1996年全国高中数学联赛试题及解答.doc

1、 1996 年全国高中数学联合竞赛试卷 第一试 (10 月 13 日上午 8：009：20) 一、选择题(本题满分 36 分，每题 6 分) 1 把圆 x2+(y1)2=1 与椭圆 9x2+(y+1)2=9 的公共点，用线段连接起来所得到的图形为( ) (A)线段 (B)不等边三角形 (C)等边三角形 (D)四边形 2 等比数列an的首项 a1=1536,公比 q=1 2,用 n 表示它的前 n 项之积。 则 n(nN*)最大的是( ) (A)9 (B)11 (C)12 (D)13 3 存在整数 n,使 p+n+ n是整数的质数 p( ) (A)不存在 (B)只有一个 (C)多于一个,但为有限

2、个 (D)有无穷多个 4 设 x(1 2，0),以下三个数 1=cos(sinx),2=sin(cosx),3=cos(x+1) 的大小关系是( ) (A)31，13 12=1536( 1 2) 78660，3=cos(1|x|)90 ，即此圆上还可再放下 2 个满足要求的点故选B 二、填空题(本题满分 54 分，每小题 9 分) 1 集合x|1log1 x10 1 2，xN*的真子集的个数是 解 由已知，得1 2logx1011lgx210x100故该集合有 90 个元素其真子集有 2 90-1 个 2 复平面上，非零复数 z1，z2在以 i 为圆心，1 为半径的圆上， _ z1 z2的实部

3、为零，z1的辐角主值为 6， 则 z2=_ 解：z1满足|zi|=1；argz1= 6，得 z1= 3 2 +1 2i， _ z1=cos( 6)+isin( 6) 设 z2的辐角为 (06，即 k1，k2中至少有一个2， 不妨设 k12，现任取 B 中与 c 连线的一点 b1，由于 b1与 B 中其余各点均未连线， 若 b1与 A 中的所有与 c 连线的点均未连线，则 b1连线数2+k1k1k1，矛 盾，故 b1至少与此 k1个点中的一点连线故证 AB 2k个点 图1 ba k-1k-1 AB 2k+1个点 图2 kk-1 a b k2 k1 c BA k-1 b a k-1 图3 2k+1个点