PS PQ)sin(其中 d 为 O 与各侧面的距离) VPQRS=1 6PQ PR PSsinsin(其中 为 PS 与面 PQR 的夹角) d(PQ PR+PR PS+PS PQ)=PQ PR PSsin 1 PQ+ 1 PR+ 1 PS= sin d 为定值故选 D 二、填空题(每小题 9 分,共 54 分) 1 设 , 为一对共轭复数,若|=2 3,且 2为实数,则|= 解:设 =x+yi,(x,yR),则|=2|y|y= 3 设 arg=,则可取 +2=2,(因为只要求|,故不必写出所有可能的角)=2 3,于是 x=1|=
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